初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习反比例函数中的最值计算问题

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那么，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法，费时、费力、而且还易计算出错。
2.如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长交双曲线于点，连接、则，，因此可以将的面积转化为梯形的面积
1、如图，已知一次函数y＝x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、C与反比列函数y＝的图象在第一象限内交于点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，且△ABP的面积为9．
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，点P的坐标为 ；
（2）已知点Q在反比例函数y＝的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M使得△PQM的周长最小，求出点M的坐标．
【答案】(1)（﹣4，0），（0，2），（2，3）；(2)当△PQM的周长最小时，点M的坐标为（5，0）
【解析】
【分析】
（1）求直线与坐标轴的交点坐标时,令横纵坐标等于零即可求出A,C的坐标,再利用P为直线与双曲线的交点和△ABP的面积为9列出二元一次方程组求出P点坐标即可,
（2）根据题意作出Q的对称点Q′,连接PQ′交x轴于点M,求出解析式,即可求出点M的坐标.
【详解】
（1）当y＝0时，x+2＝0，解得：x＝﹣4，
当x＝0时，y＝2，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2），
设点P的坐标为（a，b）（a＞0），
则，解得：，（舍去），
∴点P的坐标为（2，3），
故答案为：（﹣4，0），（0，2），（2，3）；
（2）如图，作点Q关于x轴的对称轴Q′，连接PQ′，与x轴交于点M，连接QM，此时△PQM的周长最小．
∵点P（2，3）在反比例函数y＝图象上，
∴k＝2×3＝6，即反比例函数解析式为y＝，
∴点Q的坐标为（6，1），点Q′的坐标为（6，﹣1），
设直线PQ′的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将点P（2，3），Q（6，1）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ′的解析式为：y＝﹣x+5，
当y＝0时，﹣x+5＝0，解得：x＝5，
∴点M的坐标为（5，0），
∴当△PQM的周长最小时，点M的坐标为（5，0）．
2、如图，一次函数y＝－x＋6的图像与反比例函数y＝(k>0)的图像交于A、B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM的面积为2.5.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在y轴上有一点P，当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝；（2）P(0，).
【解析】
【分析】
（1）根据反比例系数和三角形面积关系，求出k，即可；（2）作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于P点．由两个函数解析式组成方程组，求出交点坐标，再用待定系数法求直线BC的解析式.,再求出P的坐标.
【详解】
解：(1)设A（m,n），则
∵S△AOM＝2.5，∴|k|＝2.5.
∵k>0，∴k＝5，∴反比例函数的表达式为y＝
(2) 如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于P点．
∵A，B是两个函数图象的交点，
∴
解或
∴A(1，5)，B(5，1)，∴C(－1，5)．
设yBC＝kx＋b，
代入B，C两点坐标得

解得

∴yBC＝－x＋，∴P(0，)，
3、如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．
（1）k1＝ ，k2＝ ，b＝ ．
（2）直接写出不等式y2＞y1的解集；
（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S的最大值．
解：（1）∵A（1，m），B（2，1）在双曲线y2＝上，
∴k2＝m＝2×1＝2，
∴A（1，2），
则，解得：，
∴k1＝﹣1，k2＝2，b＝3；
故答案为：﹣1，2，3；
（2）由图象得：不等式y2＞y1的解集是：0＜x＜1或x＞2；
（3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，
∵PD＝﹣x+3，OD＝x，
则，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围；
（3）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标．
解：（1）把A（3，5）代入，可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为；
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝x+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
（3）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴．
5、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，点C坐标为（﹣1，0），点A坐标为（0，2）．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝的图象经过点B．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集；
（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，直接写出点M的坐标和AM+BM的最小值．
解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F，
∵点C坐标为（﹣1，0），点A坐标为（0，2）．
∴OA＝2，OC＝1，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠ACO＝90°，
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BCF＝∠CAO，
在△AOC和△CFB中
∴△AOC≌△CFB（AAS），
∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1，
∴点B的坐标为（﹣3，1），
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝，
解得：k＝﹣3，
故可得反比例函数解析式为y＝﹣；
将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：，
解得：．
故可得一次函数解析式为y＝﹣x﹣．
（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为：﹣3＜x＜0；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接 B A′与x轴 的交点即为点M，
∵A（0，2），
∴A′（0，﹣2），
设直线BA′的解析式为y＝ax+b，将点A′及点B的坐标代入可得：，
解得：．
故直线BA′的解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，可得﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣2，
故点M 的坐标为（﹣2，0），
AM+BM＝BM+MA′＝BA′＝＝3．
综上可得：点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为3．
6、定义：若实数x，y，x'，y'满足x＝kx'+2，y＝ky'+2（k为常数，k≠0），则在平面直角坐标系xOy中，称点（x，y）为点（x'，y'）的“k值关联点”．例如，点（3，0）是点（1，﹣2）的“1值关联点”．
（1）在A（2，3），B（1，3）两点中，点 是P（1，﹣1）的“k值关联点”；
（2）若点C （8，5）是双曲线y＝（t≠0）上点D的“3值关联点”，求t的值和点D的坐标；
（3）设两个不相等的非零实数m，n满足点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，求点F到原点O的距离的最小值．
解：（1）若点A（2，3）是P（1，﹣1）的“k值关联点”，
∴k＝≠，不合题意，
若点B（1，3）是P（1，﹣1）的“k值关联点”，
∴k＝＝＝﹣1，符合题意，
故答案为：B；
（2）设点D坐标为（x，y），
∵点C （8，5）是点D的“3值关联点”，
∴
∴
∴点D坐标为（2，1），
∵点D是双曲线y＝（t≠0）上点，
∴t＝2×1＝2；
（3）∵点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，
∴，
∴m2n+mn2﹣2n＝2n2m﹣2m，
∴（m﹣n）（mn+2）＝0，
∵m≠n，
∴mn＝﹣2，
∴m＝，
∵（m﹣n）2≥0，
∴m2+n2﹣2mn≥0，
∴m2+n2≥2mn，
∴m2+n2＝+n2≥2×n×＝4，
∴点F到原点O的距离＝＝，
∴点F到原点O的距离的最小值为2．
7、如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝k2x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，m）两点，一次函数的图象与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x为何值时，y2＞0？
（3）已知点P（0，a）（a＞0），过点P作x轴的平行线，在第一象限内交一次函数y2＝k2x+b的图象于点M，交反比例函数y1＝的图象于点N．结合函数图象直接写出当PM＞PN时a的取值范围．
解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，3），
∴，
∴k1＝3，
∴反比例函数表达式为：；
∵点B（3，m）在函数的图象上，
∴，
∴B（3，1）．
∵一次函数y2＝k2x+b的图象过点A（1，3），B（3，1），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为：y2＝﹣x+4；
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为，y2＝﹣x+4．
（2）∵当y2＝0时，﹣x+4＝0，x＝4，
∴C（4，0），
由图象可知，当x＜4时，y2＞0．
（3）如图，
由图象可得，当1＜a＜3时，PM＞PN．
8、如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；
（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的一动点，当|DE﹣PE|最大时，求点E的坐标．
解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝；
（2）观察图象可知：＜kx+b时x的取值范围0＜x＜4；
（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如下图所示，连接DC交PB于F，
∵四边形BCPD为菱形，
∴CF＝DF＝4，
∴CD＝8，
将x＝8代入反比例函数y＝得y＝1，
∴D点的坐标为（8，1）
∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）；
延长DP交y轴于点E，则点E为所求，
则|DE﹣PE|＝PD为最大，
设直线PD的表达式为：y＝sx+t，
将点P、D的坐标代入上式得：，解得：，
故直线PD的表达式为：y＝﹣x+3，
令x＝0，则y＝3，
故点E（0，3）．
9、已知，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C坐标分别为A（2，0），C（﹣1，2），反比例函数y＝的图象经过点B（m≠0）
（1）求出反比例函数的解析式
（2）将▱OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，作出点D并判断点D是否在反比例函数y＝的图象上
（3）在x轴是否存在一点P使△OCP为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）分别过点C、B作x轴的垂线，垂足分别为：E、F，
∵四边形OABC为平行四边形，则∠COE＝∠BAF，CO＝AB，
∴Rt△COE≌Rt△BAF，∴AF＝OE＝1，
故点B（1，2），故m＝2，
则反比例函数表达式为：y＝；
（2）翻折后点D的坐标为：（﹣1，﹣2），
∵（﹣1）•（﹣2）＝2，
∴D在反比例函数y＝的图象上；
（3）当OP＝OC时，点P（，0）；
当OC＝PC时，点P（﹣2，0）；
当OP＝PC时，设点P（m，0），
则m2+（m+1）2+4，解得：m＝﹣2.5；
综上，点P的坐标为：（，0）或（﹣2，0）或（﹣2.5，0）．
10、正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y＝（x＞0）．
（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）的关系式；
（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，
①求△A'EF的面积；
②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在明理由．
解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），
∴点D（1，3），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3，
故反比例函数表达式为：y＝；
（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），
则平移后点E纵坐标为3，则点E（3，1），
同理点F（，2），
△A'EF的面积＝S正方形A′B′C′D′﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝；
（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），
设点P（m，0），
则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝，EP2＝（m﹣3）2+1，PF2＝（m﹣）2+4，
当EF＝EP时，即＝（m﹣3）2+1，解得：m＝（舍去）或；
当EF＝PF时，同理可得：m＝（舍去负值）；
当EP＝PF时，同理可得：m＝，
故点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）．
11、如图所示，一次函数y＝﹣x﹣6与x轴，y轴分别交于点A，B将直线AB沿y轴正方向平移与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点C，D，连接BC交x轴于点E，连接AC，已知BE＝3CE，且S△ABE＝27．
（1）求直线AC和反比例函数的解析式；
（2）连接AD，求△ACD的面积．
解：（1）在y＝﹣x﹣6中，当x＝0时，y＝﹣6；当y＝0时，x＝﹣6．
∴A（﹣6，0），B（0，﹣6），
∴OB＝OA＝6，又S△ABE＝27，
∴OB×AE＝27，
∴AE＝9，OE＝3．
过C作CN⊥x轴于N，
则CN∥OB，
又∵BE＝3CE，
∴＝＝＝，
∴EN＝1，CN＝2，ON＝4，
∴C（4，2）．
∴反比例函数的解析式为y＝．
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣6，0），C（4，2）代入得：
，
解得：．
∴直线AC的解析式为y＝x+；
（2）根据题意设直线CD的解析式为y＝﹣x+b1，将点C（4，2）代入得：
﹣4+b1＝2，
∴b1＝6．
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6．
将直线CD和反比例函数解析式联立得：，
解得：，，
∴D（2，4）．
过D作DM∥y轴交AC于M，则M（2，1.6），
∴S△ACD＝S△ADM+S△CDM
＝DM•|xM﹣xA|+DM•|xC﹣xM|
＝DM•|xC﹣xA|
＝×（4﹣1.6）×|4﹣（﹣6）|
＝12．
12、菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B落在y轴正半轴上，点A、D落在第一象限内，且D点坐标为（4，3）．
（1）如图1，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，求k的值；
（2）菱形ABCD向右平移t个单位得到菱形A1B1C1D1，如图2．
①请直接写出点B1、D1的坐标（用含t的代数式表示）：B1 、D1 ；
②是否存在反比例函数y＝（x＞0），使得点B1、D1同时落在y＝（x＞0）的图象上？若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图，作DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴FO＝4，DF＝3，
∴DO＝5，
∴AD＝5．
∴A点坐标为（4，8），
∴xy＝4×8＝32，
∴k＝32；
（2）①平移后B1、D1的坐标分别为：（t，5），（t+4，3），
故答案为：（t，5），（t+4，3）；
②存在，理由如下：
∵点B1、D1同时落在（x＞0）的图象上B1（t，5），D1（t+4，3），
∴5t＝n，3（t+4）＝n，
解得：t＝6，n＝30
所以，存在，此时n＝30．
13、如图，直线y＝﹣x+6与反比例函数y＝（x＞0）分别交于点D、A（AB＜AC），经探索研究发现：结论AB＝CD始终成立．另一直线y＝mx（m＞0）交线段BC于点E，交反比例函数y＝（x＞0））图象于点F．
（1）当BC＝5时：
①求反比例函数的解析式．
②若BE＝3CE，求点F的坐标．
（2）当BE：CD＝1：2时，请直接写出k与m的数量关系．
解：（1）①针对于直线y＝﹣x+6，令x＝0，则y＝6，
∴A（0，6），
∴OA＝6，
令y＝0，则0＝﹣x+6，
∴x＝8，
∴D（8，0），
∴OD＝8，
∴AD＝10，
∵BC＝5，
∴AB+CD＝AD﹣BC＝5，
∵AB＝CD，
∴AB＝，
过点B作BG⊥y轴于G，
∴∠AGB＝90°＝∠AOB，
∵∠BAG＝∠DAO，
∴△ABG∽ADO，
∴，
∴，
∴AG＝，BG＝2，
∴OG＝OA﹣AG＝，
∴B（2，），
∵点B在反比例函数y＝（x＞0））图象上，
∴k＝2×＝9，
∴反比例函数的解析式为y＝；
②∵BC＝5，
∴BE+CE＝5，
∵BE＝3CE，
∴BE＝，
∴AE＝AB+BE＝，
过点E作EH⊥y轴于H，
∴∠AHE＝90°＝∠AOB，
∵∠HAE＝∠OAD，
∴△HAE∽△OAD，
∴，
∴，
∴AH＝，BG＝5，
∴OH＝OA﹣AH＝，
∴E（5，），
∴直线OE的解析式为y＝x，
联立，解得，（舍）或，
∴F（2，）；
（2）∵BE：CD＝1：2，
∴BE＝a，则CD＝2a，
∴AB＝CD＝2a，
∴AE＝AB+BE＝3a，
过点E作EH⊥y轴于H，
同（1）的方法得，△HAE∽△OAD，
∴，
∴，
∴AH＝a，EH＝a，
∴OH＝OA﹣AH＝6﹣a，
∴E（a，6﹣a），
将点E坐标代入直线y＝mx（m＞0）中，解得am＝6﹣a，
∴a＝，
将点E的坐标代入反比例函数y＝（x＞0）中，
解得，k＝a（6﹣a）＝a（10﹣3a）＝×（10﹣）＝．
14、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．
（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；
（2）求△AOD的面积；
（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，
∴点A，点B关于原点对称，
∴点B的横坐标为1，
∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；
（2）连接OC，OE，
由图象知，点A，点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴OC＝AB＝AO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∴S△AEO＝S△ACE＝，
∵AD＝2DE，
∴AE＝DE，
∴S△AOD＝2S△AOE＝3；
（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，
则EF∥AH，
∵AD＝2DE，
∴DE＝EA，
∵EF∥AH，
∴＝＝1，
∴DF＝FH，
∴EF是△DHA的中位线，
∴EF＝AH，
∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，
∴OF•EF＝OH•HA，
∴OH＝OF，
∴OH＝HF，
∴DF＝FH＝HO＝DO，
∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，
∴﹣＝1，
∴k＝﹣2，
∴y＝﹣，
∵点A在y＝﹣的图象上，
∴把x＝﹣1代入得，y＝2，
∴A（﹣1，2），
∵点A在直线y＝mx上，
∴m＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，
当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，
则OM＝2，
∴点M的坐标为（0．﹣2）；
当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，
∴OM＝2PG＝4，
∴点M的坐标为（0．﹣4）；
综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．
15、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，4）．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0），当随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写过程）．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵B（4，1），C（4，4），
∴BC⊥x轴，AD＝BC＝3，
而A点坐标为（1，0），
∴点D的坐标为（1，3）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的函数图象经过点D（1，3），
∴3＝，
∴m＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）当x＝4时，y＝kx+4﹣4k＝4k+4﹣4k＝4，
∴一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）设点P的横坐标为a，
∵一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，
∴k＞0，P点的纵坐标要小于4，横坐标大于4，
当纵坐标小于4时，
∵y＝，
∴＜4，解得：a＞，
则a的范围为a＞1或a＜．