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初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 胡不归最值模型提升
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这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 胡不归最值模型提升，共23页。
名师点睛 拨开云雾 开门见山
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1【问题分析】
，记，即求BC+kAC的最小值．
【问题解决】
构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【模型总结】
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．
【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．
【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．
变式练习>>>
1．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
【分析】考虑如何构造“”，已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得，将问题转化为：求PB+PH最小值．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．
例题2. 如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，
∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，
作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．
∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，
在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，
∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，
在Rt△OBM中，
∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，
故选：B．
变式练习>>>
2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝ ﹣ ．
【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，
∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，
∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，
∴△GAP是等边三角形，∴PA＝PG，
∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，
∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，
作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，
∴BC＝＝＝﹣．
故答案为﹣．
例题3. 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为 （0，） ．
【解答】解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，
电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），
在Rt△AMG中，GM＝AG，
∴电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），
当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，
此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝
所以点G的坐标为（0，﹣）．
故答案为：（0，﹣）．
变式练习>>>
3．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）
A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，
总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，
因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，
易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，
因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，
就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，
所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．
例题4. 直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是 （3，） ．
【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，
令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．
抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），
∵点D在点C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．
（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，
则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：
t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．
（3）①依照题意画出图形，如图1所示．
过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．
∵直线BC的解析式为y＝x，∴BE＝CE，
由勾股定理得：BC＝＝CE．
∵CD＝CB，
∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．
当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，
∴m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．
②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．
∵直线BC的解析式为y＝x，FM⊥BC，
∴tan∠FCM＝＝，∴sin∠FCM＝．
∵B、B′关于对称轴对称，∴BF＝B′F，
∴BF+CF＝B′F+FM．
当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．
∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x＝3，
∴B′点的坐标为（0，8）．
又∵B′M⊥BC，∴tan∠NB′F＝，
∴NF＝B′N•tan∠NB′F＝，
∴点F的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．
变式练习>>>
4．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．
（1）填空：点A的坐标为 （﹣2，0） ，点B的坐标为 （0，2） ；
（2）直线l1的表达式为 y＝2x﹣2 ；
（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．
【解答】解：（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，
故答案为（﹣2，0）、（0，2）；
（2）y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，则直线l1的表达式为：y＝2x﹣2，
故：答案为：y＝2x﹣2；
（3）∵S△AOE＝2S△ABO，∴yE＝2OB＝4，
将yE＝4代入l1的表达式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，则点E的坐标为（3，4）；
（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，
直线l2：y＝x+2，则∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，
点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，
当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．
例题5. 已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），
∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，
∴y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，
则点D的坐标为（2，﹣5），
∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，
则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝x+3，
①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，
∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，
∴直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，
解得，（不合题意，舍去），∴P（﹣，）；
②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，
∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，
把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，
∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，
解y＝得，，∴P（，﹣），
综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；
（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，
∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+=BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．
变式练习>>>
5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．
（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；
（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+8）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4；
当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+4＝4，则C（0，4）
∴BC＝4，AC＝2，AB＝10，
∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴AB为直径，∴圆心M点的坐标为（﹣3，0）；
（2）以AP•AN为定值．理由如下：如图1，
∵AB为直径，∴∠APB＝90°，
∵∠APB＝∠AON，∠NAO＝∠BAP，∴△APB∽△AON．
∴AN：AB＝AO：AP，∴AN•AP＝AB•AO＝20，
所以AP•AN为定值，定值是20；
（3）∵AB⊥CD，∴OD＝OC＝4，则D（0，﹣4），易得直线BD的解析式为y＝﹣x﹣4，
过F点作FG⊥x轴于G，如图2，
∵FG∥OD，∴△BFG∽△BDO，
∴＝，即＝＝＝，
∴点Q沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B所用时间
等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，
∴当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，
作∠EBI＝∠ABE，BI交y轴于I，
作FH⊥BI于H，则FH＝FG，∴AF+FG＝AF+FH，
当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，
作DK⊥BI，垂足为K，
∵BE平分∠ABI，∴DK＝DO＝4，设DI＝m，
∵∠DIK＝∠BIO，∴△IDK∽△IBO，
∴＝＝＝，∴BI＝2m，
在Rt△OBI中，82+（4+m）2＝（2m）2，解得m1＝4（舍去），m2＝，∴I（0，﹣），
设直线BI的解析式为y＝kx+n，
把B（﹣8，0），I（0，﹣）代入得，解得，∴直线BI的解析式为y＝﹣x﹣，
∵AH⊥BI，∴直线AH的解析式可设为y＝x+q，
把A（2，0）代入得+q＝0，解得q＝﹣，∴直线AH的解析式为y＝x﹣，
解方程组，解得，∴F（﹣2，﹣3），
即当点F的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q在整个运动过程中所用时间最少．
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，在平面直角坐标系中，点，点P为x轴上的一个动点，当最小时，点P的坐标为___________.
[答案]：
2. 如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M为对角线BD（不含点B）上的一动点，则的最小值为___________.
[答案]：
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；
（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值．
【解答】解：（1）由题意，解得 ，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）；
（2）设点M的坐标为（，y）．
∵A（﹣1，0），B（0，﹣），∴AB2＝1+3＝4．
①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，
则（+1）2+y2＝4，解得y＝±，即此时点M的坐标为（，）或（，﹣）；
②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，
则（）2+（y+）2＝4，解得y＝﹣+或y＝﹣﹣，
即此时点M的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，
则（+1）2+y2＝（）2+（y+）2，解得y＝﹣，
即此时点M的坐标为（，﹣）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣+）
或（，﹣﹣）或（，﹣）；
（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．
理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，
∴PB+PD＝PH+PD＝DH，
∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，
∴sin60°＝，∴DH＝，
∴PB+PD的最小值为．
4. 【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．
（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；
（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．
【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）
【综合运用】（4）如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．
【解答】解：（1）如图①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，在Rt△BCM中，DE＝CDsin30°＝CD；
（2）如图①过点A作AE′⊥CM交BC于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点；
（3）如图②，过点C作射线CM，使得sin∠BCM＝，
过点A作AE⊥CM，垂足为E交BC于点D，则点D为为所用时间最短的登陆点；
（4）由题意得：t＝＝EF+CF，
过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过点F作GF⊥CD交CD于点G，
∠ACB＝∠DCB＝α，sin∠ABC＝＝，则EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，
故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，点E是OB中点，其坐标为：（3，0），
当x＝3时，对于y＝﹣x+3，y＝，点F坐标为（3，），
t＝＝EF+CF，
当H、F、E三点共线时，EF+FH＝OC＝3，
即：最小时间为3秒．
5. 如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；
（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；
（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．
【解答】（1）解：如图1中
∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，
∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵△PCQ是等边三角形，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ，
∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．
（2）证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．
∵△ACD≌△ABQ，
∴AQ＝AD，CD＝BQ，
∵∠DAQ＝60°，
∴△ADQ是等边三角形，
∴AD＝DQ，
∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中△BDQ）．
（3）如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．
∵PE＝PA，
∴PA+2PC＝2（PA+PC）＝2（PE+PC），
根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，
PA+2PC的值最小，最小值为2CF．
由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，
∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y，FG＝y，∴x＝2（y+y），∴y＝x．
6. 如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【解答】解：（1）抛物线y＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y＝﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b＝0，解得b＝，
∴直线BD解析式为：y＝﹣x+．当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3）．
∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，
∴k＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）．
即y＝x2﹣x﹣．
（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝x+k．
∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，
解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴，即，解得：k＝．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠ABC＝tan∠PAB，即：＝，
∴y＝x+．
∴P（x，x+），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．
∵△ABC∽△PAB，＝，∴＝，解得k＝±，
∵k＞0，∴k＝，
综上所述，k＝或k＝．
（3）方法一：
如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，
则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，
∴tan∠DBA＝＝＝，
∴∠DBA＝30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AF+DF，
∴t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y＝﹣x+，
∴y＝﹣×（﹣2）+＝2，∴F（﹣2，2）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，
∴FH＝DF×sin30°＝，
∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，
点M在整个运动中用时为：t＝，
∵lBD：y＝﹣x+，∴FX＝AX＝﹣2，
∴F（﹣2，）．
7. 已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ
的最大值；
（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．
【解答】解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为（﹣1，0）、（3，0），
令x＝0，则y＝3，则点C的坐标为（0，3），
直线BC过点C（0，3），则直线表达式为：y＝kx+3，
将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2+2m+3，
则点Q坐标为（3﹣n，n），
则PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，
∵a＝﹣1＜0，则PQ有最大值，
当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；
（2）过直线CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，
当sinα＝时，HG＝GC，
则BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，
当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，则∠GBO＝α，
∵sinα＝，则csα＝，tanα＝，
OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G（0，），
CG＝3﹣＝，而BG＝，
BG+CG的最小值为：；
（3）作点A关于直线BG的对称点A′，
过A′作A′N⊥x轴，交BG于点M，交x轴于点N，
则此时AM+MN取得最小值，即为A′N的长度，
则：∠GBA＝∠AA′N＝∠OGB＝α，
AA′＝2ABsin∠ABG＝2×4×sinα＝，
A′N＝A′Acsα＝×＝，
即：AM+MN的最小值为．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°
∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G，∴∠AGC＝90°
∵O为AC中点，∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
∴OQ＝OP＝，∴GH最小值为
故选：C．
9. 抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．
【分析】根据抛物线解析式得A、B、C，
直线AC的解析式为：，可知AC与x轴夹角为30°．
根据题意考虑，P在何处时，PE+取到最大值．
过点E作EH⊥y轴交y轴于H点，则∠CEH=30°，故CH=，
问题转化为PE+CH何时取到最小值．考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设，则，，，，
∴当PE+EC的值最大时，x＝﹣2，此时P（﹣2，），∴PC＝2，
∵O1B1＝OB＝，∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，
如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1＝P1B1，
再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1＝P2B1，
∴PO1+B1C＝P2B1+B1C，
∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，
∴B1（﹣，0），
将B1向左平移个单位长度即得点O1，
此时PO1+B1C＝P2C＝＝，
对应的点O1的坐标为（﹣，0），
∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3.
名师点睛 拨开云雾 开门见山
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1
，记，即求BC+kAC的最小值．
【问题解决】
构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【模型总结】
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．
【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．
【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．
变式练习>>>
1．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
【分析】考虑如何构造“”，已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得，将问题转化为：求PB+PH最小值．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．
例题2. 如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，
∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，
作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．
∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，
在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，
∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，
在Rt△OBM中，
∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，
故选：B．
变式练习>>>
2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝ ﹣ ．
【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，
∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，
∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，
∴△GAP是等边三角形，∴PA＝PG，
∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，
∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，
作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，
∴BC＝＝＝﹣．
故答案为﹣．
例题3. 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为 （0，） ．
【解答】解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，
电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），
在Rt△AMG中，GM＝AG，
∴电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），
当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，
此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝
所以点G的坐标为（0，﹣）．
故答案为：（0，﹣）．
变式练习>>>
3．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）
A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，
总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，
因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，
易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，
因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，
就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，
所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．
例题4. 直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是 （3，） ．
【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，
令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．
抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），
∵点D在点C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．
（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，
则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：
t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．
（3）①依照题意画出图形，如图1所示．
过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．
∵直线BC的解析式为y＝x，∴BE＝CE，
由勾股定理得：BC＝＝CE．
∵CD＝CB，
∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．
当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，
∴m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．
②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．
∵直线BC的解析式为y＝x，FM⊥BC，
∴tan∠FCM＝＝，∴sin∠FCM＝．
∵B、B′关于对称轴对称，∴BF＝B′F，
∴BF+CF＝B′F+FM．
当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．
∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x＝3，
∴B′点的坐标为（0，8）．
又∵B′M⊥BC，∴tan∠NB′F＝，
∴NF＝B′N•tan∠NB′F＝，
∴点F的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．
变式练习>>>
4．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．
（1）填空：点A的坐标为 （﹣2，0） ，点B的坐标为 （0，2） ；
（2）直线l1的表达式为 y＝2x﹣2 ；
（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．
【解答】解：（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，
故答案为（﹣2，0）、（0，2）；
（2）y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，则直线l1的表达式为：y＝2x﹣2，
故：答案为：y＝2x﹣2；
（3）∵S△AOE＝2S△ABO，∴yE＝2OB＝4，
将yE＝4代入l1的表达式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，则点E的坐标为（3，4）；
（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，
直线l2：y＝x+2，则∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，
点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，
当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．
例题5. 已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），
∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，
∴y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，
则点D的坐标为（2，﹣5），
∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，
则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝x+3，
①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，
∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，
∴直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，
解得，（不合题意，舍去），∴P（﹣，）；
②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，
∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，
把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，
∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，
解y＝得，，∴P（，﹣），
综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；
（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，
∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+=BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．
变式练习>>>
5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．
（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；
（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+8）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4；
当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+4＝4，则C（0，4）
∴BC＝4，AC＝2，AB＝10，
∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴AB为直径，∴圆心M点的坐标为（﹣3，0）；
（2）以AP•AN为定值．理由如下：如图1，
∵AB为直径，∴∠APB＝90°，
∵∠APB＝∠AON，∠NAO＝∠BAP，∴△APB∽△AON．
∴AN：AB＝AO：AP，∴AN•AP＝AB•AO＝20，
所以AP•AN为定值，定值是20；
（3）∵AB⊥CD，∴OD＝OC＝4，则D（0，﹣4），易得直线BD的解析式为y＝﹣x﹣4，
过F点作FG⊥x轴于G，如图2，
∵FG∥OD，∴△BFG∽△BDO，
∴＝，即＝＝＝，
∴点Q沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B所用时间
等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，
∴当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，
作∠EBI＝∠ABE，BI交y轴于I，
作FH⊥BI于H，则FH＝FG，∴AF+FG＝AF+FH，
当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，
作DK⊥BI，垂足为K，
∵BE平分∠ABI，∴DK＝DO＝4，设DI＝m，
∵∠DIK＝∠BIO，∴△IDK∽△IBO，
∴＝＝＝，∴BI＝2m，
在Rt△OBI中，82+（4+m）2＝（2m）2，解得m1＝4（舍去），m2＝，∴I（0，﹣），
设直线BI的解析式为y＝kx+n，
把B（﹣8，0），I（0，﹣）代入得，解得，∴直线BI的解析式为y＝﹣x﹣，
∵AH⊥BI，∴直线AH的解析式可设为y＝x+q，
把A（2，0）代入得+q＝0，解得q＝﹣，∴直线AH的解析式为y＝x﹣，
解方程组，解得，∴F（﹣2，﹣3），
即当点F的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q在整个运动过程中所用时间最少．
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，在平面直角坐标系中，点，点P为x轴上的一个动点，当最小时，点P的坐标为___________.
[答案]：
2. 如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M为对角线BD（不含点B）上的一动点，则的最小值为___________.
[答案]：
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；
（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值．
【解答】解：（1）由题意，解得 ，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）；
（2）设点M的坐标为（，y）．
∵A（﹣1，0），B（0，﹣），∴AB2＝1+3＝4．
①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，
则（+1）2+y2＝4，解得y＝±，即此时点M的坐标为（，）或（，﹣）；
②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，
则（）2+（y+）2＝4，解得y＝﹣+或y＝﹣﹣，
即此时点M的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，
则（+1）2+y2＝（）2+（y+）2，解得y＝﹣，
即此时点M的坐标为（，﹣）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣+）
或（，﹣﹣）或（，﹣）；
（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．
理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，
∴PB+PD＝PH+PD＝DH，
∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，
∴sin60°＝，∴DH＝，
∴PB+PD的最小值为．
4. 【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．
（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；
（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．
【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）
【综合运用】（4）如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．
【解答】解：（1）如图①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，在Rt△BCM中，DE＝CDsin30°＝CD；
（2）如图①过点A作AE′⊥CM交BC于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点；
（3）如图②，过点C作射线CM，使得sin∠BCM＝，
过点A作AE⊥CM，垂足为E交BC于点D，则点D为为所用时间最短的登陆点；
（4）由题意得：t＝＝EF+CF，
过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过点F作GF⊥CD交CD于点G，
∠ACB＝∠DCB＝α，sin∠ABC＝＝，则EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，
故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，点E是OB中点，其坐标为：（3，0），
当x＝3时，对于y＝﹣x+3，y＝，点F坐标为（3，），
t＝＝EF+CF，
当H、F、E三点共线时，EF+FH＝OC＝3，
即：最小时间为3秒．
5. 如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；
（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；
（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．
【解答】（1）解：如图1中
∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，
∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵△PCQ是等边三角形，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ，
∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．
（2）证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．
∵△ACD≌△ABQ，
∴AQ＝AD，CD＝BQ，
∵∠DAQ＝60°，
∴△ADQ是等边三角形，
∴AD＝DQ，
∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中△BDQ）．
（3）如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．
∵PE＝PA，
∴PA+2PC＝2（PA+PC）＝2（PE+PC），
根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，
PA+2PC的值最小，最小值为2CF．
由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，
∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y，FG＝y，∴x＝2（y+y），∴y＝x．
6. 如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【解答】解：（1）抛物线y＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y＝﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b＝0，解得b＝，
∴直线BD解析式为：y＝﹣x+．当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3）．
∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，
∴k＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）．
即y＝x2﹣x﹣．
（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝x+k．
∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，
解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴，即，解得：k＝．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠ABC＝tan∠PAB，即：＝，
∴y＝x+．
∴P（x，x+），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．
∵△ABC∽△PAB，＝，∴＝，解得k＝±，
∵k＞0，∴k＝，
综上所述，k＝或k＝．
（3）方法一：
如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，
则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，
∴tan∠DBA＝＝＝，
∴∠DBA＝30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AF+DF，
∴t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y＝﹣x+，
∴y＝﹣×（﹣2）+＝2，∴F（﹣2，2）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，
∴FH＝DF×sin30°＝，
∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，
点M在整个运动中用时为：t＝，
∵lBD：y＝﹣x+，∴FX＝AX＝﹣2，
∴F（﹣2，）．
7. 已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ
的最大值；
（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．
【解答】解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为（﹣1，0）、（3，0），
令x＝0，则y＝3，则点C的坐标为（0，3），
直线BC过点C（0，3），则直线表达式为：y＝kx+3，
将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2+2m+3，
则点Q坐标为（3﹣n，n），
则PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，
∵a＝﹣1＜0，则PQ有最大值，
当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；
（2）过直线CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，
当sinα＝时，HG＝GC，
则BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，
当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，则∠GBO＝α，
∵sinα＝，则csα＝，tanα＝，
OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G（0，），
CG＝3﹣＝，而BG＝，
BG+CG的最小值为：；
（3）作点A关于直线BG的对称点A′，
过A′作A′N⊥x轴，交BG于点M，交x轴于点N，
则此时AM+MN取得最小值，即为A′N的长度，
则：∠GBA＝∠AA′N＝∠OGB＝α，
AA′＝2ABsin∠ABG＝2×4×sinα＝，
A′N＝A′Acsα＝×＝，
即：AM+MN的最小值为．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°
∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G，∴∠AGC＝90°
∵O为AC中点，∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
∴OQ＝OP＝，∴GH最小值为
故选：C．
9. 抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．
【分析】根据抛物线解析式得A、B、C，
直线AC的解析式为：，可知AC与x轴夹角为30°．
根据题意考虑，P在何处时，PE+取到最大值．
过点E作EH⊥y轴交y轴于H点，则∠CEH=30°，故CH=，
问题转化为PE+CH何时取到最小值．考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设，则，，，，
∴当PE+EC的值最大时，x＝﹣2，此时P（﹣2，），∴PC＝2，
∵O1B1＝OB＝，∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，
如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1＝P1B1，
再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1＝P2B1，
∴PO1+B1C＝P2B1+B1C，
∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，
∴B1（﹣，0），
将B1向左平移个单位长度即得点O1，
此时PO1+B1C＝P2C＝＝，
对应的点O1的坐标为（﹣，0），
∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3.
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