初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习分类讨论思想

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每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
分类讨论类型
【类型一、与数与式有关的分类讨论】
热点1：实数分类、绝对值、算术平方根
热点2：与函数及图象有关的分类讨论 ：变量取值范围、增减性
热点3：含参不等式
热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。
热点5：含参方程
【类型二：三角形中的分类讨论】
热点1. 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解决．
（1） 与角有关的分类讨论
（2） 与边有关的分类讨论
（3） 与高有关的分类讨论
热点2：与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有指明哪条边是直角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在不知哪个角是直角时，有关角的问题也需要先讨论后求解．
热点3：与相似三角形有关的分类讨论
（1） 对应边不确定
（2） 对应角不确定
【类型三：圆中的分类讨论】
热点1：点与圆的位置关系不确定
热点2：弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论
热点3：两弦与直径位置
热点4：直线与圆的位置的不确定
热点5：圆与圆的位置的不确定
【典例分析】
例1、等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2−4x+k=0的两个根，则k的值为( )
A. 3B. 4C. 3或4D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．
当3为腰长时，将x=3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△=0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．
【解答】
解：当3为腰长时，将x=3代入x2−4x+k=0，得：32−4×3+k=0，
解得：k=3；
当3为底边长时，关于x的方程x2−4x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=(−4)2−4×1×k=0，
解得：k=4，此时两腰之和为4，4>3，符合题意．
∴k的值为3或4．
故选：C．
例2、有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是______元．
【答案】100或85
【解析】解：设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，
x−20+x=150，
解得x=85；
②所购商品的标价大于90元，
x−20+x−30=150，
解得x=100．
故所购商品的标价是100或85元．
故答案为：100或85．
可设所购商品的标价是x元，根据小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分①所购商品的标价小于90元；②所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，属于商品销售问题，注意分两种情况进行讨论求解．
例3、如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，AC，BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N.设M点的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a−3b+4=016a+4b+4=0，
解得a=−13b=13，
故抛物线的表达式为：y=−13x2+13x+4；
(2)由抛物线的表达式知，点C(0,4)，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=−x+4；
设点M(m,0)，则点P(m,−13m2+13m+4)，点Q(m,−m+4)，
∴PQ=−13m2+13m+4+m−4=−13m2+43m，
∵OB=OC，故∠ABC=∠OCB=45°，
∴∠PQN=∠BQM=45°，
∴PN=PQsin45°=22(−13m2+43m)=−26(m−2)2+223，
∵−260时，直线y1和直线y2都经过一、二、三象限，只有选项A符合；
当a0时，直线y1经过一、二、四象限，直线y2经过一、三、四象限，没有符合的选项；
当a>0、b0、b