2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册_121-160---2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册专题

这是一份2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册_121-160---2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册专题，文件包含✔2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册_121-160docx、2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册_121-160pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共91页， 欢迎下载使用。
例23.在平面直角坐标系中，点F是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，A为椭圆的上顶点，过点A作垂直于AF的直线分别与X轴正半轴和椭圆交于点M，N若AM=3MN，则椭圆C的离心率的值为( )
A.22
B.5-12
C.12
D.13
解析：∵lAF：y=bcx+b，∴lAM：y=-cbx+b⇒x=-bcy+b2c，代入x2a2+y2b2=1得：由硬解定理得，∵yA+yN=2b5a2c2+bk=b+yN，∵AM=3MN，∴yA=-3yN⇒yN=-b3∴2b5a2c2+b4=2b3⇒3b4=a2c2+b4，∴2b4=a2c2⇒2b2=ac⇒2a2-c2=ac，∴2e2+e-2=0⇒e=22，故选：A.
例24.已知椭圆x2m+1+y2=1m>0的两个焦点是F1，F2，E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，当EF1+EF2取得最小值时椭圆的离心率为( )
A.23
B.33
C.23
D.63
解析：联立直线与椭圆的方程整理可得：m+2x2+4m+1x+3m+1=0，满足题意时：
Δ=16m+12-12m+2m+1≥0⇒m≥2∵m>0∴m≥2，当m=2时，椭圆的离心率取得最小值63.
例25.设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，其焦距为2c，点Qc，a2在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且PF1+PQa2⇒eb>0)的左焦点为F，过点F且斜率为3的直线交C于A，B两点(点A在x轴上方)，线段AB的中点为M，线段AB的中垂线与x轴交于点P.若△PFB的面积是△PFM面积的2倍，则椭圆C的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.32
解析：法一：利用椭圆极坐标方程由S△PFB=2S△PFM得BF=2FM，进而有AM=BM=3FM，所以AF=2BF，设椭圆焦点到相应准线的距离为p，则AF=ep1-ecs60∘，BF=ep1-ecs120∘，于是ep1-ecs60∘=2ep1-ecs120∘，得11-12e=21+12e，解得e=23.
法二：利用椭圆的二级结论(利用结论ecsθ=λ-1λ+1，其中BF=λAF)λ=12⇒ecs60∘=12-112+1⇒e=23.注：e=1+k2λ-1λ+1(其中BF=λAF，k是直线的斜率)
法三，利用椭圆二级结论：由S△PFBS△PPM=2⇒FB=2FM⇒AB=6FM，又因为∠MFP=π3，所以FP=FMcsπ3=2FM，从而FPAB=13⇒e2=FPAB=13⇒e=23.
此处运用了椭圆的一个重要的二级结论：若椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，线段AB的中垂线与x轴交于点P，则FPAB=e2.此法涉及到椭圆的焦点弦、焦点弦中垂线才能使用，若直线不过焦点此法失放.
法四、椭圆第一定义+余弦定理
由S△PFB=2S△PFM得BF=2FM，进而有AM=BM=3FM，
所以AF=2BF，设椭圆右焦点为F'，则BF=m，则AF=2m，AF'=2a-2m，BF'=2a-m，在△AFF'和△BFF'中，分别由余弦定理得2a-2m2=2m2+2c2-2⋅2c⋅2mcs60∘2a-m2=m2+2c2-2⋅2c⋅mcs120∘
所以4b2-8am=-24b2-4am，即3b2=4am代入(2)得b2=2cm，所以6cm=4am，故e=ca=23.
例29.椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若△AF1F2的面积为3，且∠F1AF2=4∠AF1F2，则植國方程为( )
123A.x23+y2=1
B.x23+y22=1
C.x24+y2=1
D.x24+y23=1
答案：C省略
例30.椭圆E：x28+y24=1，点P是直线上任意一点，过点P作椭圆E两条切线切点分别是A，B则AB最小值( )
A.22
B.32
C.1
D.43
解析：设P4，m，则AB：2x+my-4=0，恒过2，0，恰好为椭圆右焦点，此时AB为通径时最短为2b2a=22.
例31.过椭圆x29+y24=1上的一点M作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，则△POQ的面积最小值为( )
A.12
B.23
C.1
D.43
解析：点M3csθ，2sinθ，所以AB直线方程为3csθx+2sinθy=2，所以过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点P23csθ，0，Q0，1sinθ∴S=12×23csθ×1sinθ=23sin2θ，故△POQ的面积为23.
例32.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：x2a+2+y2a=1a>0的蒙日固x2+y2=4，则a=
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：因为椭圆上两条互相直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为0，a，2+a，0，则两条切线分别是x=2+a，y=a，这两条切线相互垂直，且两条直线的交点为P2+a，a，而P在蒙日圆上，所以2+a2+a2=4，解得a=1.故选：A
例33.设过定点M0，2的直线l与椭圆C：x22+y2=1交于不同的两点P，Q，若原点O在以PQ为直径的圆的外部，则直线l的斜率k的取值范围为( )
A.-5，-62
B.-5，-63∪63，5
C.62，5
D.-5，-62∪62，5
解析：显然直线x=0不满足条件，故可设直线l：y=kx+2，Px1，y1，Qx2，y2由x22+y2=1y=kx+2，得Δ=64k2-241+2k2>0，∴解得k>62或kb>0的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )
A.32
B.22
C.12
D.13
解析：考查椭圆的第三定义：kAP⋅kAQ=-kQA2⋅kAQ=-b2a2=-14⇒e=1-14=32，答案选A.
例40.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若BA1⋅BA2=-1，则C的方程为
A.x218+y216=1
B.x29+y28=1
C.x23+y22=1
D.x22+y2=1
解析：考查椭圆的第三定义：BA1⋅BA2=b2-a2=-1，∵e=1-b2a2=13⇒a2=9，b2=8答案选B
例41.椭圆mx2+ny2+mn=0，mb>0的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么PF1⋅PF2的值是(B)
A.m-a
B.m2-a2
C.m-a2
D.m-a
127例45.(多选)如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=11a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，P是E上异于顶点的一动点，圆I(圆心为I)与△PF1F2的三边PF1，F1F2，PF2分别切于点A，B，C延长PI交x轴于点D，作DH⊥PF1交PF1于点H，则( ).
A.PF1⋅PF2为定值
B.PF1+PF2为定值
C.PA为定值
D.PH为定值
解析：对于A，设F1F2=2c，∠F1PF2=θ，PF1=m，PF2=n，由余弦定理可知：F1F22=m2+n2-2mncsθ，即2c2=m+n2-2mn1+csθ，解得mn=2b21+csθ，由于P在E上运动，所以θ的值也在随之变化，从而mn不是定值，则A错误；对于B，根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a，是定值，B正确；对于C，根据切线长定理和椭圆的定义，得PA+AF1+PC+CF2=2a，且AF1+CF2=BF1+BF2∣=2c，则PA+PC+2c=2a，所以PA=PC=a-c为定值，C正确；对于D，连接IA，则IA⊥PF112IAPF1+PF2+F1F2=12DHPF1+PF2，解得IADH=aa+c，由PAPH=IADH=aa+c，得PH=a+ca-ca=b2a为定值，则D正确.故选：BCD
例46.(多选)月球探测器.如图所示，现假设该探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行.若用c1和c2分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦半距，用a1和a2分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长半轴长，则下列式子正确的是( )
A.a1+c2=a2+c1
B.a1c2=a2c1
C.a12-c12=a22-c22
D.c1a1>c2a2
解析：∵a1-c1=PF，a2-c2=PF，即a1+c2=a2+c1，故A正确；∵a1+c2=a2+c1，
∴a1+c22=a2+c12，a12-c12+2a1c2=a22-c22+2a2c1，b12+2a1c2=b22+2a2c1，∵b1>b2， ∴a1c2b>0，直线l过坐标原点并交椭圆于P，Q两点，(P在第一象限)，点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线QA交椭圆于点B，若直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为( )
A12
B.22
C.33
D.63
解析1：由椭圆的四大统一性质：kBP⋅kBQ=-b2a2⇒-12y2x⋅y3x=-13=-b2a2⇒b2a2=13⇒e=63
解析2：不妨设P点横坐标为a2，则Pa2，3a2⇒Aa，0⇒Ba，0即A，B两点重合，即kPQkPB=32b3a2ba2=-1⇒e=63
例48.24届冬季奥林匹克运动会圆满结束、根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奧会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆C1x2a12+y2b12=1a1>b1>0
和椭圆C2：x2a22+y2b22=11a2>b2>0的离心率相同，且a1>a2.则下列正确的是( )
A.a12-a22b1-b2
C.如果两个椭圆C2，C1分别是同一个矩形(此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行)的内切椭圆(即矩形的四条边与椭圆C2均有且仅有一个交点)和外接椭圆，则a1a2=2
D.由外层椭圆C1的左顶点A向内层椭圆C2分别作两条切线(与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线)与C1交于两点M，N，C1的右顶点为B，若直线AM与BN的斜率之积为89，则椭圆C1的离心率为13.
解析：A：由a12-b12a12=a22-b22a22且a1>a2，则a12-b12>a22-b22，即a12-a22>b12-b22，故错误；B：由a12-b12a12=a22-b22a22，得1-b12a12=1-b22a22，则a2=a1b2b1，所以a1-a2=a1-a1b2b1=a1b1b1-b2>b1-b2，故正确；C：Fa2，b2满足椭圆C1方程a22a12+b22b12=1，又a1b1=a2b2，则a2a1=b2b1，所以2a2a12=1，a1a2=2，故正确；D：由对称性知：M、N关于x轴对称，A-a1，0，Mx0，y0，Nx0，-y0，Ba1，0，kAM=y0x0+a1，kBN=-y0x0-a1，则kAMkBN=89⇒e=13故选：BCD.
例49.已知抜圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0与圆C2：x2+y2=4b25，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线所成的角为π3，则椭圆C1的离心率的取值范围是___________
解析：过P的两条直线与圆C2分别切于点M，N，由所成的角为π3，知：OP=455b又P在椭圆C1上，所以OP≤a，即得455b≤a，e≥114∴e∈114，1
例50.(多选)已知直线l：y=kx+m与椭圆x22+y2=1交于A，B两点，点F为椭圆的右焦点，则下列正确的是( )
A.当m=k时，存在k∈R使得FA+FB=4.
B.当m=k时，FA+FB的最小值为2.
C.当k=1时，存在m∈R使得FA+FB=4.
D.当k=1时，FA+FB的最小值为2.
解析：当m=k时，则直线l过F'-1，0点，FA+FB=4a-AB=42-AB，∵AB∈2b2a，2a=(2，22]
FA+FB=42-AB∈[22，32)，注意斜率存在！直线垂直于x轴时，时临界状态！存在k∈R使得FA+FB=4，选A正确！
对于B选项：kOD⋅kAB=-b2a2=-12⇒kOD⋅kDF'=-12，所以点D的轨迹是以F'O为长轴的椭圆(不包括F')，所以当D过原点O时，则FDmin=FO=1，故FA+FB的最小值为2.
对于C选项：当k=1，直线y=x+m，由图所示：当相切时：A''''B''''重合时，则FA+FBmin
由硬解定理Δ=0⇒m2=3，x1+x2=2x'''=-4m3，故A''''233，-33⇒F1A''''=83-433，
FA+FBmin=2F1A''''=283-4330，b>0，过焦点F且平行于其一条渐近线的直线L与另一条渐近线交于点M，交与y轴于N点，交双曲线与Q，且点Q在FM之间，则M为NF的中点，即OM=MF=MN，e=1+FQQM.
⑦如图(7)已知F是双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为abc2
⑧如图(8)P为双曲线上任一点，过点P做双曲线两条渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值12ab
⑨如图(9)在双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0，b>0中，过右焦点F2作一条渐近线的垂线，与双曲线交于A，垂足为P，则有：
(1)点P在右准线上，其坐标为Pa2c，abc其中P点为直线PF2在圆x2+y2=a2上的切点
(2)在直角三角形△POF2中，OF2=c，PF2=b，OP=a
(3)设∠POF2=θ⇒e=1csθ
(4)F2AAP=ba
(1)——(3)易证，
下面我来证(4)证明：由双曲线的第二定义知：F2AAC=ca=e， F2AAP=eACAP=ecsβ=ca⋅bc=ba换向话说：ba就等于：(焦点到双曲线上点W或A距离)比(点W或A到其焦点对应渐近线的距离)
证明：如图(10)由双曲线的第二定义知：F2WWW'=ca=e故：F2WWP=eWW'WP=ecsβ=ca⋅bc=ba
⑩如图(11)F1、F2分别是双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0，b>0左右焦点，P为双曲线异于端点的第一象限的点则△PF1F2的内切圆圆心为Cx0，y0，则x0=a，y0=r0，b>0的渐近线在第一象限的交点坐标为a，b，注意：很多时候，题目会以“点P在渐近线上，且PF1⊥PF2​”的形式给出条件！
图(12)
⑫等轴双曲线：已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0，b>0，当a=b时，称为等轴双曲线.
(1)方程形式为x2-y2=λλ≠0；
(2)渐近线方程为y=±x，它们互相垂直；
(3)离心率e=2.
例题：关于渐近线方程为x±y=0的双曲线有下述四个结论：(1)实轴长与虚轴长相等，(2)离心率是2，(3)过焦点且与实轴直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等，(4)顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为2.其中所有正确结论的编号是( ).
A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(1)(2)(3)
D.(2)(3)(4)
解析：(1)因为浙进线的斜率为±ba=±1或±ab=±1，所以(1)正确；(2)离心率e=1+b2a2=2，所以(2)正确；(3)设双曲线的方程为x2-y2=a2，将x=c代入双曲线方程可得y2=c2-a2=b2，过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2b=2a，与实轴长相等，同理，当焦点在y轴上时此结论也成立，所以(3)正确；(4)因为顶点到渐近线的距离小于焦点到渐近线的距离，所以(4)不正确.故选C.
例题：已知双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的两条渐近线互相垂直，焦距为62，则该双曲线的实轴长为( ).
A.3
B.6
C.9
D.12
解析：因为两条渐进线互相垂直，故可得-ba2=-1，又因为焦距为62，故可得2c=62，结合a2+b2=c2，解得a=3，b=3，c=32，故实轴长2a=6.故选B.
⑬如图(13)过双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0，上一点Px0，y0作切线，交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点则：
(1)OM⋅ON=a2-b2
(2)P为MN中点
(3)S△MON=ab
(4)过双曲线一点作渐近线的平行线，围成的平行四边形面积为12ab
证明：(1)MN直线方程：x0xa2-y0yb2=1，下面开始求M点坐标和N点坐标：
∴OM⋅ON=1x0a2-y0ab⋅1x0a2+y0ab+bax0a2-y0ab⋅-bax0a2+y0ab=1x02a4-y02a2b2+-b2a2x02a4-y02a2b2=a2-b2.
(2)由(1)求出M，N坐标时：1x0a2-y0ab+1x0a2+y0ab2=x0，bax0a2-y0ab+-bax0a2+y0ab2=y0，故P为MN中点；
(3)S△MON=12OM⋅ON⋅sin∠MON=12⋅OM⋅ON⋅tan∠MON=12a2-b2⋅2aba2-b2=ab
(4)如图(14)设Px0，y0，这两条平行线与渐近线所图成的平行四边形为PMON，渐近线方程：
l1：y=bax，l2：y=-bax，则直线PN：y=bax-x0+y0=bax-bax0+y0，PM：y=-bax-x0+y0=-bax+bax0+y0，由直线l1和直线PM，解的交点May0+bx02b，ay0+bx02a，同理解的交点N-ay0+bx02b，ay0-bx02a故：平行四边形面积：S=OM⋅ONsin∠MON=OM⋅ONtan∠MON=b2x02-a2y024b2+a2y02-b2x024a2⋅2aba2-b2=a2b2a2-b24a2b2⋅2aba2-b2=ab2
例1.(多选)如图，过双曲线C：x2-y2b2=1b>0右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A，B两点，交x轴于点D，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.ABmin=2b2+1
B.S△OAP=S△OBP
C.S△AOB=b
D.若存在点P，使cs∠F1PF2=14，且F1D=2DF2，则双曲线C的离心率e=2
解析：先求双曲线x2-y2b2=1上一点Px0，y0的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分(其他象限由对称性同理可得).由x2-y2b2=1，得y=b2x2-b2，所以y'=b2xb2x2-b2，则在Px0，y0的切线斜率y'=b2x0b2x02-b2=b2x0y0，所以在点Px0，y0处的切线方程为：y-y0=b2x0y0x-x0又有x0​2-y0​2b2=1，化简即可得切线方程为：x0x-y0yb2=1.不失一般性，设Px0，y0是双曲线在第一象限的一点，Ax1，y1是切线与渐近线在第一象限的交点，Bx2，y2是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程是y=±bx，联立：x0x-y0yb2=1y=bx，解得：Abbx0-y0，b2bx0-y0，联立：x0x-y0yb2=1y=-bx，解得：Bbbx0+y0，-b2bx0+y0，则AB=bbx0-y0-bbx0+y02+b2bx0-y0+b2bx0+y02=2b2+1x02-1，又因为x0≥1，所以AB≥2b2+1-1=2b，即ABmin=2b，A错误，也可：由结论：面积为S△AOB=ab=12AB⋅d⇒ABmin=2abdmax=2b；由bbx0-y0+bbx0+y02=x0，b2bx0-y0+-b2bx0+y02=y0，可知Px0，y0是A，B的中点，所以S△OAP=S△OBP，B正确；易知点D的坐标为1x0，0，则S△AOB=SAADO+S△BDO=12×OD×y1-y2=12×1x0×b2bx0-y0+b2bx0+y0=b，当点Px0，y0在顶点1，0时，仍然满足S△AOB=b，C正确；因为F1-c，0，F2c，0，D1x0，0，所以F1D=1x0+c，0，DF2=c-1x0，0，因为F1D=2DF2，则1x0+c=2c-1x0，解得c=3x0，即x0=3c，代入x0​2-y0​2b2=1，得y0​2=9b2c2-b2，故PF12=3c+c2+9b2c2-b2=9c2+c2+6+9b2c2-b2=9c2+c2+6+9c2-1c2-c2-1=16，PF22=3c-c2+9b2c2-b2=9c2+c2-6+9b2c2-b2=9c2+c2-6+9c2-1c2-c2-1=4，所以cs∠F1PF2=16+4-4c22×4×2=5-c24=14，所以c=2，所以离心率e=2，D正确，对D可这样：由双曲线的光学性质可知，l是∠F1PF2的角平分线，由角平分线性质PF1PF2=2，PF1-PF2=2⇒PF1=4，PF2=2，后由余弦定理科求离心率.故选：BCD
例2.(多选)双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1，F2分别为双曲线C：x2-y24=1的左，右焦点，过C右支上一点Ax0，y0x0>1作直线l交x轴于点M1x0，0，交y轴于点N，则( )
A.C的渐近线方程为y=±2x
C.过点F1作F1H⊥AM，垂足为H，则OH=32
B.∠F1AM=∠F2AM
D.四边形AF1NF2面积的最小值为45
解析：对于A选项，A正确；对于B选项，由题意得，AM的直线方程为y-0=y0x0-1x0x-1x0，所以整理得：x02-1y0⋅y=x0x-1得∴x0x-y0y4=1∴AM为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF2，故B正确：对于C选项，延长F1H，与AF2的延长线交于点E，则AH垂直平分F1E，即点H为F1E的中点.又O是F1F2的中点，OH=12F2E=12AE-AF2=a-1故C错误；对于D选项，SAF1NF2=SΔAF1F2+S△NF1F2=12F1F2y0+4y0≥12⋅25⋅24=45当且仅当y0=4y0，即y0=±2时，等号成立.∴四边形AF1NF2面积的最小值为45，故D正确.故选：ABD.
⑭深入研究直线与双曲线“纠葛”
(1)直线与双曲线的交点情况
对于任意一条直线l：y=kx+mm≠0与双曲线：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的交点个数的判断，首先：联立
x2a2-y2b2=1y=kx+m⇒b2-a2k2x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0
①当b2-a2k2=0⇒k=±ba，则直线l与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点；
注：此情况下，m≠0，若m=0，直线与渐近线重合；
②当b2-a2k2≠0，今Δ=b2-a2k2x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=4a2b2b2-a2k2+m2
当Δ>0时，直线与双曲线有2个交点，当Δ=0，直线与双曲线有1个交点，当Δ0，b>0，
(1)定点P在双曲线内，如下面阴影部分区域(不包含在双曲线上的情况)
此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有两条.且这两条直线分别与对应的两条渐近线平行，具体如下：
备注：根据上图点P在双曲线内，很明显可以看出过定点P与双曲线有两个交点的直线有无数条，与双曲线无交点的直线有0条，所以此处只探讨过定点P与双曲线只有一个交点的直线条数这种相对复杂的情况，并且这种情况也是常考点
(3)定点P在两条渐近线之间，如下图粉色区域(不包含原点，在渐近线上的情况)
此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有四条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(黑色)，另外两条直线与双曲线相切(绿色)，且切点相切在双曲线的两支上，具体如下：
(4)定点P在双曲线上，如下图：
此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有三条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(黑色)，另外一条直线与双曲线相切(绿色)，具体如下：
(5)定点P在渐近线上，如下图(不包含原点)：
此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有两条，其中一条直线与对应的渐近线平行(黑色)，另外一条直线与双曲线相切(红色)，具体如下：
(6)定点P在原点上，如下图：可知此时过原点，与双曲线只有一个交点的直线是不存在，即0条
综上6种情况，过定点与双曲线只有一个交点的直线有4条(两种情况)，3条，2条(两种情况)或者0条的可能，具体情况是由定点在坐标轴的位置决定的.
例题：设双曲线x2-y22=1，过点燃P1，1否作一条直线l交双曲线于A，B两点，使P为线段AB的中点？
解析：分析：若存在这样的直线，不妨设交点Ax1，y1，Bx2，y2，
x12-y122=1x22-y222=1
两式相减：x1+x2x1-x2=y1+y2y1-y22⇒2x1-x2=y1-y2⇒kAB=y1-y2x1-x2=2，
故l：y-1=2x-1⇒y=2x-1；
联立：x2-y22=1y=2x-1⇒2x2-4x-3=0⇒Δ0，b>0与点Px0，y0，判断是否存在以P点为中点的弦，
在使用“点差法”处理双曲线“中点弦”问题时，是要验根的.原因是“等式组”相减后到“等式”的必要性，而不一定是充要条件
求过定点的双曲线的中点弦问题，通常以点差法和联立法为主.而无论使用点差法还是联立法，都要用人来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在区域，如下.利用双曲线及渐近线，可把平面分成I、I、Ⅱ三个区域，如下图：
(1)当点Px0，y0在区域I内时，有：00的弦AB两端点为Ax1，y1，Bx2，y2，中点为Px0，y0，则由点差法得出kAB=x0b2y0a2，(1)即直线AB方程为：y=kx-kx0+y0(2)；将(2)代入x02a2-y02b2=1中，整理得：
b2-a2k2x2-2ka2y0-kx0x-a2y0-kx02-a2b2=0，则Δ=4a2b2y0-kx0+b2-a2k2
将(1)代入(3)，整理得Δ=4a2b2y02x02a2-y02b2x02a2-y02b2-1
(1)若Px0，y0在区域I内时，则0≤x02a2-y02b2≤1，此时Δ≤0，中点弦不存在；
(2)若Px0，y0在区域Ⅱ内时，有：x02a2-y02b20，中点弦存在，两个交点分别在左右支上，并且直线l是唯一的，缺率为k=x0b2y0a2
(3)点Px0，y0在区域Ⅲ内时，有：x02a2-y02b2>1，此时Δ>0，中点存在；两个交点在同支上，并且直线l是唯一得，斜率为k=x0b2y0a2
特别地，当点Px0，y0在渐近线上或曲线上时，此时x02a2-y02b2=0或1，此时Δ=0，不存在这样的弦.
例题：已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0，若双曲线不存在以点2a，a为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是( )由结论知：此时满足：0≤2a2a2-a2b2≤1⇒3≤a2b2≤4⇒e∈52，233
4.各省市模拟题—双曲线渐近线压轴题综合
一.综述
在双曲线的几何性质中，渐近线是双曲线所特有的性质，因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.画双曲线时，应先画出它的渐近线.理解“渐进”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的.
掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法.最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程，即：
(1)已知双曲线方程x2a2-y2b2=1求渐近线：x2a2-y2b2=0⇒y=±bax
(2)已知渐近线y=mx设双曲线标准方程m2x2-y2=λ
在考题中，常结合双曲线方程和离心率进行考查，只要抓住渐近线斜率与离心率可以通过a2+b2=c2的关系进行相互转化即可.几何性质中我们除了要掌握对称性，还需要熟记焦点到渐近线的距离为b.
二、经典例题(以下的全部解析，都是由本人独自完成)
例1.(2021年11月广东省实验中学高三期中考)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若3F1A=2AB，F1B⋅F2B=0，则C的离心率为( )
A.43
B.53
C.2
D.5
解法1：外分弦：ba=52+152-1tanθ∵tan2θ=ba⇒tanθ=c-ab⇒ba=73c-ab⇒e=43
解法2：S△OABS△OAF1=12OA⋅c⋅sin180∘-2θ12OA⋅c⋅sinθ=32⇒csθ=34⇒e=1+tan2θ=1+732=43
例2.(2009浙江理科)过双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若AB=12BC，则双曲线的离心率是(C)
A.2
B.3
C.5
D.10
解析：∵ba=3+13-1⋅1，∴e=1+ba2=5
例3.如图所示，已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA颃制角的2倍，若AF=2FB，则该双曲线的离心率为( )B
A.324
B.233
C.305
D.52
解析：∵tanθ=ba=2-12+1⋅tan2θ，e=1+332=233
例4.(2019年全国I卷)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A=AB，F1B⋅F2B=0，则C的离心率为___________
解析：∵ba=2+12-1⋅ab，∴e=1+3=2
例5.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2MF=FN，则双曲线的离心率( )
A.233
B.3
C.433
D.5
解析：∵ba=2-12+1⋅ab，e=1+13=233
例6.(2020年广州市普通高中毕业班综合测试理11)过双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0右焦点F2作双曲线一条渐近线的线，垂足为P，与双曲线交于点A，若F2P=3F2A，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±12x
B.y=±x
C.y=±2x
D.y=±25x
解析：如图由F2P=3F2A：可得：ba=12，所以A正确.
解题反思：看吧，只要我们研究透直线与双曲线渐近线直的关系，把握住上面4个知识点，这个题简单的连步骤都写不出来.其实，我并不是要强调这些结论多么重要，而是想说的是，老师们要给学生讲，那就讲透测，比如：老师们一般会强调，焦点到相应的渐近线距离为b，但是究竟有多少用呢？为什么不系统的帮学生去归纳总结呢？如果不懂这个方法，有些同学可能借助Fc，0，Pa2c，abc点，通过向量关系把A点求出，然后代入双曲线方程，虽说也可以得出答案，但过程还是稍许麻烦，况且，你前提还是要知道P点坐标.
例7.(2022年河北省䚂水中学第六次质量检测考试12)已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为M，且交双曲线的左支于N点，若FN=2FM，则双曲线的离心率为( )
A.3
B.5
C.3
D.2
解析一：如图由：FN=2FM可得M为NF的中点，所以ba=FNNM=2，所以e=1+ba2=5，A正确.
解析二：由双曲线标准方程知：渐近线方程为y=±bax且Fc，0，∴若过F作y=bax的垂线，即垂线为y=-abx-c，有Ma2c，abc，由FN=2FM知：N点纵坐标为2abc，横坐标为a2-b2c，代入双曲线方程有：3a4+2a2b2-b4+a2c2=0，结合a2+b2=c2，得：e=ca=5.
例8.(2022年江西省第一次金太阳大联考12题)已知点P为双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0右支上一点，F1，F2分别为C的左，右焦点，直线PF1与C的一条渐近线直，垂足为H，若PF1=4HF1，则该双曲线的离心率为( )
A.153
B.213
C.53
D.73
解析：由PF1=4HF1，所以得：e=1+F1PPH2=1+432=53
例9.(2021年黄冈中学11月月考12题)如图，过双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点F作直线y=bax的垂线l，垂足为H，直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，且AB=4BH，FH=6，则双曲线C的方程为( )
A.x29-y236=1
B.x236-y29=1
C.x218-y236=1
D.x236-y218=1
解法一：解析：设BH=x⇒AH=3x⇒BF=6-x
由结论：e=1+6-xx2=1+6+3x3x2，即：b2a2=6-xx2
又由：b2a2=2x+66+12x+66-1，所以联立两式：解的x=2⇒ba=6-22=2∵b=6⇒a=3，所以A正确
解法二：解析：epecsθ-epecsθ+1=4b-epecsθ+1⇒366-a+3×366+a=24⇒a=3⇒e=5
例9.(2022年湖北荆州模拟考)斜率为2的直线l过双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点，且与双曲线的左右两支分別相交，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.e0的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A，B两点，且向量BF与FA同向.若OA，AB，OB成等差数列，则双曲线离心率e的大小为( )
A.2
B.72
C.62
D.52
解析：不妨设OB=x，则BA=x+d，OA=x+2d，由于直线与双曲线的一条渐近线垂直，由勾股定理得x2+x+d2=x+2d2⇒x=3d即OB：BA：OA=3：4：5，由角平分线性质：ba=53-153+1⋅ab⇒b2a2=14⇒e=52
例11.(2022年厦门五校联考)设F为双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点，过F且斜率为ab的直线l与双曲线C的两条渐近线若分别交于A，B两点，且AF=2BF，则双曲线C的离心率为___________
解析：此题考查了内分弦和外分弦：很容易求得离心率为：2或233
例12.已知双曲线C的中心为原点，F3，0是C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N-12，-15，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±52x
B.y=±255x
C.y=±2x
D⋅y=±22x
解析：设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1a>0，b>0，由题意知设Ax1，y1，Bx2，y2，则有：x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1，两式作差得：y1-y2x1-x2=b2a2×x1+x2y1+y2=-12-15×b2a2=4b25a2，又AB的斜率是-15-0-12-3=1，
所以将4b2=5a2.则双曲线的渐近线方程为y=±52x.本题选择A选项.
例13.已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y=34x，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为( )
A.x216-y29=1
B.x29-y216=1
C.x264-y236=1
D.x236-y264=1
解析：∵双曲线的一条渐近线方程是y=34x，∴ba=34又∵3c5=6⇒c=10∴双曲线方程为x264-y236=1选为C.
例14.已知F是双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的一个焦点，l1，l2是双曲线的两条渐近线，过F且直于l1的直线与l1，l2分别交于A，B两点，若三角形AOB的面积SAOB=2ab，O为原点，则双曲线的离心率为( )
A.153或213
B.62或2
C.102或62
D.102或6
解析：如图甲，可求出A，B的而坐标分别为Aa2c，abc，Ba2ca2-b2，abcb2-a2，所以S△MOB=S△BOF-S△MOF=12c×abcb2-a2-12c×abc=2ab⇒e=102
(1)b>a>0；
(2)a>b>0.
同理可得当a>b>0时，满足条件的离心率e=62，故选C
例15.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点为F，左顶点为AO坐标原点，以OF为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P，且PA=PF，则双曲线的离心率e=___________
解析：由题可知A-a，0，Fc，0，双曲线的渐近线的方程为y=±bax，可取y=bax，以OF为直径的圆的方程为x-c22+y2=c24，联立可得Pa2c，abc.由PA=PF，a2c+a2+abc2=a2c-c2+abc2可得c-a2=a2c，即c2-ac=2a2，e2-e-2=0，∴e-2e+1=0，解得e=2或e=-1(舍去)，故e=2.
例16.过双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点F且平行于其一条渐近线的直线l与另一条渐近线交于点A，直线l与双曲线交于点B，且BF=2AB，则双曲线的离心率为(C)
A.233
B.2
C.3
D.2
解析：e=1+F2BBA=3
例17.在平面直角坐标系xOy中，过双曲线x2a2-y24=1a>0上的一点C作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OACB的面积为3，则该双曲线的离心率为(A)
A.133
B.52
C.2
D.5
解析：∵12a⋅2=3⇒a=3⇒e=ca=133
例18.(厦门市2022届高中毕业班线上质量检查(一)数学)已知F1F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左右焦点，过F2且与C的渐近线平行的直线与C交于点P，PF1⊥PF2，则C的离心率为(D)
A.2
B.3
C.2
D.5
解析：由于PF1⊥PF2，又因为F2到其渐近线的距离为b，则b=PM⇒PM=MF1=b，
所以：离心率为e=1+212=5
例19.已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0，A，B为双曲线的左右顶点，若点M在双曲线上，且满足△ABM为一个顶角为120∘的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是( )
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±2x
D.y=±22x
解析：由题意，设A-a，0，Ba，0，Mx，y，则kAM=yx+a=tan30∘kBM=yx-a=tan60∘，则y2x2-a2=1，即双曲线的方程为x2-y2=a2，其渐近线方程为y=±x；故选A.
例20.已知双曲线M：x2a2-y2b2=1b>a>0的焦距为2c，若M的渐近线上存在点T，使得经过点T所作的圆x-c2+y2=a2的两条切线互相垂直，则双曲线M的离心率的取值范围是( )
A.(1，2]
B.(2，3]
C.(2，5]
D.(3，5]
解析：∵b>a，所以离心率e=1+ba2>2，圆x-c2+y2=a2是以Fc，0为圆心，半径r=a的圆，要使得经过点T所作的圆的两条切线互相直，必有TF=2a，而焦点Fc，0到双曲线渐近线的距离为b，所以TF=2a≥b，即ba≤2，所以e=1+ba2≤3，所以双曲线M的离心率的取值范围是(2，3].
例21.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的两条渐近线均与圆x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为( )
A.63
B.62
C.355
D.52
解析：双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的渐近线方程为y=±bax，即bx±ay=0，圆C：x2+y2-6x+5=0化为标准方程x-32+y2=4，∴C3，0半径为2，∵双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，∴3bb2+a2=2，∴9b2=4b2+4a2∴b2=4a2，∵b2=c2-a2，∴5c2-a2=4a2∴9a2=5c2，∴e=ca=355，∴双曲线离心龶对于355
153例22.设已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0，斜率为2的直线与两渐近线分别交于P，Q两点，若P，Q中点M的坐标为83，43，则C的离心率为( )A
A.2
B.3
C.5
D.2
解析：∵kOM⋅kl=e2-1∴e=2
例23.设已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点F，过F作直线l与一条渐近线平行，直线l与双曲线交于点M，与y轴交于点N，若FM=12MN，则C的离心率为B
A.2
B.3
C.5
D.2
解析：设FM=x，∴MN=2x⇒FN=3x，∵OA=FA⇒FA=1.5x⇒MA=0.5x⇒e=1+FMMA=3
例24.(2018年天津)卷已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为
A.x24-y212=1
B.x212-y24=1
C.x23-y29=1
D.x29-y23=1
解析：秒杀方法：由梯形中位线知，焦点到此渐近线的距离为3，即b=3，选C.
例25.设F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，至足为P.若PF1=6OP，则C的离心率为( )
A.5
B.2
C.3
D.2
解析：∵PF2=b，PO=a，又因为PF1=6OP，所以PF1=6a，在Rt△POF2中，
csθ=PF2OF2=bc，∵在ΔPF1F2中，csθ=PF22+F1F22-PF122⋅PF2⋅F1F2=bc，
∴b2+4c2-6a22b⋅2c=bc⇒b2+4c2-6a2=4b2⇒4c2-6a2=3c2-3a2⇒c2=3a2⇒e=3.
例26.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线x2a2-y2b2=12a>0，b>0的焦点相同，则双曲线渐近线方程为( )
A.y=±33x
B.y=±3x
C.y=±22x
D.y=±2x
解析：依题意，椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线x2a2-y2b2=12a>0，b>0即x2a22-y2b22=1a>0，b>0的焦点相同，可得：a2-b2=12a2+12b2，即a2=3b2，∴ba=33，可得b2a2=33，∴双曲线的渐近线方程为：y=±b2a2x=±33x.故选A.
例27.已知双曲线方程：y2b-x2a2=1，a>0，b>0，其中一条渐近线方程为：y=-32x，虚轴长为4，则双曲线离心率为( )
答案：分析容易知道焦点在y轴上，∴32=ba∵2a=4∴a=2，b=9，所以双曲线离心率为133
例28.已知双曲线方程：y2b2-x2a2=1，a>0，b>0的离心率为2，则此双曲线的一条渐近线方程为( )
答案：y=33x，y=-33x，3x-3y=0，3x+3y=0 (写出一条即可)
例29.已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M-a，0，N0，b，点P为线段MN上的动点，当PF1⋅PF2取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则S2S1=( )
A.23
B.4
C.43
D.8
解析：PF1⋅PF2=PO2-c2(极化恒等式)，下面研究PO的最大值和最小值即可，取最大值时P在N点，取最小值时PO⊥MN，之后分别求出P的纵坐标，即可：12⋅2c⋅b12⋅2c⋅a2bc2=c2a2=e2=4
例30.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为13的直线交双曲线于A，B两点，线段AB的垂直平分线恰过点F2，则该双曲线的离心果为( )
A.6
B.5
C.62
D.52
解析：我们可以用硬解定理迅速处理：y=13x+13c，所以得Q坐标，x1+x22=13⋅13c⋅a2b2-a2⋅19，y1+y22=13c⋅b2b2-a2⋅19利用斜率之积为-1得e=52
例31.已知点F为双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，直线FA与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若FA=2-1AB，则此双曲线的离心率是( )
A.2
B.3
C.2
D.3
解析：根据题意：不妨取A0，b，Fc，0，设Bx，y，FA=2-1AB，故x=-2+1cy=2+2b，点B在渐近线上，故y=-bax，即2+2b=ba2+1c，即e=2.故选：A.
例32.已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P在过F且直于x轴的直线l上，当△ABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±33x
B.y=±22x
C.y=±x
D.y=±2x
解析1：根据双曲线的对称性不妨设点P的坐标为c，y0y0>0，由于AB为定值，由正弦定理可知当sin∠APB取得最大值时，△APB的外接圆面积取得最小值，也等价于tan∠APB取得最大值，tan∠APF=a+cy0，tan∠BPF=c-ay0，∴tan∠APB=tan∠APF-∠BPF=a+cy0-c-ay01+a+cy0⋅c-ay0=2ay0+b2y0≤2a2y0⋅b2y0，ab，当且仅当y0=b2y0y0>0，即当y0=b时，等号成立，此时∠APB最大，此时△APB的外接圆面积取最小值，点P的坐标为c，b，代入x2a2-y2b2=1，可得c2a2=2，即a2+b2a2=2，即b2a2=1.所以双曲线的渐近线方程为：y=±x.
解析2：△ABP的外接圆面积达到最小时，ABsin∠ACB=2R由正弦定理得：则∠ACB最大，即由米勒定理得：设圆心为O'，坐标原点为O，由题意知：Pc，b2a，在ΔO'OB中，勾股定理：b2a2+a2=c2⇒b2a2=1⇒y=±x
例33.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为( ).
A.2
B.2+2
C.2
D.2+2
解析：设以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P1m，n，m>0，n>0，m2a2-n2b2=1，m2+n2=c2以F1F2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则m=n代入可得：c22a2-c22b2=1，c22a2-c22c2-a2=1c2-a2c2-a2c2=2a2c2-a2c4-4a2c2+2a4=0，两边同时除以a4得：所以e=2+2故选：D
例34.已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若MF1-MF2=2b，该双曲线的离心率为e，则e2=
A.2
B.3
C.3+222
D.5+12
解析：以线段A1A2为直径的圆方程为x2+y2=c2，双曲线过第一象限渐近线方程为y=bax，联立x2+y2=c2y=bax，求得Ma，b，因为MF1-MF2=2b，又MF12+MF22=4c2，MF1⋅MF2=2bc故MF1-∣MF22+2MF1⋅MF2=4c2解得e4-e2-1=0，由求根公式有e2=5+12(负值舍去).故选D.
例35.已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点，若在右支上存在一点P，使PF1与圆x2+y2=4a2相切，则该双曲线的离心率的范围是( )
A.2，5
B.5，+∞
C.5，+∞
D.5，5
解析：设切点为M，在直角△F1MO中，OM=2a，OF1=c，∴F1M=c2-4a2.所以tan∠MF1O=2ac2-4a2.因为在右支上存在一点P，使PF1与圆x2+=4a2相切，所以tan∠MF1O=2ac2-4a25∴e>5故选B.
点睛：本题的解题的关键是发现tan∠MF1O=2ac2-4a20，b>0的左、右焦点分别为F1、F2，O坐标原点，P是双曲线上在第一象限内的点，直线PO、PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M、N，PF1=2PF2，且∠MF2N=60∘，则双曲线C的离心率为( )
A.2
B.3
C.7
D.233
解析：由题意，PF1=2PF2，PF1-PF2=2a，∴PF1=4a，PF2=2a.连接MF1、MF2，根据双曲线的对称性可得MF1PF2为平行四边形，∠MF2N=60∘，∴∠F1PF2=60∘，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2⋅4a⋅2a⋅cs60∘，∴c=3a，∴e=ca=3，故选B.
5.各省市模拟题——双曲线综合压轴题的解题展示
例1.双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心，半径为a+c2的圆与过F1的直线l相切于点N.设l与C的交点为P，Q，若PQ=2PN，则双曲线C的离心率是___________
解析：如图所示：因为∵AN=a+c2，F1A=a+c，AN⊥PQ，∴∠NF1A=π6∴∠F1AN=π3
所以Na-a+c4，3a+c4，即N3a-c4，3a+c4，
又因为：kON⋅kF1Q=3a+c43a-c4⋅tanπ6=3a+c3a-c⋅33=b2a2∴3a+c3a-c⋅33=c2-a2a2⇒e=2.
例2.(2020广州一模)已知O为坐标原点，设双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限上的点，过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b=F1F2-2OA，则双曲线C的离心率为( )
A.54
B.43
C.53
D.2
解析：延长F2A交PF1于点B，因为PA是∠F1PF2的平分线且PA⊥F2B，可得PB=PF2，且AB=AF2，所以OA是△F1BF2的中位线，所以OA=12BF1=12PF1-PB=a，
又由b=F1F2-2OA，可得b=2c-2a，所以b2=2c-2a2，∴c2-a2=4c2+4a2-8ac，解的离心率为C例3.(2020年江西金太阳第四次大联考12)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A、B两点且AF=3BF，则双曲线离心率的最小值为( )C
A.2
B.3
C.2
D.22
解析1：因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A、B两点且AF=3BF，故A点在双曲线的左支，B点在右支，设Ax1，y1，Bx2，y2，右焦点Fc，0，因为AF=3BF，所以c-x1=3c-x2，3x2-x1=2c，由图可知，x1≤-a，x2≥a，所以-x1≥a，3x2≥3a，故3x2-x1≥4a，即2c≥4a，ca≥2，即e≥2，选C.
解析2：焦半径公式：设Ax1，y1，Bx2，y2，所以a-ex1=3ex2-a⇒4a=e3x2+x1⇒3x2+x1≥2a⇒e≥2
例4.(2020年江门市6月高三第三次质量检测12)点P是双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0左支上的一点，其F为右焦点为c，0，若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为c8，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1，8]
B.1，43
C.43，53
D.(2，3]
解析：因为双曲线方程：整理得：焦半径公式：P点在左支PF1=-a-ex0PF2=a-ex0，P点在右支PF1=a+ex0PF2=-a+ex0因为：∵OM=c8∴PF1=c4∴c4=-a-ex0；
∴x0=-a4-a2c≤-a⇒a4+a2c≥a⇒14+ac≥1⇒ac≥34⇒e≤43∴e∈1，43.
例5.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左右焦点分别为F1，F2，O坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若F1F2=2OM，tan∠MF2F1≥2，则双曲线C的离心率的取值范围为___________
解析：∵F1F2=2OM，∴∠F1MF2=π2，令MF1=m，MF2=n，∴4c2=m2+n2，tan∠MF2F1=MF1MF2=mn，∵m-n=2a，∴e2=4c24a2=m2+n2m-n2=m2+n2n2m2-2mn+n2n2=m2n2+1m2n2-2mn+1，设mn=t≥2，则e2=t2+1t2-2t+1=1+2t+1t-2，∴t+1t≥2+12=52∴10
y2a2-x2b2=1a>0，b>0
顶点
A1-a，0，A2a，0
B10，-a，B20，a
对称轴
x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a
焦点
F1-c，0，F2c，0
F10，-c，F20，c
焦距
F1F2=2cc>0 c2=a2+b2
离心率
e=ca=1+b2a2>1(离心率越大，开口越大)
准线
x=±a2c
y=±a2c
渐近线
y=±bax
y=±abx
焦半径
双曲线的焦半径公式：MF1=ex1+a，MF2=ex1-a，
绝对值内看焦，左加右减，去绝对值看支，左负右正
x1≥a，点M在右支上；MF1=ex1+aMF2=ex1-a，
x1≤a，点M在左支上：MF1=-ex1+aMF2=-ex1-a
P在下支
PF1=-a-ey0
PF2=a-ey0
在上支
PF1=a+ey0
PF2=-a+ey0
通径焦准距
2b2a=2ep(p为焦准距)焦准距p=c-a2c=b2c注：焦点到其对应渐近线距离为b