初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习二次函数中的线段长度有关的综合问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习二次函数中的线段长度有关的综合问题，共25页。试卷主要包含了如图，抛物线交x轴于点A．，如图，二次函数的图像与轴交于等内容，欢迎下载使用。
（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）存在，点P的坐标为（1，2），△PAC的周长是；（3）存在，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）．
【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，得，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；
（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，如图所示：
设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，
，得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点P的坐标为（1，2），
∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），
∴AC＝，BC＝3，
∴△PAC的周长是：AC+CP+PA＝AC+CB＝，
即点P的坐标为（1，2），△PAC的周长是；
（3）存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，
∵S△PAM＝S△PAC，
∴当以PA为底边时，只要两个三角形等高即可，
即点M和点C到PA的距离相等，
当点M在点C的上方时，
则CM∥PA时，点M和点C到PA的距离相等，
设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，
，得，
∴直线AP的解析式为y＝x+1，
∴直线CM的解析式为y＝x+3，
由得，，，
∴点M的坐标为（1，4）；
当点M在点C的下方时，
则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP之间的距离相等，
∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，
由得，，，
∴M的坐标为（，）或（，）；
由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）．
2、如图，抛物线y=ax2﹣ x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；
（3）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=﹣x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y= x2﹣ x-2；（2）M（2，-3）；（3）存在；点E坐标为(,)、(,)、（,)或(,).
【解析】
（1）解：由题意得c=-2，0=a×42-×4-2，
解得a= ，
∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x-2.
（2）解：作MN∥y轴交BC于点N，
∵的面积==2MN=，
∴当MN最大时，的面积也最大，此时M到线段BC的距离d也最大，
设直线BC的解析式为y=kx+b,
∴,
解得,
∴y=x-2，
∴MN=x-2-( x2 - x-2)=- x2+2x=-(x-2)2+2，
∴当x=2时，MN有最大值2，
∴M（2，-3）.
∴当d取最大值时， M点的坐标是（2，-3）；
（3）解：存在，理由如下：
设点 E 的坐标为 (n,−n), 以点A,点B,点P,点E为顶点的平行四边形分两种情况，如图，
①以线段AB为边，点E在点P的左边时，
∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，
∴P(5+n,−n)，
∵点P(5+n,−n)在抛物线y= x2 - x-2上，
∴−n=(5+n)2−(5+n)−2,
解得：n1=, n2= ，
此时点E的坐标为(,)或(,)；
以线段AB为边，点E在点P的右边时，
∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，
∴P(n−5,−n)，
∵点P(n−5,−n)在抛物线y=x2−x−2上，
∴−n=(n−5)2−(n−5)−2,
即n2−11n+36=0，
此时△=(−11)2−4×36=−23