2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册_201-240---2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册专题

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抛物线与阿基米德三角形定理：
抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二.
(一)下面我们先研究阿基米德三角形过焦点的一些重要性质
描述：过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点做抛物线的切线l1，l2相交于Q点Mx0，y0为AB中点，那么△ABQ叫做阿基米德三角形，则：
1.AB的端点的两条切线的交点Q在其准线上.
(阿基米三角形底边上的中线平行于坐标轴，即xQ=xM.)
证明：准备工具：
x2=2pyy=kx+p2⇒x2-2pkx-p2=0⇒x1x2=-p2，x1+x2=2pk，y1+y2=kx1+x2+p=2pk2+p，y1y2=p24
由抛物线x2=2pyp>0，直线AB：y=kx+b，求导：y=x22p∴y'=xp，由点斜式方程可得AQ方程：y-x122p=x1px-x1，同理可得BQ方程：y-x222p=x2px-x2，两式相减：x=x1+x22=pk，代入AQ切线方程得：y-x122p=x1px1+x22-x1=x1px2-x12⇒y=x1x22p=-p2，所以综上：Qpk，-p2
2.△QAB为直角三角形，且角Q为直角
证明：因为Qpk，-p2，kQA⋅kQB=x1p⋅x2p=x1⋅x2p2=-p2p2=-1
3.QF⊥AB
证明：因为Qpk，-p2，kQF⋅kAB=p2--p20-pk⋅k=-1
4.底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为a38p.
证明：AB=a，设Q到AB的距离为d，
d≤QM=y1+y22+p2=x122p+x222p2+p2=x12+x224p+p2=x12+x224p+-2x1x24p=x1-x224p
设直线AB的方程为y=kx+p2，则a=1+k2x1-x22，得x1-x22≤a2，所以d≤a24p⇒s=12ad≤a38p
5.何基米德三角形面积的最小值为p2
证明1：因为：QF⊥AB，∵Qpk，-p2，F0，p2：QF=p2k2+p2
∴SABQ=12AB⋅QF=12y1+y2+p⋅p2k2+p2=p2k2+132≥p2.
(当k=0时，此时：点Q0，-p2，底边AB=2p时，阿基米德三角形面积最小)
证明2：设Ax1，y1，Bx2，y2，QxQ，yQ
∴SABQ=12QM⋅x2-x1=12⋅y1+y22+p2⋅x1-x2=12⋅x12+x224p+p2⋅x1-x2≥12⋅2x1x24p+p2⋅x1-x2=12⋅2p24p+p2⋅x1-x2=12⋅p⋅x1-x2，
因为：x2-x1≥2-x1x2=2p2=2p
所以：∴SABQ=12QM⋅x2-x1=12⋅PQ⋅x2-x1≥12⋅p⋅2p=p2 当x1=-x2=p时取最小值Smin=p2)
证明3：因为S△QAB=x1-x238p=xQ2-2pyQ3p，当x1=-x2=p时，此时面积最小S△QABmin=2p38p=p2把顶点Q0，-p2，代入SΔQAB=xQ2-2pyQ3p，阿基米德三角形面积最小.
6.QF2=AF⋅BF，可用相似三角形证明，在此省略不证
(二).下面我们再研究阿基米德三角形不过焦点的一些重要性质
描述：作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点做抛物线的切线l1，l2相交于Q点Mx0，y0为AB中点，那么△ABQ叫做阿基米德三角形，则：
1.对于：x2=2pyp>0，设Ax1，y1，Bx2，y2，M为AB中点，则Mx1+x22，y1+y22，Qx1+x22，x1x22p即：底边AB边上的中线平行或重合与抛物线的对称轴！
证明：由y=12px2，得y'=xp，由题意，点A处的切线方程为y-x122p=x1px-x1，点B处的切线方程为：y-x222p=x2px-x2，联立两个方程并消去y得x=x1+x22，代入点A处的切线方程得y=x122p+x1px1+x22-x1=x1x22p，所以点Q坐标为x1+x22，x1x22p
2.(1)对于：x2=2pyp>0，设Ax1，y1，Bx2，y2，则AB的直线方程：
证明：kAB=y2-y1x2-x1=x222p-x122px2-x1=x2+x12p，∴lAB的直线方程为y-x122p=x1+x22px-x1⇒x1+x2x-2py-x1x2=0，即x1+x22x-py+x1x22p=0
(2)若：QxQ，yQ，则AB的直线方程：xQx=pyQ+y(极线)
由(1)x1+x22x-py+x1x22p=0，得：xQx=pyQ+y
3.若底边AB过抛物线内得定点Ix0，y0则阿基米德三角形顶点P的轨迹为一条直线，其方程为：x0x-py+y0=0
(1)当定点I在y轴上，设I0，t，则P的轨迹方程为y=-t，且kpd⋅kpB=-2tp(定值)
(2)当定点I在y轴上，设I0，p2，则P的轨迹方程为y=-p2，且kpd⋅kpB=-1(定值)
4.底边为a的阿基米德三角形，面积最大值为a38p
证明：因为Qx1+x22，x1x22p，Mx1+x22，y1+y22，MQ=y1+y22-x1x22p=x122p+x222p2-x1x22p=x12+x22-2x1x24p=x1-x224p
S△ABQ=12ABd≤12AB⋅MQ≤121+k2x1-x2⋅x1-x224p=121+k2⋅x1-x234p≤a38p
5.对于：x2=2pyp>0，设Ax1，y1，Bx2，y2，QxQ，yQ，则有S△QAB=x1-x238p=xQ2-2pyQ3p
证明：详解：由y=12px2，得y'=xp，由题意，点A处的切线方程为y-x122p=x1px-x1，点B处的切线方程为：y-x222p=x2px-x2，联立两个方程并消去y得x=x1+x22，代入点A处的切线方程y=x122p+x1px1+x22-x1=x1x22p，所以点Q坐标为x1+x22，x1x22p，设直线AB的斜率为kAB，则kAB=y2-y1x2-x1=x222p-x122px2-x1=x1+x22p，故直线AB的方程为y-x122p=x1+x22px-x1，化简得x1+x2x-2py-x1x2=0，由AB得点Q到直线AB的距离d=x1+x2⋅x1+x22-2p⋅x1x22p-x1x2x1+x22+4p2=x1-x222x1+x22+4p2AB=1+x1+x22p2⋅x1-x2=∣x1+x22+4p22p⋅x1-x2，故SOABC=12AB⋅d=12x1+x22+4p22px-xx1-x222x1+x22+4p2x1-x2β8p
(三)，圆锥曲线的极点极线说明
设圆锥曲线C：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0，则点Px0，y0(P不在曲线中心或渐近线上)和直线l
Axx0+Byy0+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0是曲线C的一对极点极线
以x2=2pyp>0为例：若P在抛物线上：如图(1)过点Px0，y0的切线方程：x0x=py+y0
以x2=2pyp>0为例：若P在抛物线外：如图(2)过点Px0，y0引两条切线，切点弦AB方程为x0x=py+y0以x2=2pyp>0为例：若P在抛物线内：如图(3)以点Px0，y0为中点弦AB，以A，B为切点作切线，切线交于Q点，则Q的运动轨迹为直线，则直线方程为x0x=py+y0
精选例题1：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线y2=2pxp>0，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为( )
A.p22
B.p2
C.2p2
D.4p2
详解：设Ax1，y1，Bx2，y2，过A，B的切线交于Q，直线AB的方程为：x=my+p2，把直线AB的方程代入y2=2pxp>0得：y2-2pmy-p2=0，所以y1+y2=2pm，y1y2=-p2，x1x2=p24，则AB=1+m2y1+y22-4y1y2=2p1+m2，由导数的知识得：kAQ=2p12x1，kBQ=-2p12x2，所以kAQ⋅kBQ=-1，所以AQ⊥BQ，所以AQ2+BQ2=AB2，因为S=12AQ⋅BQ≤14AQ2+BQ2=14AB2=142p1+m22，当m=0时，可得S的最小值为p2，故选B.
精选例题2：已知抛物线y2=2pxp>0的准线为l，过l上任意一点M-2，t引两条直线与抛物线相切于A，B两点，若AB=16，则△ABO的面积S=(A)
A.82
B.42
C.22
D.2
解析：阿基米德三角形性质AB一定过焦点，∴AB=2psin2θ=8sin2θ=16⇒sinθ=22⇒S△ABD=p22sinθ=82精选例题3：如图，设抛物线方程为x2=2pyp>0，M直线l：y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列.
解析：设Ax1，y1，Bx2，y2，由相切关系：kAM=x1p，kBM=x2p，由点斜式可得：
AM方程：y=x1px-x1； BM方程：y=x2px-x2，py=2x1x-x12py=2x2x-x22⇒0=xx1-x2-x12+x22⇒x12-x22=2xx1-x2⇒x=x1+x22
精选例题4：已知抛物线C：x2=2pyp>0的焦点为F，A，B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，l1与l2交于点D.
(1)求点D的纵坐标；
(2)求证；A，B，F三点共线.
(1)解析：设点A，B的坐标分别为x1，y1，x2，y2因为l1，l2分别是抛物线C在点A，B处的切线，所以直线l1的斜率k1=y'x=x1=x1p，直线l2的斜率k1=y'x=x2=x2p.因为l1⊥l2，所以k1k2=-1，因此x1x2=-p2.因此A，B，是抛物线C上的点，所以y1=x122p，y2=x222p.所以直线l1的方程为y-x122p=x1px-x1，直线l2的方程为y-x222p=x2px-x2.由两式联立：解得所以点D的纵坐标为-p2.
(2)证法一因为F抛物线C的焦点，所以F0，p2，直线AF的斜率kAF=y1-p2x1-0=x122p-P2x1=x12-p22px1直线BF的斜率kBF=y2-p2x2-0=x222p-P2x2=x22-p22px2，因为kAF-kBF=x12-p22px1-x12-p22px2：=x2x12-p2-x1x22-p22px1x2=x1x2x1-x2+p2x1-x22px1x2=p2x1-x2+p2x1-x22px1x2=0所以kAF=kBF.因此A，B，F三点共线.
证法二因为F抛物线C的焦点，所以F0，p2.所以AF=-x1，p2-x122p=-x1，p2-x122p，BF=-x2，p2-x222p=-x2，p2-x222p.因为p2-x122pp2-x222p=p2-x12p2-x22=-x1x2-x12-x1x2-x22=x1x2，所以AF//BF，即共线.证法三如图上：设线段AB的中点为E，则E的坐标为x1+x22，y1y22.抛物线C的准线为l：y=-p2，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂是分别为A1，B1.由(1)知点D的坐标为x1+x22，-p2，所以DE⊥l.因此DE是直角梯形AA1B1B的中位线，即DE=12AA1+BB1.根据抛物线的定义知AA1=AF，BB1=BF所以DE=12AA1+BB1=12AF+BF，因为AD⊥DB，E线段AB的中点，所以DE=12AB.因此12AB=12AF+BF，即AB=AF+BF.故A，B，F三点共线.
精选例题5：已知抛物线的方程为C：x2=2pyp>0，过点P0，p的直线l与抛物线交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的两条切线l1和l2，l1和l2，交于点M.
(1)求证：直线l1和l2，的㷄之积为定值；
(2)求点M的轨迹方程.
解析：(1)证明：根据条件，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，将其代入x2=2py，消去y整理得x2=2pkx-2p2=0.设A，B得坐标分别为Ax1，y1，Bx2，y2，则x1x2=-2p2.将抛物线的方程改写为y=12px2，求导得y'=1px.所以过点A的切线l1的㸯为k1=x1p，过点B的切线l2的斜率为k2=x2p，所以k1k2=x1x2p2=-2，所以直线l1和l2，的斜率之积为定值-2.
(2)解析：设Mx，y，因为直线l1的方程为y-y1=k1x-x1，即y-x122p=x1px-x1，同理，直线l2的方程为y-x222p=x2px-x2，联立这两个方程组，消去y得x122p-x222p=x2px-x2-x1px-x1，整理得x-x1x-x1+x22=0，注意到x1≠x2，所以x=x1+x22，此时y=x122p+x1px-x1=x122p+x1px1+x22-x1=x1x22p=-p.由(1)可知x1+x2=-2pk，所以x=x1+x22=pk∈R，因此点M的轨迹方程是y=-p
精选例题6：如图：已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在直线l上的射影，下列命题正确的是( )
A.若AB⊥BF，则AP=PC
B.若AB=BC，则AF=2BF
C.若AF=4，则P，B，F三点共线
D.对于任意直线m，都有AF+BF>2CF
解析：如图，由已知条件可得F1，0，C-1，0.由抛物线的对称性，不妨设直线m的方程为y=kx+1k>0，Ax1，y1，Bx2，y2.依题意x1>x2，由y=kx+1，y2=4x，整理得k2x2+2k2-4x+k2=0.当Δ=2k2-42-4k4=16-16k2>0，即00的焦点为F，过F作直线l与抛物线C交于A、B两点，分别以A、B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段AB的中点为M.若点T的坐标为2，-12，则( )
A.点M的横坐标为2
B.点M的纵坐标为3
C.直线1的斜率等于2
D.TM=5
解析：由阿基米德三角形：可知A正确，m=p2=12⇒p=1，2=x1+x22=pk⇒k=2，故y1+y22=pk2+m=5C正确，点M的纵坐标为5，即TM=5，选ACD
精选例题15：(多选)已知直线l与抛物线y2=2pxp>0交于A，B两点(异于坐标原点O)，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，则( )
A.直线l过定点2p，0
B.线段AB长度的最小值为4p
C.点D的轨迹是椭圆
D.线段OD长度的最大值为3p
解析：直线l过x轴上的定点2p，0，故A选项正确，对于CD，如图，设直线l与x轴的交点为C，因为OD⊥DC，OC为定值2p，所以D在以CO为直径的圆上运动(点D不与点O重合)，则线段OD长度的最大值为2p，即D与C点重合时取最大值.故CD选项错误.故选：AB
(3)抛物线的蝴蝶定理及重心性质
1.抛物线中直线的几个普适性质
抛物线y2=2pxp>0上任意两点Ax1，y1，Bx2，y2，直线AB与x轴交点x0，0，这里这条直线不像通常那样限制要经过焦点，所以能普适！
结论(1)kAB=2py1+y2(2)AB方程：y1+y2y-y1y2=2px(3)y1y2=-2px0(4)x02=x1x2
2.两个重要命题
Δ命题1.已知四边形ABCD内接于抛物线y2=2pxp>0，对边AB，CD与x轴分别相交于点M，N两点，两条对角线AC，BD与x轴都相交于点T，则OT2=OM⋅ON
证明：设Mm，0，Tt，0，Nn，0，由引理：
yA⋅yB=-2pmyA⋅yC=-2ptyB⋅yD=-2ptyC⋅yD=-2pn⇒yC⋅yD=yA⋅yCyB⋅yDyA⋅yB=-2pt-2pt-2pm=-2pt2m⇒-2pt2m=-2pn⇒t2=mn.
故得证：OT2=OM⋅ON
Δ命题2.已知四边形ABCD内接于抛物线y2=2pxp>0，边AB，CD与x轴分别相交于定点Mm，0，Nn，0，2条对角线AC，BD与x轴都相交于定点Tt，0，则kABkCD=tm=nt⇒kABkCD=tm=nt=n-tt-m=NTTM.
解析：设Mm，0，Tt，0，Nn，0，
由引理：yA⋅yB=-2pmyA⋅yC=-2ptyB⋅yD=-2ptyC⋅yD=-2pn∵kAB=yA-yByA22p-yB22p=2pyA+yB，kCD=yC-yDyC22p-yD22p=2pyC+yD.
所以：kABkCD=yC+yDyA+yB=-2ptyA+-2ptyByA+yB=-2pt⋅1yAyB=-2pt⋅1-2pm=tm，
由t2=mn，故kABkCD=tm=nt⇒kABkCD=tm=nt=n-tt-m=NTTM
例题：已知抛物线E：y2=2px，其焦点与准线的距离为6，过点M4，0作直线l1，l2与E相交，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，直线AD过点E的焦点F，若AD，BC的斜率为k1，k2
(1)求抛物线E的方程；
(2)问k1k2是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请说明理由.
解析：(1)y2=12x
(2)设Ay1212，y1，By2212，y2，Cy3212，y3，Dy4212，y4，由以上结论：A，D经过F点：y1y4=-2pxF
同理：y1y2=-2pxM，y3y4=-2pxM，y2y4=y1y2y1y4=xMxF，y3y1=y3y4y1y4=xMxF⇒y2y4=y3y1=y2+y3y4+y1=xMxF
k1k2=y2+y3y4+y1=xMxF=43，(附：易知y2y3=-2p⋅xM2xF，不难知道BC也过定点)
注意：我们还可以按照结论的证明方法处理本题！
Δ命题3.设抛物线y2=2pxp>0的内接△ABC的重心与抛物线的焦点F重合，则y
(1)FA+FB+FC=0
(2)若设△ABC三边斜率分别为kAB，kBC，kCA，则1kAB+1kBC+1kcA=0
(3)△ABC三边中线长之和为92p
证明：中线之和：32AF+32BF+32CF=32x1+x2+x3+32p=3232p+32p=92p
(4)若设△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，则S12+S22+S32=316p4
证明：S12+S22+S32=12y1⋅p22+12y2⋅p22+12y3⋅p22=p216y12+y22+y32=p2162px1+x2+x3=p2162p⋅3p2=3p416
(4)抛物线设点解线法的技巧
一：抛物线上设点问题
设yA=2p⋅a⇒xA=a2⇒Aa2，2p⋅a，
例如：抛物线y2=4x上的点A，B，C，可设成：Aa2，2a，Bb2，2b，Cc2，2c
抛物线x2=2py上的点A怎么设？答：A2p⋅a，a2
二、抛物线中的两点式直线方程
y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，x2≠x1，y2≠y1
→x2-x1y-y1=y2-y1x-x1⇒2px2-x1y-y1=2py2-y1x-x1
⇒y22-y12y-y1=2py2-y1x-x1⇒y2+y1y-y1=2px-x1⇒y2+y1y-y1y2-y12=2px-2px1
⇒y1+y2y-y1y2=2px
三、例题
例1.已知点A4，4，点M，N在C：y2=4x上，且AM⊥AN，过点A作AD⊥MN，D为吾足，证明：存在定点Q使得DQ为定值！
证明：设Mm2，2m，Nn2，2n，m2≠4，n2≠4，⇒lMN：m+ny-2mn=2x
AM⊥AN⇒2m-4m2-4⋅2n-4n2-4=-1⇒2m+n+mn=-8⇒-4m+n-2mn=16，
可知MN直线恒过定点T8，-4，AD⊥MN⇒点D在以AT为直径的圆上，所以当且仅当点Q为线段AT的中点时，DQ为定值！即Q6，0时，DQ=25
例2.已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+y-42=1的圆心为M，已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l直于AB，求直线l的方程.
解析：设Pt，t2，Aa，a2，Bb，b2⇒lPA：t+ax-ta=y，
∴M0，4到lPA的距离-4-ta1+t+a2=1⇒4+ta2=1+t+a2，
同理：4+tb2=1+t+b2
∴a，b是方程4+tx2=1+t+x2的两个根，
4+tx2=1+t+x2⇒t2-1x2+6tx+15-t2=0∴a+b=-6tt2-1，ab=15-t2t2-1.
叉∵kABkl=-1⇒a2-b2a-b⋅t2-4t=-1⇒a+b⋅t2-4t=-1⇒-6tt2-1⋅t2-4t=-1⇒t2=235
所以：kl=235-4±235=±3115115⇒l：y=±3115115x+4
例3.设A1，A2，A3是抛物线C：y2=x上的三个点，直线A1A2，A1A3均与圆M：x-22+y2=1相切，判断直线A2A3与圆M的位置关系，并说明理由
解析：A1a2，a，A2b2，b，A3c2，c⇒lA1A2：x=a+by-ab
由点M到直线lA1A2的距离2+ab1+a+b2=1⇒2+ab2=1+a+b2
同理2+ac2=1+a+c2，所以b，c是方程2+ax2=1+a+x2的两根，所以a2-1x2+2ax+3-a2=0
∴b+c=-2aa2-1，bc=3-a2a2-1，∵lA2A3：x=b+cy-bc.
∴点M到直线lA2A3的距离d=2+bc1+b+c2=a2+1a2-1a2+1a2-12=1，故相切
例4.(2022年12月广州调研考)已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合.
(1)求抛物线C和圆M的方程；
(2)设Px0，y0x0≠2为圆M外一点，过点P作图M的两条切线，分别交抛物线C两个不同的点Ax1，y1，Bx2，y2和点Qx3，y3，Rx4，y4且y1y2y3y4=16，证明：点P在一条定曲线上.
解析：(1)y2=4x M：x-12+y2=1
(2)AB：y1+y2y-y1y2=4x代入P点：y1+y2y0-y1y2=4x0
d=4+y1y216+y1+y22=1⇒y1+y22=8y1y2+y1y22.
(1)(2)联立：y02-1y1y22+8y02-8x0y1y2-16x02=0
同理：y02-1y3y42+8y02-8x0y3y4-16x02=0
y1y2y3y4=16x021-y02=16⇒x02+y02=1，点P在一条定曲线上.x02+y02=1
四、圆锥曲线的常见结论
1.共焦点的四个重要结论
(1).设椭圆参数：a1，b1，c，双曲线参数：a2，b2，c，设焦点三角形公共顶角为θ，则有：sin2θ2e12+cs2θ2e22=1证明可由：a12-c2tanθ2=c2-a22ctθ2推导：这个结论是一个很优美的式子：我们还可以发现：
如：进一步得：sin2θ2e12+cs2θ2e22=1≥2sinθ2csθ2e1e2⇒e1e2≥sinθ⇒e1+e222≥e1e2≥sinθ
(2).已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2：x2a22-y2b22=1a2>0，b2>0焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则b22e12+b12e22=b12+b22
证明：b22e12+b12e22=a12b22c2+a22b12c2=b12+c2b22c2+c2-b22b12c2=b22+b12，∴b22e12+b12e22=b12+b22
(3).S△PF1F2=b12tanθ2，S△PF1F2=b22ctθ2，⇒S△PF1F2=b1b2
(4).设PF1=m，PF2=n，⇒m+n=2a1m-n=2a2，⇒m=a1+a2，n=a1-a2(焦半径是两个a之和，和两个a之差)
此时注意应满足三角形法则：m+n=2a1>2c⇒a1>c；m-n=2a2a2
例1.已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2：x2a22-y2b22=1a2>0，b2>0有相同的焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2=2PF2，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2-e1的取值范围是(D)
A.13，+∞
B.13，+∞
C.12，+∞
D.12，+∞
解析：a1+a2=ma1-a2=c⇒a1=m2+c2，a2=m2-c2，由于：m+c>2c⇒mc>1，a2=m2-c2b1>0与双曲线C2：x2a22-y2b22=1a2>0，b2>0有相同的焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1=10设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则2e1+e2的取值范围是(A
A.53，+∞
B.53，+∞
C.2，+∞
D.[2，+∞)
解析：设PF1=10，PF2=2c，⇒a1+a2=10，a1-a2=2c⇒a1=5+c，a2=5-c，因为三角形法则：10-2c≤2c⇒c>52，5-c>0⇒c1的左右焦点，且椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=2π3，若点M，N分别为是圆D：x2+y-32=3和椭圆C上的动点，则椭圆C的离心率取得最小值时，MN+NF2的最大值是( )A
A.4+33
B.3+43
C.4+32
D.3+42
例9.点F是双曲线C：x24-y212=1的左焦点，A1，4，P是双曲线右支上的动点，则PF+PA的最小值为(C)
A.7
B.8
C.9
D.10
例10.点P是双曲线C：x22-y2=1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则PF1+PQ的最小值为(D)
A.1
B.2+155
C.4+155
D.22+1
例11.过双曲线x2-y215=1右支上一点P，分别向圆O1：x+42+y2=4和圆O2：x-42+y2=1作切线，切点分别为M，N，则PM2-PN2的最小值为(B)
A.10
B.13
C.16
D.19
例12.P为抛物线y2=2x上的一个动点，则P到点0，2的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为A
A.172
B.3
C.5
D.92
例13.直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，则抛物线y2=4x上一动点P到l1和l2的距离之和的最小值是(C)
A.3716
B.115
C.2
D.74
例14.已知点P为抛物线y2=4x上的一个动点，Q为圆x2+y-42=1上的一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是C
A.25-1
B.25-2
C.17-1
D.17-2
例15.已知点M为抛物线C：y2=8x上的动点，过点M向图O1：x-22+y2=1引切线，切点分别为P，Q，则PQ的最小值为(A)
A.3
B.32
C.2
D.1
解：如图，圆心O1为抛物线的焦点F2，0，四边形MPO1Q的面积
S=12PQ⋅MO1=2⋅12⋅MP⋅PO1，∴PQ=2MPMO1=2MO12-1MO1=21-1MO12.
∴当MO1最小时，即点M到准线的距离最小值为2，∴PQmin=21-122=3，故选A.
例16.已知抛物线E：y2=4x，圆F：x-12+y2=4，直线l：y=t(t为实数)与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析：由题知：抛物线焦点1，0恰为圆心F，抛物线准线1：x=-1，圆半径为2，可得圆F与l相切，设直线l：y=t与准线l交于D，由抛物线定义知：AF=AD，又FB=2，故△FAB的周长为FA+AB+FB=AD+AB+2=DB+2，由图知20时，焦点在x轴上，当λ0，b>0的渐近线相同.( )
(3)双曲线x24-y29=1的渐近线方程是3x±2y=0.( )
答案：(1)×
(2)×
(3)
例3.已知双曲线x29-y216=1与y216-x29=1，下列说法正确的是( )C
A.两个双曲线有公共顶点
B.两个双曲线有公共焦点
C.两个双曲线有公共渐近线
D.两个双曲线的离心率相等
13.圆锥曲线光学性质例题与过定点直线与圆锥曲线相交问题
(1)圆锥曲线光学性质例题
1.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程x2a2+y2b2=1a>b>0，F1，F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，cs∠ABC=45，则该椭圆的离心率为( )
A.13
B.12
C.22
D.32
解析：则cs∠ABF1=45=ABBF1，sin∠ABF1=1-cs2∠ABF1=35=AF1BF1，即AB：AF1：BF1=4：3：5，可设AB=4k，AF1=3k，BF1=5k，由AB+AF1+BF1=AF2+BF2+AF1+BF1=4，则4k+3k+5k=4a，即3k=a，AF2=2a-AF1=3k，在Rt△AF1F2中，F1F2=AF12+AF22=32k=2c，则e=2c2a=32k6k=22.故选：C.
2.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图(1)，一个光学装置由有公共焦点F1、F2的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经S与T反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的S去掉，如图(2)，此光线从点F1发出，经T两次反射后又回到了，点F1，历时t2秒；若t2=3t1，则T的长轴长与S的实轴长之比为( )
A.1：2
B.1：3
C.2：1
D.3：1
解析：在图(1)中，由椭圆的定义得：BF1+BF2=2a1，由双曲线的定义得AF2-AF1=2a2，两式相减得BF1+AF1+BF2-AF2=2a1-2a2，所以△ABF1的周长为2a1-2a2，在图(2)中，△CDF1的周长为4a1，因为光速相同，且t2=3t1，所以t1t2=2a1-2a24a1=13，即a1=3a2，所以2a1：2a2=3：1，即T的长轴长与S的实轴长之比为3：1.
3.根椭圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下列问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2-y2=1的左.右焦点，若从F2发出的光线经双曲线右支上的点Ax0，1反射后，原射光线为射线AM，则∠F2AM的角平分线所在的直线的饸单为( )
A.-3
B.-2
C.-1
D.-22
解析：由已知可得Ax0，1在第一象限，将点A的坐标代入双曲线方程可得：x02-1=1，解得x0=2，所以A2，1，又由双曲线的方程可得a=1，b=1，所以c=2，则F22，0，所以AF2∣=1，且点A，F2都在直线x=2上，又OF1=OF2=2，设过点A与双曲线相切的直线方程为y=kx-2+1，代入x2-y2=1tan∠F1AF2=F1F2AF2=221=22，设∠F2AM的角平分线为AN，则∠F2AN=180∘-∠F1AF2×12，所以直线AN的倾斜角为90∘+∠F2AN=180∘-12∠F1AF2，所以直线AN的斜率为tan180∘-12∠F1AF2=-tan12∠F1AF2，因tan∠F1AF2=2tan12∠F1AF21-tan12∠F1AF22=22，解得tan12∠F1AF2=22，所以直线AN的斜率为-22故选：D.
4.抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线y2=2pxp>0的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60∘，且两条反射光线a'和b'之间的距离为23，则p=( )
A.1
B.2
c.3
D.4
解析：可设IAF：x=-13y+p2，与y2=2px联立消元得y2+2p3y-p2=0，解得y1=p3、y2=-3p3，∴yA=p3，同理lBF：x=13y+p2，与y2=2px联立消元得y2-2p3y-p2=0，解得y3=3p、y4=-p3，∴yB=3p，∴3p-p3=2p3=23，∴p=3故选：C
5.(多选)如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1.若双曲线C的方程为x29-y216=1，下列结论正确的是( )
A.若m⊥n，则PF1⋅PF2=16
B.当n过Q7，5时，光由F2→P→Q所经过的路程为13
C.射线n所在直线的斜率为k，则k∈0，43
D.若T1，0直线PT与C相切，则PF2=12
解析：对于AB错误；对于C：双曲线x29-y216=1的方程为y=±43x.设左、右顶点分别为A，B如图示：当m与F2B同向共线时，n的方向为F2B，此时k=0，最小.因为P在双曲线右支上，故n所在直线的斜率为k0，y=kx-1x29-y216=1.其Δ=0，
即1152k2=2304，解得k=2代入方程解出切点：x=9由P在双曲线右支上，即929-y216=1，解得：y=82(y=-82舍去)，所以P9，82.所以F2P=12.故D正确故选：CD
(2)直线与圆锥曲线相交问题
(1)直线与椭圆的位置关系：解题思路：直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：mx2+ny2=1m>0，n>0，m≠n；判定方法：Δ法：直线与椭圆方程联立：Ax+By+c=0mx2+ny2=1⇒Δ>0，相交Δ=0，相切Δ0或平行于渐近线；二个交点：Δ>0
ii.第二角度：(从交点个数)无交点：与渐近线重合或Δ0x1x2>0；左支：二次项系数不为0Δ>0x1+x20；或者利用与渐近线的关系旋转得到：
过定点直线与双曲线相交问题：
(1)若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率为k=±ba；如图a所示，l1，l2分别与渐近线平行，显然此时与双曲线只有一个交点；
(2)若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的左右两支都有交点时，该直线的斜率满足k∈-ba，ba；如图b所示，l1，l2分别与渐近线平行，如果直线与双曲线的左右两支都有交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可：
(3)若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的单支有两个交点时，该直线的斜率满足k∈-∞，-ba∪ba，+∞.如图c所示，l1，l2分别与渐近线平行，如果直线与双曲线的单支有两个交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可.
(3)直线与抛物线的位置关系：解题思路：直线与抛物线的位置关系：
i.第一角度：位置关系：相交Δ>0平行于对称轴相切：Δ=0相离Δ0无交点：Δ