2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第二册_51-100--2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第二册专题

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(1)求数列an的通项公式；
(2)求数列Sn的前n项和Tn
解析(1)：解法一：当n为奇数时：Sn=-an-12n，
Sn+1=an+1-12n+1
得：an+1=an+1+an+12n+1⇒an=-12n+1
当n为偶数时：Sn=an-12n，⋯⋯(1)Sn+1=-an+1-12n+1，
得：an+1=-an+1-an+12n+1⇒an=-2an+1+12n+1=12n，综上：an=-12n+1，n为奇数12n，n为偶数
解析(1)：解法二：∵Sn=-1nan-12n；当n≥2时：an=Sn-Sn-1=-1nan+-1nan-1+12n
当n为偶数时：an=an+an-1+12n，⇒an-1=-12n，即：当n为奇数时：an=-12n+1.
当n为奇数时：an=-an-an-1+12n，⇒2an+an-1=12n，又因为当n为奇数时：an=-12n+1.
所以：2-12n+1+an-1=12n⇒an-1=12n-1，即当n为偶数时：an=12n.
综上：an=-12n+1，n为奇数12n，n为偶数
解析(2)当n为偶数时：Sn=-1nan-12n=12n-12n=0，当n为奇数时：Sn=-an-12n=--12n+1-12n=-12n+1所以：当n=2k时：Sn=S2k=-1nan-12n=a2k-122k=122k-122k=0
当n=2k-1S2k-1=-a2k-1-122k-1=--122k-122k-1=-122k
所以：当n=2k时，设Ak为偶数项和，Bk为奇数项和，所以Tn=Ak+Bk
Tn=Ak+Bk=0⋅k+-141-14k1-14=-131-14k=1312n-1.
当n=2k-1时，Tn=Tn+1-Sn+1=1312n+1-1-0=1312n+1-1.综上：Tn=1312n-1，n为偶数1312n+1-1，n为奇数
例2.数列an满足Sn=-1nan-12nn∈N*，则a3=( S7=( )
解法一：n=1，S1=a1=-a1-12⇒a1=-14，由Sn=-1nan-12nn∈N*，分奇偶性：
当n=2k时：S2k=a2k-122k，当n=2k-1时：S2k-1=-a2k-1-122k-1，a2k=S2k-S2k-1，化简得：a2k-1=-122k，带入计算得：S2k-1=-122k∴a3=-116，S7=-1256
解法二.由Sn=-1nan-12nn∈N0，得：an=Sn-Sn-1=-1an-12n--1n-1an-1+12n-1当n为偶数时：an-1=12n-12n-1∴n=4⇒a3=124-123=-116S7=-a7-127，由当n=8时，a7=128-127，所以：S7=-a7-127=-128+127-127=-1256
例3.(2021届温州高三二模考试)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n，n为奇数n2，n为偶数
(1)求数列的通项公式an
(2)设bn=an+an+1，求数列2n-1⋅bn的前2n项的和T2n
解析：(1)当n为奇数时：an=Sn-Sn-1=n-n-12=3n-n2-1
当n为偶数时：an=Sn-Sn-1=n2-n-1=n2-n+1.所以：an=3n-n2-1，n为奇数n2-n+1，n为偶数
当n为奇数时：bn=an+an+1=3n-n2-1+n+12-n+1+1=4n
当n为偶数时：bn=an+an+1=n2-n+1+3n+1-n+12-1=2
所以bn=4n，n为奇数2，n为偶数，所以2n-1⋅bn得：cn=2n+1⋅n，n为奇数2n，n为偶数
设前2n项的和为T2n，则：T2n=An+Bn，(An为奇数项和，Bn为偶数项和)
对于n项奇数项：An=22⋅1+24⋅3+26⋅5+⋯+22n⋅2n-1
4An=24⋅1+26⋅3+28⋅5+⋯+22n+2⋅2n-1.
两式相减并化简：-3An=22⋅1+224+26+⋯+22n-22n+2⋅2n-1=4+2241-4n-11-4-22n+2⋅2n-1
解之得：An=23n-594n+1+209
对于n项偶数项：Bn=22+24+26+⋯22n=41-4n1-4=4n+13-43
所以T2n=An+Bn=23n-59⋅4n+1+209+4n+13-43=23n-29⋅4n+1+89
例4.(2021·郑州一模)设Sn为数列an的前n项和，Sn+12n=-1nan，n∈N*，则数列Sn的前7项和为( )
A.-1256
B.-85256
C.-11024
D.-3411024
解析：an=-12n+1，n=2k-112n，n=2k，当n为奇数时Sn=-an-12n=12n+1-12n=-12n+1；当n为偶数时，Sn=an-12n=12n-12n=0，综上所述：Sn=-12n+1，n=2k-10，n=2k，所以：Sn的前7项和为-85256.
例5.已知数列an的前n项和Sn满足Sn--1nan=2n-6+12n， n∈N*则S100=( )
A.196
B.200
C.194+12100
D.198+12102
解析：an=Sn-Sn-1=-1nan--1n-1an-1-12n+2；当n为奇数时：2an+an-1=2-12n；当n为偶数时，an-1=12n-2∴a1=122-2，a3=124-2，a5=126-2，⋯，a99=12100-2，a2=6-122，a4=6-124，⋯，a100=6-12100.
所以：a1+a2=a3+a4=a5+a6=⋯=a99+a100=4∴S100=50×4=200
例6.已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn+Sn-1=4n2n≥2，n∈N*，则S25=( )
解析：因为Sn+Sn-1=4n2，Sn+1+Sn=4n+12，相减可得：an+1+an=8n+4
所以：S25=1+82+4+⋯+24+12×4=49+8×12×2+242=1297
例7.(2020广州一模训练题文科16)设Sn为数列an的前n项和，若2Sn-an=12n-1，则a3+a4=-18)数列an+2-an的前n项和为Tn=121-12n
解析：2Sn-an=12n-1
2Sn-1-an-1=12n-2
(2)an+an-1=-12n-1
所以：a3+a4=-18
an+1+an=-12n
an+2+an+1=-12n+1
(4)-(3)an+2-an=12n+1
等比数列求和所以：Tn=121-12n
例8.已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn+Sn-1=4n2n≥2，n∈N*则a100=( )
A.414
B.406
C.403
D.393
解析：当n≥2时：由Sn+Sn-1=4n2(1)Sn+1+Sn=4n+12(2)
整理得：(2)-(1)：得an+1+an=8n+4由于a1=1，下面我开始求a2
所以：a1+a2+a1=16得a2=14由an+1+an=8n+4得a3=6a4=22
由an+1+an=8n+4得a5=14 a6=30
由an+1+an=8n+4得a7=22
可以发现：偶数项为首项为14，公差为8的等差数列：其实我们也注意到奇数项从a3开始，也成公差为8的等差数列.所以：a100=14+50-1×8=406
例9.已知数列an的首项a1=1，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn+1=n2+2n，若对∀n∈N+， an0，若数列gx=fx-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )
A.an=nn-12
B.an=nn-1
C.an=n-1
D.an=2n-2
18.已知正项数列an中，a1=1，a2=2，2an2=an-12+an+12n≥2，bn=1an+an+1，记数列bn的前n项和为Sn，则S33的值是( )
A.99
B.33
C.42
D.3
19.已知数列an满足2an+1=an+an+2n∈N+，且a1009=π2，若函数fx=sin2x+2cs2x2，记bn=fan，则数列bn的前2017项和为( )
A.2017
B.-2017
C.0
D.1
20.数列an满足an=an-2an-12an-2-an-1n∈N*，n>2，若a1=1，a2=37，则a2019=( )
A.38075
B.36054
C.56058
D.54036
21.已知数列an满足：a1=1，an+1=anan+2n∈N*.若bn+1=n-2λ⋅1an+1n∈N*，b1=-λ，且数列bn是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( )
A.λ>23
B.λ>32
c.λfa2020
c.fa2018>fa2019
D.fa2016>fa2019
30.等差数列an的前n项和为Sn，且a1=-20.在区间3，5内任取一个实数作为数列an的公差，则Sn的最小值仅为S6的概率为( )
A.15
B.16
c.314
D.13
31.等差数列an的公差为d，关于x的不等式d2x2+a1-d2x+c≥0的解集是0，22，则使得数列an的前n项和最大的正整数n为( )
A.11
B.12
c.13
D.不确定
32.已知数列an，a1=33，an+1-an=2n，则ann的最小值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
33.数列an的前n项和为Sn，Sn=2an-2n+1，则S10=
A.9217
B.6217
C.1024
D.1020
34.已知数列an满足an+an+1=15-2n，其前n项和为Sn，若Sn≤S8恒成立，则a1的取值范围为( )
A.-∞，7
B.(-∞，7]
C.7，+∞
D.[7，+∞)
35.数列an满足a1+4a2+42a3+L+4n-1an=n4.设bn=4nan2n+1，数列bnbn+1前n项和T10为( )
A.1069
B.970
C.97
D.56
36.已知等差数列an满足a1>0，5a8=8a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为( )
A.21
B.20
C.22
D.19
37.已知数列an的首项a1=1，且满足an+1-an=-12nn∈N∘，如果存在正整数n，使得an-λan+1-λ42020成立的最小正整数n为( )
A.10
B.11
C.12
D.13
43.在等差数列an中，a1=-9，a5=-1.记Tn=a1a2⋯ann=1，2，⋯，则数列Tn( )
A.有最大项，有最小项
B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项
D.无最大项，无最小项
44.已知定义在[0，+∞)上的函数fx满足fx=2fx+2，当x∈[0，2)时，fx=-2x2+4x，设fx在[2n-2，2n)上的最大值为ann∈N*，且an的前n项和为Sn，则Sn=
A.2-12n-1
B.4-12n-2
C.2-12n
D.4-12n-1
45.(深圳市2018届高三第二次(4月)调研)已知对∀n∈N*，关于x的函数fnx=x+1-anlnxn