2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第二册_251-300--2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第二册专题

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解析：axeax+1≥2x2+1Inx⇒axeax+1≥x2+1Inx2=elnx2+1Inx2，不妨令fx=xex+1
因为fx单增，∴ax≥Inx2⇒a≥Inx2x=2Inxx∈2e，+∞⇒a≥2e
40.已知函数fx=lnx+ax，a∈R，gx=e2x-2.若fx≤gx在0，+∞上成立，求a的取值范围( )
解析：Inx+ax≤e2x-2⇒Inx+a≤xe2x-2x⇒Inx+a≤e2x+lnx-2x
∴a-1≤elnx+2x-Inx-2x-1，当Inx+2x=0取等，a-1≤0⇒a≤1；
41.设fx=xex-ax2，gx=Inx+x-x2+1-ea
当a>0时，设hx=fx-agx≥0恒成立则a的取值范围.
解析：xex-aInx+x+1+e≥0⇒ex+lnx-ax+Inx+1+e≥0，令t=Inx+x
∴et-at+1+e≥0⇒et+e≥at+1∵et≥et∴a≤e
42.已知函数fx=aInx-1+Ina-1-x，函数gx=ex-x，若Fx=gx-fx>0恒成立，求a的取值范围
解析：gx>fx⇒ex-aInx-1-aIna+a>0⇒ex-lna-Inx-1-Ina+1>0⇒ex-lna+x-Ina>x-1+Inx-1
令hx=ex+x，因为hx单增，所以：x-Ina>Inx-1⇒Inex-Ina>Inx-1⇒Inexa>Inx-1⇒exa>x-1⇒exx-1>a⇒ex-1x-1>ae⇒01e，证明fx>1-xe-ax
解析：ax-Inx>1-elnx⋅e-ax⇒elnx-ax>Inx-ax+1，∵Inxx≤1e0
x2+x-Inx+1x=0x+x+1ex-Inx+1+1x+120x=0+2-mInx+120x=0>0⇒m≤2，矛盾区间自证；
46.已知x0是方程x3ex-4+2Inx-4=0的一个根，则e4-x02+2Inx0的值是( )
解析：x3ex-4=4-2Inx=Ine4x2⇒xex=e4x2Ine4x2⇒Inx+x=InIne4x2+Ine4x2
令x=Ine4x2⇒x=4-2Inx⇒4-x=2Inx∴e4-x2=x∴e4-x02+2Inx0=x0+2Inx0=4
47.已知函数fx=ex+m-x3，gx=lnx+1+2.当m≥1时，证明：fx>gx-x3.
解析：ex+m-lnx+1-2>0得：ex+m-x+m-1x=-m≥0+x-lnx+1x=0≥0+m-1>0∴⇒m≥1
48.已知函数fx=mex-lnx-1.当m≥1时，证明：fx>1.
解析：mex-Inx-2>0⇒mex-x-1+x-1-Inx+mx+m-x-1>0
⇒mex-x-1x=020+x-1-Inx=1z0+x+1m-1>0，所以m≥1
49.若fx=xex+ax，a∈R，gx=axaInx+aInx+a-1x，当x∈1，+∞时，若fx≥gx恒成立，则a的取值范围( )
解析：xex+ax≥axaInx+aInx+ax-x⇒x+xex≥Inxaelnxx+Inxa构造：hx=x+xex单增，hx≥hInxa，
(1)a≤0时，fx≥gx恒成立(2)a>0时，Inxa=aInx>0，∴x≥Inxa⇒xInx≥a⇒e≥a
50.已知函数eax-1Inx=ax2-ax，a>0在x∈[1，+∞)有三个不同的解，求a的范围( )
解析：eax-1Inx=ax2-ax，(1)当x=1时，成立(2)当x≠1时，eax-1ax=x-1Inx=elnx-1Inx，又因为gx=ex-1x在x∈[1，+∞)单增，ax=Inx⇒a=Inxx⇒a∈0，1e
51.若不等式xex-ax+3-aInx≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
253解析：由题意a≥0，原式即：ex+lnx-ax+lnx-3a≥0，令t=x+lnx⇒et≥at+3
当t≤-3时恒成立，当t>-3时，a≤et+3t+3⋅1e3min=1e2
52.已知fx=Inx+x-xex+1，求fx最大值
解析：fx=Inx+x-elnx+x+1=Inx+x+1-elnx+x+1-1≤-2，当Inx+x+1=0时fx取最大值为-2
53.已知函数fx=xex-Inx-x-2最小值为a，gx=ex-2x+Inx-x最小值为b则(A)
A.a=b
B.a>b
C.a1⇒01，x∈e，+∞⇒mx>1，Inx>1，当，x>1时，h'x=2x-3+ex>21-3+e>0
所以：hmx≥hInx⇔mx≥Inx⇔m≥Inxx⇒m≥Inxxmax=1e，综上：m>1
103.已知函数fx=axInxa>0，当x>1时，fx≥xex⋅InxaInx，求a的取值范围( )
解析：axInx≥xex⋅InxaInx⇒a⋅ex≥Inxa⇒ex+lna≥Inx-Ina⇒ex+lna+x+Ina≥Inx+x
构造gx=ex+x，知单增：x+Ina≥Inx⇒Ina≥Inx-x，x>1⇒Ina≥-1⇒a≥1e
104.已知函数fx=lnx+ax+1.对任意x>0，xe2x≥fx恒成立，求实数a的最大值( )
解析：xe2x-Inx-ax-1≥0⇒e2x+lnx-I2x+Inx-1+2-ax≥0，所以2-a≥0⇒a≤2
105.已知a>0，若alnx≤xlna恒成立，则a的值是___________
解析：两边同时除以ax得，lnxx≤lnaa，要使该不等式恒成立，即x=a时，lnxx取最大值，故a=e.
106.已知函数fx=x-xm+mInxex+1m2b
B.ab2
D.a0，所以fx在0，+∞单调递增，fx=3的解只有一个.∴x1=lnx2-2，∴x1x2=lnx2-2x2=e5
114.若ex-a-a-Inx≥0，则a的范围( )
解析1：ex-a-x-a-1+x-1-Inx-2a+2≥0⇒ex-a-x-a-1≥0x=a+x-1-In≥0x=1-2a+2≥0，所以-2a+2≥0⇒a≤1
解析2：原式得：ex-a≥Ineax⇒exea≥Ineax⇒xex≥xeaIneax⇒x≥Ineax=a+Inx⇒a≤x-Inx⇒a≤1
115.fx=ex-a-eIfex+a若fx>0恒成立，则a的取值范围( )
解析：构造：gx=ex+ex所以：x≥Inex+a⇒ex≥ex+a⇒a≤0
116.若ex-1≥kx+Inx恒成立，则k的取值范围( )
解析1：ex-ex+ex-kx+x-1-Inx≥0，ex-exx=120+x-1-Inxx=120+e-k-1x≥0，所以k≤e-1解析2：
ex-kx≥Inex⇒ex-kxx≥Inexx⇒exx-k≥e⋅Inexex⇒exxmin=e-k≥e⋅Inexexmin=1e⇒e-k≥1⇒k≤e-1
117.ex-aInx≥a恒成立，则实数a的取值范围( )
解析1：ex≥a1+Inx∴ex≥a1+x-1∵ex≥ax∴a∈0，e
解析2：ex≥a(Inx+1)=aInex，xex≥ae⋅exIne2∵x>Inex，所以ae≤1⇒a∈0，e
118.(2020年广州12月调研考)若关于a的不等式e2x-aInx≥12a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.0，2e
B.(-∞，2e]
C.0，2e2
D.-∞，2e2
解法一：必要性探路十充分性证明
令fx=e2x-aInx-12a，则fx≥0恒成立，当a=0时，不等式显然成立；
当a0时，由f1=e2-12a≥0⇒00⇒1-a2e2≥0，否则与x=1勇盾，所以00，aInx+120，若存在x∈1，+∞时，不等式λx2-λx≥eλx-1Inx成立，求λ的取值范围( )
解析：原式等价于λxeλx-1≥Inxx-1，即：Ineλxeλx-1≥Inxx-1，因为fx=Inxx-1在1，+∞单减，
所以：eλx≤x⇒λ≤Inxxmin=1e
125.若不等式ex-aInax-1+1≥0对∀x∈12，1恒成立，则实数a的最大值为( )
A.e+1
B.e
C.e2+1
D.e2
解析1：因为ax-1≥0，x∈12，1⇒a≥2，不等式变形为：ex-lna+x-Ina≥Inx-1a+x-1a=elnx-1a+Inx-1a构造Fx=ex+x，所以x-Ina≥Inx-1a⇒x-1a-Inx-1a≥Ina-1a由于x-1a∈12-1a，1-1a，而gx=x-Inx在0，1上为成函数，1-1a-In1-1a≥Ina-1a∴1≥Ina-1⇒a∈(2，e+1]
解析2.反函数法：
原式等于：ex+1a，Inax-1互为反函数，ex+1a≥Inax-1⇒ex+1a≥x⇒a≤ex+1x=ex+1xmin=e+1
126.已知fx=ex-1-Inx-1+1-ax，证明：当a≤1时，fx≥0
解析：ex-1+x-1≥x+lnx+a-1x，可得：a≤1
也可：ex-1x-Inx+1x+1-a≥0⇒ex-1xmin=1，Inx+1xmax=1，1-a≥0⇒a≤1
127.设函数fx=aInx+x2exa∈R，若fx≥a+xInx+a+1x2+x，求实数a的取值范围？
解析：x2ex≥a+xInx+a+1x2+x⇒ex+lnx-x+Inx-1-ax≥0，由于ex+lnx-x+Inx-1≥0，当且仅当：x+Inx0=0时取等，x0∈1e，1当a≤0恒成立；当a>0时，原式在x=x0处矛盾；综上a∈(-∞，0]
128.若关于x的不等式ex-aInx≥a恒成立，则实数a的取值范围为( )
解析：当a0时，ex≥aInx+1=aInex，
ex⋅ex≥eaxInex⇒xex≥aeexInex⇒xex≥aeeInexInex⇒ae≤1⇒a≤e；综上所述：a∈0，e
129.已知函数fx=ax-ex，∀x∈1，+∞，fx0，若m≥1，证明：当x>0时，gx≥fx
解析：mxex+lnmx-1-x+Inmx+x+1x-1-Inx+mxInmx-mx+1≥0
注意：书写：ex-1≥x，x-1≥x，xInx≥x-1
132.对任意x>0，若不等式exx+aInx+e2≥ax恒成立，则正实数a的取值范围( )
A.(0，e]
B.0，e2
C.2e，e
D.2e，e2
解析：因为ex≥x+1⇒ex-2≥x-1⇒ex≥xe2-e2，在x=2处放缩！
ex-lnx-e2x-Inx+e2+e2-ax-Inx≥0⇒ex-lnx-e2x-Inx+e2x0-lnx0=2+e2-ax-Inx≥0
当a≤e2时，满足题意；当a>e2，在x0-Inx0=2时，矛盾
133.设a>0，exa-a2Inax+b≥b，若在定义域内恒成立，则eaba的最大值为( )
解析：a>0，exa-a2Inax+b≥b⇒exa+ax-a2Inax+b≥ax+b⇒exa+ax≥a2Inax+b+ax+b
⇒exa+a2⋅xa≥a2Inax+b+ax+b⇒a2Inexa+exa≥a2Inax+b+ax+b，构造同构式：hx=a2Inx+x
因为hx单增函数，所以exa≥ax+b⇒eaba≤eaexa-axa=eaaexa-ax
不妨令： hx=eaaexa-ax⇒hxmin=haIna2=eaaealna2a-a⋅aIna2=aea1-Ina2
再令：fa=aea1-Ina2⇒famax=f1=e，故eaba≤eaaexa-axmin=aea1-Ina2≤famax=e
134.若关于x得不等式xex-ax+3-aInx≥0恒成立，则实数a得取值范围( )
解析：xex-ax+3-aInx≥0⇒xex≥ax+3+Inx=aInxex+3=eaxex+3Inxex+3，之后配，好像失效了！
ex+lnx-lna-x+Inx-Ina-1-Ina+2≥0⇒Ina+2≤0⇒a≤1e2，显然a≥0，故a∈0，1e2
135.求证：xex-1-2Inx+1-x2+2x≥0恒成立！
证明：xex-1-2Inx+1-x2+2x≥0⇒xex-1-x+2x-1-Inxl≥0⇒xex-1-x≥0x=0+2x-1-InxI≥0x=0≥0
136.当x≥0时，aInx+1+ex-1≥12x2恒成立，求实数a的取值范围？
解析：ex-1-x-12x2+x-Inx+1+a+1Inx+1≥0
⇒gx=ex-1-x-12x2≥0x=0+x-Inx+1≥0x=0+a+1Inx+1≥0≥0⇒a≥-1
当aInxx-Inx+e
解析：xex-ex+xInx-x+1+x-1-Inx+ex2-e+1x+e24>0，
xex-exx≥0x=1+xInx-x+1x≥0x=1+x-1-Inxx≥0x=1+ex2-e+1x+e24Δ0.
144.若当x∈[1，+∞)时，fx=ex-aInx-e≥0恒成立，求a的取值范围？
解析：fx=ex-1-aeInx-1≥0⇒ex-1-x+x-aeInx-1≥0⇒ex-1-x+aex-Inx-1+ae-aex+x≥0⇒ex-1-x+aex-Inx-1+1-aex-1≥0，所以1-ae≥0⇒a≤e，
当a>e时，f'x=ex-ax，f''x=ex+ax2>0⇒f'x↑，f'xmin=f1=e-a0，所以x0∈(1，Ina)使得f'x0=0，又因为f1=0，故x∈1，x0fx单调递减，故存在x∈1，x0，fx0≥0
异构：ex-x-1≥0+x2e-Inxe≥0≥0
切线放缩：Inx+x≤2x-1≤x2≤ex0
(1)当a=1时，求f'1ef'e的值；(2)讨论gx的零点个数.
解析：(1)-e2(2)ex+e-x=alnax+1ax，可以观察：fax-ax=fex-ax⇒fax=fex
又因为fx在0，1递减，1，+∞递增，又因为fx=f1x，所以fex=fax，当且仅当：ex=ax或ex=1ax又ex>1，故ex=ax和ex=1ax不可能同能同时成立，所以gx=ex+e-x-aInax-1ax=0的零点个数是两个函数sx=ex-ax和tx=xex-1a的零点个数之和，其中x>0
由同构函数对于sx而言：a∈0，e，sx无零点；a=e，sx1个零点；a∈e，+∞，sx2个零点
由同构函数对于tx而言：a∈0，+∞，tx必有1个零点
所以：综上所逃：a∈0，e，gx有一个零点；a=e，gx有2个零点；a∈e，+∞，gx有3个零点.
152.已知fx=Inx+1+exx+1+12x2-x，证明：fx≥1
解析：ex-lnx+1-x-Inx+1-1+12x2≥0，考查朗博同构的变形！
153.已知a>b>0且a4x-mInx，构造fx=4ex-mxx>0⇒fx-1>fInx，∵x-1>Inx，故fx为增函数，f'x=4ex-m≥0⇒m≤4ex，∵x>0∴4ex>4⇒m≤4
155.已知函数fx=ax-ex，∀x∈1，+∞，fxInx+1⇒g'x=ex-a≥0∵x>1⇒a≤e
156.证明：(1)xex-Inx-x-1≥0
解析：ex+lnx-x+Inx-1≥0
(2)ax-1ex-Inax-1-x-1≥0；a>0
解析：eInax-1+x-Inax-1+x-1≥0
(3)x2ex-2Inx-x-1≥0
解析：elnx2+x-2Inx-x-1=e2Inx+x-2Inx+x-1≥0
(4)ex+exInx-ex2≥0
解析：exex+Inx-x=ex-Inex-x-Inx=ex-Inx-1-x-Inx-1-1≥0
157.已知x2+Inx=4y4+2Iny，则一定成立的是( )
A.x2y
解析：x2+Inx=2y22+In2y2-In2，故x2+Inx0+xInx+1-xx=1>0；解析2：ex-x-1>0+xInx+1-x≥0+x2>0
解析3：exx-Inx+x-2>0⇒ex-Inx-x-Inx-1+2x-1-Inx>0
160.(成都市2023届高三模拟理科12)若正实数x1是函数fx=xex-x-e2的一个零点，x2是函数gx=x-eInx-1-e3的一个大于e的一个零点，则x1x2-ee2的值为( )
解析：建立等式x1ex1-x1=e2x2-eInx2-1=e3⇒x1ex1-1=x2e-1Inx2e⇒x1=Inx2e
x1x2-ee2=x1e3e2Inx2-1=x1eInx2-1=x1eInx2e=eInx2eInx2e=e.
161.证明：当x>0时，ex+1-2x-1≥Inxx
解析：ex+1-2x-1≥Inxx⇒xex+1-x-2-Inx≥0⇒ex+1+Inx-x+1+Inx-1≥0当且仅当：x+Inx+1=0处取等
162.证明：当a≥1e时，aex-2Inx>2-2In2
解析：a-1eex+ex-1-2Inx-2+2In2>0⇒a-1eex+2ex-1-ln2-Inx-1+In2>0⇒a-1eex+2ex-1-ln2-x-1-In2-1+x-1-Inx>0，故得证：
163.证明：当a≥0时，ex-1-aInx+aIna-a≥0
解析：ex-1-aInx+aIna-a≥0⇒ex-1-Ina-x-1-Ina-1+x-1-Inx≥0
⇒ex-1-lna-x-1-Ina-1x=1+lna+x-1-Inxx=1≥0，当1+Ina=1⇒a=1时等号成立
164.证明：exx+1+Inx+1+x22-x≥1
解析：exx+1+Inx+1+x22-x≥1⇒ex-lnx+1-x-Inx+1-1+x22≥0，当x=0时，等号成立！
165.证明：若不等式x+aInx+1ex-xa≥0对任意x∈1，+∞恒成立，求a的最小值( )
解析：x+Inxa+e-x-xa≥0⇒x+e-x-xa≥-Inxa+xa=-Inxa+e--Inxxa，
构造hx=x+e-x，知道hx单增，故x≥-aInx⇒a≥-xInx⇒a≥-e.
166.定义在R上的可导函数fx满足fx-f-x+x1ex+ex=0，且在0，+∞上有f'x>1e2成立，若实数a满足f1-a-fa+ea-1-aea-1-ae-a≥0，则a的取值范围( )
解析：fx-f-x+x1ex+ex=0⇒fx+xex=f-x+-xe-x，令gx=fx+xex，则gx为偶函数，在0，+∞时，g'x=f'x+1-xex=f'x+x+1ex，∵1-xexmin=1e2⇒g'x>0，故f1-a-fa+ea-1-aea-1-ae-a≥0⇒f1-a+1-ae1-a≥fa+aex⇒g1-a≥ga⇒1-a≥aa≤12167..设函数fx=x2-a+2x+alnx，a∈R，若fx≥1求a的取值范围( )
解析：gx=x2-a+2x+aInx-1≥0⇒x2-Inx2-1+-a-2x-Inx≥0
(1)当a≤-2，显然，满足题意，(2)当a>-2，g1=0-a-20，ex+1-ex-1-xInx≥0恒成立.
解析1：ex+x-ex-1-xInx≥0⇒ex-x-12-exx=1≥0+xx-1-Inxx=1≥0(异构)
解析2：hx=ex+1-ex-1-xInx=xexx-1x-Inx+1-e
设：hx=exx-1x-Inx+1-e⇒hx≥h1=0⇒fx≥gx得证！对数单身狗：
170.若不等式：ex2+x-a≥Inx+Inx+1+a恒成立，求实数a的取值范围( )
解析：ex2+x-a≥Inx2+x+a⇒ex2+x-a-x2+x-a-1+x2+x-1-Inx2+x+2-2a≥0
由保值性：2-2a≤0⇒a≤1，当a>1时，x2+x=1矛盾.
171.若关于x的不等式，x+Inaex-aInxx>0对任意的x∈0，1恒成立，则实数a的取值范围( )
解析：x+Inaaex>Inxx⇔x+Inaex+lna>InxeInx，构造gx=xex∵InxInx⇒Ina>Inx-x⇒a≥e-1172.若hx=ebx-sinx+csx-2≥0在x∈[0，+∞)恒成立，则实数b的取值范围( )
解析：端点放应：h0=0⇒h'x=bebx-csx-sinx⇒h'0=b-1≥0⇒b≥1
当b≥1时，显然成立：hx=x-sinx+csx-1+12x2+ex-12x2-x-1+ebx-ex≥0
当b0在[0，+∞)上恒成立，所以y=x⋅ex在[0，+∞)上单调递增，所以lnx2=x1-1，则x1-lnx2=1，所以lntx1x2-x2=lntx2⋅lnx2=lntt2，令ht=lntt2t>0，易知ht在0，e上单调递增，在e，+∞上单调递减，所以htmax=he12=12e
176.证明：xex-2Inx-x2+x-2>0
解析：xex-2Inx-x2+x-2>xx+1-2Inx-x2+x-2=2x-2-2Inx=2x-1-Inx≥0
176.对任意的x>1不等式1aex-lnx-1-5+2Ina≥0恒成立，则a的范围为( )
解析：ex-Ina-x-Ina-1+x-1-1-Inx-1+Ina-2≥0
当a≥e2原式成立，且在x=2，a=e2时取等！；当a0时，fx>0
(2)若∀x∈0，+∞，fx>aInx+1，求a的取值范围
解析：(1)法一：e2x-x2-2x-1=ex-x-1ex+x+1>0，故得证！
法二：因为e2x-x2-2x-1>e2x-2x2-2x-1=e2x-122x2-2x-1>0故得证！法三：常规方法：求导！
(2)fx>aInx+1⇒e2x-x2+a-2x-1>aInx+1⇒e2x+aInex>x+12+aInx+1
构造：hx=x2+ahx⇒hex>hx+1，因为x>0，ex>x+1， hhx在x>1上单谱，放h'x≥0
即：2x+ax≥0⇒a≥-2x2max=-2，
178.已知函数fx=ex+1-ax-Ina⋅Inx，若fxx2⇒Inx+1x>xex-1=Inex-1+1ex-1，构造gx=Inx+1x单调递减，因为xgex-1，原不等式得证.
180.已知x>0，fx=x2+ex，gx=m2+1x+Inx，若fx≥gx恒成立，则实数m的取值范围是( )
解析：x2+ex≥m2+1x+Inx，两边同时除以x得：x+exx≥m2+1+Inxx，方程两边加1x，
x+1x+exx≥m2+1+Inxx+1x=m2+1+e⋅Inexex⇒2+e≥m2+1+1⇒m∈-e，e
181.已知函数fx=xeax，gx=Inx-ax，当a=1时，求函数hx=fx-gx的最小值；
解析：hx=elnx-x-Inx-x，令Inx-x=t≤-1，则φt=et-t↓，则hxmin=φtmin=1e+1
182.已知函数fx=2x-2Inx+ax2-1，若fx≥0恒成立，则实数a的取值范围？
解析：2x-2Inx+ax2-1≥0⇒2x-2Inx2+ax2-1≥0⇒2x-1Inx+x2-1-Inx2+a-1x2≥0
当a≥1时，成立；当a0
184.证明：当a≤1时，对任意x>0，恒有ex+1-ax>Inx+a+1
解析：当a≤1时，1-a≥0，a+1≤2，要证ex+1-ax>Inx+a+1，只需证：ex>lnx+2
凹凸转可以证！异构也可以证！
185.若不等式ex+sinx≥ax+1对任意x∈R恒成立，求实数a的值
解析：极点放应：gx=ex+sinx-ax-1≥0对任意x∈R成立，
因为g0=0∴x=0时，gx取得最小值，也是极小值，即：g'0=2-a=0⇒a=2
当a=2时，g'x=ex+csx-2，g''x=ex-sinx，
(1)当x≥0时，g'x在[0，+∞)单增，又因g'0=0⇒gx在[0，+∞)单增，故gx≥g0=0⇒ex+sinx-ax-1≥0
(2)当x0对任意x∈0，1恒成立，则实数a的取值范围( )
解析：x+Ina-aexInxx>0⇒x+Ina>Inxx⇒x+Inaex+Ina>Inxx=InxeInx
令fx=xex⇒fx+Ina>fInx，∵x∈0，1⇒InxInx⇒Ina>Inx-x≥-1，当x=1时取等，但x∈0，1，故Ina≥-1⇒a≥1e
192.若函数fx=xex-Inx-x-a存在零点，则a的取值范围( )
解析：fx=ex+lnx-Inx-x-1+1-a，所以只需要1-a≤0⇒a≥1即可！
193.已知函数fx=xemx+1-Inx+mx的值域为[0，+∞)，求实数m的范围？
解析：fx=eInx-mx-1-Inx-mx-1≥0，由ex-x-1≥0在0处取等，得Inx-mx-1=0有解，得m=Inx-1x=1e⋅Inxexe∈-∞，1e2
194.若eax≥axax-Inx恒成立，求a的范围？
解析：eaxax≥ax-Inx⇒eaxax≥Ineax-Inx=Ineaxx⇒eaxax≥Ineaxax+Ina，令
得a∈0，ee-1，本题巴凸反转也可以做！
195.已知a>0，Inax≤x-1ex-a，求a的范围？
必要性探路：代入x=1⇒a∈(0，1]
下面证明必要性：即证x-1ex-a-ax+1+ax-1-Inax≥0
易证：ax-1-Inax≥0，只需要证：x-1ex-a-ax+1≥0，当x≥1时，即证x-1ex-1-x+1≥0xex≥x
当0Inx+3，a>0，令hx=aex-2+2Ina-Inx-3>0，x>0
h1=ae+2Ina-3>0，令φa=ae+2Ina-3为增函数，且φe=0，故a>e
充分性证明：当a>e时，hx=aex-2-Inx+2Ina-3>ex-1-Inx-1=ex-1-x-1-1+x-1-Inx≥0得证：
故a的取值范围为a>e
解析2：可以利用函数的凹凸性处理！
不等式exxInx+2e-ax>0恒成立，则正数a的最大值
必要性探路：令hx=exxInx+2e-ax，因为h1=2-a>0⇒a0⇒xInx+2e>xex⇒xInx+2e>xex
因为xInxmin=-1e，xexmax=1e，故xInx+2e>xex得证！(注意xInx+2e≥xex不能取等，因为在不同处取最值)
199.已知a1恒成立，则实数a的取值范围( )
解析：xa+1⋅ex+aInx≥0⇒xex≥1xaIn1xa=eln1xa⋅In1xa⇒x≥In1xa=-aInx⇒a≥-e
200.已知函数fx=aInx-x2-1，a∈R.若不等式fx≤ex-a恒成立，求实数a的取值范围.
解析：ex-a-aInx+x2+1≥0⇒ex+x2+1≥a+aInx⇒ex+x2+1x≥a1+Inxx
⇒exx+x+1x≥ae⋅Inexex⇒exx+x+1xx=1=e+2≥ae⋅Inexexx=1maxx=1=a，取等一致，则a≤e+2，故0≤a≤e+2
当a>e+2时，f1=-2>e-a，矛盾，综上：0≤a≤e+2
201.证明：3a+1x2-x+2-2sinx>0，a>0
解析：3ax2+x2-x+2-2sinx=3ax2+x2-2x+1+x-sinx+1-sinx>0，得证
202.证明：当a∈(0，e]时，ex-aInx-a≥0，解析：记函数hx=ex-aInx-a≥ex-eInx-e=eex-1-Inx-1=eex-1-x-1-1+x-1-Inx≥0
203.已知关于x的不等式x2+m+1x≥-e-x+In-x在x∈-∞，0上恒成立，则m的取值范围( )
解析：必要性探路：fx=x2+m+1x+e-x-In-x≥0，在x∈-∞，0上恒成立，f-1≥0⇒m≤e
充分性证明：fx=x2+m+1x+e-x-In-x≥x2+e+1x+e-x-In-x
换个元吧！令-x=t>0，则t2-e+1t+et-Int=t2-t-et+et-Int=t2-2t+1+t-1-Int+et-et≥0，当t=1时，取等！故得证！
204.若关于x的不等式e2x-aInx≥12a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.0，2e
B.(-∞，2e]
C.0，2e2
D.-∞，2e2
解析1：令fx=e2x-alnx-12a，则fx≥0恒成立
当a=0时，不等式显然成立；当a0时，由f1=e2-12a≥0，所以a∈0，2e2故：我们猜想a∈0，2e2
充分性证明：a∈0，2e2当a=0时，不等式显然成立；下面考虑a∈0，2e2，
当2Inx+1≤0⇒x∈0，1e时，e2x≥12a1+2Inx恒成立
当2Inx+1>0⇒x>1e时，e2x=ex2≥ex2=e2eInx2≥e21+2Inx=12a1+2Inx⇒fx≥0恒成立
综上所述：a∈0，2e2
解析2：由题意可知：2e2x≥a2Inx+1，即函数fx=2e2x的图像在函数gx=a2Inx+1图像的上方，
当a0时，临界位置为两曲线相切，公切线为直线l，ft=gtf't=g't⇒2e2t=a2Int+14e2t=2at⇒t=1a=2e2，要使2e2x≥a2Inx+1，则00，总有fx≤gx，求实数a的取值范围
解析：必要性探路：hx=ex+32x2-Inx-12x2-ax=ex+x2-Inx-ax≥0恒成立，则：h1≥0⇒a≤e+1充分性证明：当a≤e+1，hx=ex+x2-Inx-ax≥ex+x2-Inx-e+1x=ex-ex+x2-x-Inx=ex-ex+x2-2x+1+x-1-Inx=ex-ex+x-12+x-1-Inx≥0
综上：a≤e+1
206.若对任意x∈0，+∞，都有fx=x-1-aInx≥0成立，求实数a的取值集合
解析：由于fx=x-1-aInx=x-1-Inx+1-aInx≥0：
故选用：极点效应∀x∈0，+∞，fx≥0，即fxmin=0，∵f1=0⇒a=1，
下面证明：充分性：当a=1，fx=x-1-Inx≥0，显然成立！故实数a的取值集合为{1}
207.证明：ex-1+xInx-ax2≥0
方法1：必要性探路(显点效应)：令gx=ex-1+xInx-ax2，即gx≥0，g1=1-a≥0⇒a≤1
充分性证明：当a≤1时，要证gx≥0，只需要证：
ex-1+xInx-ax2≥0⇒ex-1+xInx-x2≥0⇒ex-1x+Inx-x≥0⇒ex-1-Inx-x-1-Inx-1≥0，得证！
当x=1，a=1时取等！
方法2：ex-1+xInx-ax2≥0⇒ex-1-Inx+Inx-ax=ex-1-Inx-x-1-Inx-1+1-ax≥0，故1-a≥0⇒a≤1当x=1，a=1时取等；
当a>1时，x=1时，矛盾，故综上a≤1
208.已知函数fx=2x-2Inx+ax2-1≥0恒成立，求实数a的取值范围( )
解析：必要性探路：fx≥0⇒f1=a-1≥0⇒a≥1
充分性证明：当a≥1时，fx=2x-2Inx+ax2-1≥2x-2Inx+x2-1=2x-1Inx+x2-1-Inx2当01
209.已知函数fx=xex，gx=a1+2Inxx，若函数fx的图像与函数gx的图像有两个交点，则实数a的取值范围( )
A.(0，e]
B.2e，+∞
C.e，+∞
D.-∞，0∪{e}
解法1：(凹凸反转+公切线)：由xex=a1+2Inxx；当a≤0时，fx=gx只有一个根，不符合题意当a>0时，问题转化为fx=gx有两个根；画出fx=xex和gx=a1+2Inxx两个函数图像可知，它们图像存在凹及反转的特点，接下来，先求出两曲线的公切线l，得到a的临界值，问题即可解决！
设l为两曲线相切于点Px0，y0，则ex0x0+1=2a1-Inx0x02x0ex0=a1+2Inx0x0⇒x0=1⇒a=e；结合图像知：a>e
解法2：xex≥a1+2Inxx⇒x2ex≥ax+2Inx⇒ex+2Inx≥ax+2Inx⇒a>e
210.已知函数fx=ae2x+a-2ex-xa>0，若fx有两个零点，则a的取值范围为( )
A.0，1
B.(0，1]
C.1e，e
D.1e，e
解析：(山凸反转+公切线)：ae2x+a-2ex-x=0⇔aex+1=2+xex，函数hx=aex+1与gx=2+xex在x=0处的公切线为y=x+2，结合图像可知：01⇒φ'a=ea-2>0，所以φa在1，+∞上单调递增，
所以∀a∈1，+∞都有φa≥φ1=e-2>0，所以.h2a=φa=ea-2a>0
所以hx在a，+∞上有且只有一个零点，所以当a>1时，hx有两个零点
综上，当a1时，gx有三个零点.(12分)
219.已知函数fx=ax+2ex-x+32a∈R，当a>1e时，证明：fx-2>Inx-x2-x-3
解析：即证：当a>1e时，hx=axex-2-x-Inx+2>0
hx=a-1e+1exex-2-x-Inx+2=a-1exex-2+ex+Inx-3-x+Inx-3-1>0 (取等不一致)
220.已知函数fx=ex-a+1Inx-2，当a=e时，证明：fx>2e-e+1Ine+1解析：即证：当a=e时，hx=ex-e+1lnx-2-2e+e+1lne+1>0
只需要：ex-Ine+1-Inx-2+Ine+1=ex-lne+1-x-Ine+1-1+x-Inx-1>0(取等不一致)
221.已知函数fx=ex-1-aInx+aIna，当a>0时，证明：fx>a
解析：当a>0时，即证：gx=ex-1-aInx+aIna-a≥0
即证：gx=ex-1-Ina-Inx+Ina-1≥0
又因为：gx=ex-1-lna-Inx+Ina-1=ex-1-lna-x-1-Ina-1+x-1-Inx≥0
当x-1-Ina=0，x=1即：a=1，x=1(取等一致)，故得证！
222.已知函数fx=ex+1-ae2x+1，当a0
解析：当a0，同除：e2
即证：gx=ex-1-ax+1-lnx+1>0
因为：gx=ex-1-x-1-1+x-Inx+1-ax+1
因为a0成立(取等条件不一致)
223.若a∈[1，+∞)，证明：aex-Inax-e-1x≥1
解析1：即证：a-1+1ex-Inax-e-1x-1≥0，即证：a-1ex+ex-Inx-e-1x-Ina-1≥0
令hx=a-1ex+ex-Inx-e-1x-Ina-1；hx=a-1ex+ex-ex+x-Inx-1+a-1ex-Ina
因为∵x>0，a-1ex-Ina>a-1-Ina≥0，故得证：hx≥0，当x=1，a=1取等！
解析2：即证：hx=aex-Inax-e-1x-1>0⇒hx=ex-ex+ax-Inax-1+a-1ex+1-ax=ex-ex+ax-Inax-1+a-1ex-x，因为a≥1，所以得证：x=1，x=1a，⇒a=1取等！
224.已知函数fx=e2x-b+2xb∈R，gx=Inx+In2e，若fx≥gx对一切x>0恒成立，求b的取值范围？
解析：即证：tx=e2x-b+2x-Inx-In2e≥0分析：探x=1，t1=e2-b+2-In2e≥0数据太丑了，再探x=12， t12=e-b2-1-1≥0⇒b≤2e-4
所以：tx=e2x+2e-4-bx-2e-2x-In2x-1=e2x-2xe+2x-In2x-1+2e-4-bx
故：当b≤2e-4时，显然tx≥0，x=12，b=2e-4等号成立
当：b>2e-4时，t120时，fx≥2a+aIn2a
解析：更换主元：ga=2a+aIn2a-e2x+aInx⇒g'a=In2ex-Ina
当a∈0，2ex，ga单增；当a∈2ex，+∞，ga单减；∴gamax=g2ex=2ex-e2x
令hx=2ex-e2x，h'x=2e-2e2x⇒h'x0=0⇒x0=12，hxmax=h12=0
所以∴gamax0，gx单调递增，所以当a=1时，gx的单调减区间为-3，0，单调增区间为0，+∞；
(2)要使gx=fx+lnx+3ex有意义，则x>-3，且a>0，fx恒大于0，即aex+lnax+3-3>0恒成立，则ex+lna+lna>lnx+3+3，可得ex+lna+x+lna>lnx+3+x+3=elnx+3+lnx+3，因为函数y=ex+x为增函数，所以x+lna>lnx+3，即lna>lnx+3-x，令hx=lnx+3-xx>-3，则h'x=1x+3-1=-x-2x+3，当x∈-3，-2时，h'x>0，hx单调递增，当x∈-2，+∞时，h'x2，则a>e2.所以a的取值范围是e2，+∞.
235.已知函数fx=xsinx+2csx+x，当x∈π2，2π时，fx≤ax，求a的范围？
解析：必要性探路：fπ2≤a⋅π2f2π≤a⋅2π⇒a≥2a≥1+1π⇒a≥2
充分性证明：当a≥2时，即证：fx≤2x≤ax
只需证：hx=xsinx+2csx-x≤0，
h'x=sinx+xcsx-2sinx-1=xcsx-sinx-1， h'x=0⇒x=3π2
即hx在x∈π2，3π2单调递减，hx≤hπ2=0；hx在x∈3π2，2π单调递增，
hx≤h2π=2-2πe2时，矛盾(自证)
237.证明：ex-1>xInx
解析：凹凸反转：ex-1x2>Inxx
在1处放缩：ex≥ex⇒ex≥e2x2+e2>e2x2+1⇒ex-1>e2x2，故ex-1x2>e2，Inxx≥1e，显然成立！
238.当a>1e，证明：axex-2>lnx+x-2
解析：axex-2>Inx+x-2⇒axex-2-Inx-x+2=aex-2+lnx-Inx-x+2=a-1eex-2+lnx+1eex-2+lnx-eInx+x-2>0，故：得证！
239.当a1：xex-ex2+xInx+1-ax+a-1>0
解析：xex-ex+xInx-x+1+2-ax-1>0，故，当a1得证！
若不等式ax2-1-Inx-1x+1ex-1>0，在x>1恒成立，求a的范围？
解析：ax2-1-x+1+x-1+1ex-1-Inx+1x=ax2-1-x+1+x-1+1ex-1-Inx+1elnx=
a-12x2-1+12x-12+x-1+1ex-1-Inx+1elnx>0
或者：=x-1ax+1-1+x-1+1ex-1-Inx+1eInx>0，即a≥1x+1=12
构造hx=x+1ex，hInx=Inx+1x，hx-1=x-1+1ex-1，∵x-1>Inx，故：x-1+1ex-1-Inx+1eInx>0故a≥12成立，a0所以f'x在区间0，+∞上单调递增又因为f'1=0，所以x∈0，1，f'x0，故g'x单增，故g'x>g'0=0⇒gx单增，故gx>g0=0，故原不等式恒成立.
若a0时，fx>kx+1恒成立，求正整数k的最大值.
解析：必要性探路，因为x>0时，fx>kx+1恒成立，故f1>k2，所以kkx+1恒成立，即证当x>0时，x+1Inx+1+1-2x>0
令φx=x+1Inx+1+1-2x，φ'x=lnx+1-1，φ'x=0⇒x=e-1⇒φxmin=3-e>0
所以x>0时，x+1Inx+1+1-2x>0恒成立，因此正整数k的最大值为3
249.已知fx=2x-In2x+1，gx=ex-x-1，当x>0时，kfx≤gx恒成立，求实数k的取值范围.
解析：记Fx=k2x-In2x+1-ex-x-1，F0=0F'x=4kx2x+1-ex+1，F'0=0，
F''x=4k2x+12-ex由Fx≤0，且F0=0，F'0=0，从而F''0≤0⇒k≤14
下证：当k≤14时，Fx0，令gx=a-xex，则g'x=-x+1ex0，ga=a-aea=a1-ea0得00，即函数gx在1，+∞上单调递增，因此∀x>1，lneax≥lnx，即∀x>1，ax≥lnx⇔a≥lnxx，令hx=lnxx，x>1，h'x=1-lnxx2，
当1