初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习几何图形之隐圆模型

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习几何图形之隐圆模型，共32页。

模型一、动点定长模型
若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径

模型二、直角圆周角模型
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径

模型三、四点共圆模型
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆

【真题精选】
1.（2020·成都）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
【答案】 (1). (2).
【详解】解：连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3，
设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，∴当t最大即EP最大时，PQ最大，由题意知：当点P、A重合时，EP最大，此时EP=2，则t=1，∴PQ的最大值=；
设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，
∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴，
∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴，
∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，
∴，∴当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，
连接DO，过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，则OK=BK=1，
∴NO=2，CN=1，∴DN=3，则在Rt△DON中，，
∴DH的最小值=DO－OH=．故答案为：，．
【例题讲解】
例1. （动点定长模型）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________．
【答案】．
【解析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．
构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为．
例2.（直角圆周角模型）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．
【答案】
【解析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，
∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．
当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．

例3.（四点共圆模型）如图，∽，，，，是的中点，若点是直线上的动点，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵△ABC∽△ADE，ADE＝∠ABE，∴点A，D，B，E四点共圆，
∵∠DAE＝90°，∴∠DBE＝90°，∵F是DE的中点，∴BF＝DE，
∴当DE最小时，BF的值最小，
∵若点E是直线BC上的动点，∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝5，∴AE＝，
∵△ABC∽△ADE，∴，∴，
∴DE＝4，∴BF＝2，故选B．
【课后训练】
1.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．
【答案】8
【解析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可．

2.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）
A．2－2B．2C．3－1D．2
【答案】A
【详解】由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP＋∠CBN＝90°，∴∠ABP＋∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧BG，是这个圆的，
连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，
∴PC＝OC−OP＝2−2；
故选：A．
3.如图，点M是矩形ABCD的边BC、CD上的点，过点B作BN⊥AM于点P，交矩形ABCD的边于点N，连接DP，若AB=6，AD=4，则DP的长的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．5
【答案】A
【详解】解：∵BN⊥AM，∴∠APB＝90°，
∵AB＝6为定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，
连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP长的最小值时的位置，如图所示：
∵AB＝6，AD＝4，∴OP′＝OA＝AB＝3，OD＝＝＝5，
∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，∴DP的长的最小值为2，故选：A．
4.如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为 ．
【解答】解：∵∠CAD＝∠CFD，∴点A，F，C，D四点共圆，
∴∠FAD+∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC，
∵∠DCF＝90°，∴∠FAD＝90°，∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
∵DF⊥AB，∴∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°，
∴∠ABF＝∠CDF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，
∵DF﹣AD＝2，∴DF＝AD+2，∵DF2＝AF2+AD2，∴（2+AD）2＝62+AD2，解得：AD＝8，∴DF＝10，
∵∠FAD＝90°，AE⊥DF，∴△ADE∽△DAF，∴＝，∴DE＝＝＝，故答案为：．
5.如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D为直线AB上方一点，连接AD，BD，且∠ADB＝90°，过D作直线BC的垂线，垂足为E，则线段BE的长度的最大值为_____．
【答案】12．
【详解】解：在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，，
，，∵∠ADB＝90°，共圆
取的中点 连接，过点作于点
如图，当时， 最大，此时， ，
，四边形是矩形，，
，故答案为：12．
6．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（ ）
A．1B．﹣2C．2﹣1D．3
【答案】B
【详解】解：如图，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴，O′E＝2，
在Rt△BCO′中，，
∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，故选：B．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以AB为边向右作等边ABE，F为边CD上一点，DF＝2，连接EF，则EF的最小值为___．
【答案】-6
【详解】解：如图，在AB上取点O，使得AO=2，则AO=DF，
∵AO∥DF，∴四边形AOFD是平行四边形，
∴OF=AD=6，即：点F在以O为圆心，6为半径的圆上，
连接OE，当点F恰好在OE上时，EF最小，过点E作EH⊥AB，
在等边ABE中，AB=AE=8，AH=4，∴HE=，
∵在RtOHE中，OH=4-2=2，∴OE=，
∴EF=-6，即EF的最小值为-6．
8．如图，正方形的边长为5，点O是中心，点M在边上，连接，，过O作，交边于点N．若，则的长是__________．

【答案】3
【详解】连接MN、OC，∵∠MON＝ ，∠MBN＝，∴M、O、N、B四点共圆，∴∠BOM+∠BNO＝，
∵∠BNO+∠ONC＝，∴∠BMO＝∠ONC，
∵点O是正方形ABCD的中心，∴OB＝OC，∠BOC＝，
∵∠MON＝∠MOB+∠BON＝，∠BOC＝∠BON+∠NOC＝，
∴∠MOB＝∠NOC，∴△MOB≌△NOC，∴NC＝MB＝2，
∵正方形ABCD的边长为5，∴BC＝5，∴BN＝BC﹣NC＝5﹣2＝3．故答案为：3．
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为 8 ．

【解答】解：如图，连接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，∴BE的最小值为8，
故答案为8．
10．如图，在中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于．若，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【详解】如图1，过点E作于F，
∵，∴，∴，∴，
∵AC是定值，∴当EF取最大值时有最小值，又∵，∴A，B，E，C四点共圆，
设AB的中点为O，连接OE，当时，EF有最大值，
如图2，当点E是中点时，EF的值最大，
此时，E，F，O共线．∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴的最小值为．故选Ｄ．
11.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，
∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝，
∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝+6＝．故答案为：
12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝25，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为 ．
【解析】如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，
过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长．
∵BC＝AD＝25，AB＝CD＝6，
根据翻折可知：DE＝EF＝x，AF＝AD＝25，则CE＝CD﹣DE＝6﹣x，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，得BF=AB2-AF2=4，则BE＝BF+EF＝4+x，
在Rt△BEC中，根据勾股定理，得（4+x）2＝（6﹣x）2+（25）2，解得x＝2．
则DG的最大值为2．故答案为：2．
13.如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在边BC上，且BM＝b，连AM、MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF．给出以下四个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝b-b2a；③△ABM≌△NGF；④A、M、P、D四点共圆，其中正确的结论是 ①②③④ （填序号）．
【解析】①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠BAM+∠DAM＝90°，
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴∠NAD＝∠BAM，∠AND＝∠AMB，
∴∠DAM+∠NAD＝∠NAD+∠AND＝∠AND+∠NAD＝90°，∴∠MAD＝∠AND，故①正确；
②∵四边形CEFG是正方形，∴PC∥EF，∴△MPC∽△EMF，∴PCEF=CMME，
∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM＝b，
∴EF＝b，CM＝a﹣b，ME＝（a﹣b）+b＝a，
∴CPb=a-ba，∴CP＝b-b2a；故②正确；
③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴GN＝ME，
∵AB＝a，ME＝a，∴AB＝ME＝NG，
在△ABM与△NGF中，AB=NG=a∠B=∠NGF=90°GF=BM=b，
∴△ABM≌△NGF（SAS）；故③正确；
④∵四边形AMFN是正方形，∴∠AMP＝90°，
∵∠ADP＝90°，∴∠AMP+∠ADP＝180°，
∴A，M，P，D四点共圆，故④正确．故答案为：①②③④．
隐形圆及最值问题
本文主要从以下四个方面去介绍：
一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）
二、定边对直角
三、定边对定角
四、四点共圆
一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
1、几个点到某个定点距离相等可用圆
（定点为圆心，相等距离为半径）
例：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______
例：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________
2、动点到定点距离保持不变的可用圆
（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）
例：木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随
之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是
（ ）
如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是 ．
【分析】如图，延长交于，当时，点到的距离最小，利用，得到求出即可解决问题．
解：如图，延长交于，当时，点到的距离最小．（点在以为圆心为半径的圆上，当时，点到的距离最小）
，，
，
，
，，，
，，
，
，
，
点到边距离的最小值是1.2．
故答案为1.2．
二、定边对直角
知识回顾：直径所对的圆周角是直角．
构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
图形释义：
例：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．
如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】
由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
如图，
由题意知，，
在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，
长度的最小值，
故选：．
例：如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，
故选：A．
三、定边对定角
在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
例：（2018•日照）如图，已知点，，在抛物线上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积为1；
（3）在轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入求得的值即可；
（2）过点作，交与点，先求得直线的解析式为，设点，则，然后可得到与之间的关系式，接下来，依据的面积为1列方程求解即可；
（3）首先依据点和点的坐标可得到，设外接圆圆心为，则，设的半径为，则中，依据勾股定理可求得的半径，然后依据外心的性质可得到点为直线与的交点，从而可求得点的坐标，然后由点的坐标以及的半径可得到点的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，将代入得，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）过点作，交于点．
设直线的解析式为，则，解得：，
直线的解析式为．
设点，则
，
．
又，
，整理得：，解得：或，
点的坐标为或．
（3）存在．
，，
．
，
点为外接圆与抛物线对称轴在轴下方的交点．
设外接圆圆心为，则．
设的半径为，则中，由勾股定理可知，即，解得：（负值已舍去），
的垂直平分线的为直线，的垂直平分线为直线，
点为直线与的交点，即，
的坐标为．
四、四点共圆
两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．
如图1，在四边形ABCD中，，，，，则______________．
（2）如图2，在的边AB、AC上分别取点Q、P，使得．求证：．

图1 图2
（1）28°；
（2）∵，
∴
．
作点P关于BC的对称点M，连接BM、CM，
则，，∴B、M、C、Q四点共圆，
∵，∴，∴．
例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2B．πC．2πD．π
解：如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，ABAC，
∴AC＝2，
∴OA＝OC，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为π．
故选：D．
圆中最值问题
方法总结：圆中求最值的方法：(在圆中，注意圆的半径长为定值，要围绕半径构造模型解题)
①结合半径，利用垂线段最短直接构造直角三角形求解，如T1，T2；
②根据圆的对称性，将线段转换到一起，再利用两点之间线段最短求解，如T3，T10；
③利用直径是圆中最长的弦求解，如T5；
④寻找隐含条件(如中位线、直角三角形斜边上的中线等)，构造直角三角形或隐圆解题，如T6，T9.
1．如图，等边的边长为2，的半径为1，是上的动点，与相切于，的最小值是
A．1B．C．D．2
【分析】连接，，作于，因为与相切于，所以，可得，当与重合时，最小，此时最小，求出的长，即可得出的最小值．
【解答】解：如图，连接，，作于，
与相切于，
，
的半径为1，
，
当与重合时，最小，
等边的边长为2，
，
，
的最小值为：．
故选：．
2．如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为 ．
【分析】连接，如图，利用勾股定理得到，利用垂线段最短得到当时，最小，再求出即可．
【解答】解：连接，如图，
，
，
，
当的值最小时，的值最大，
而时，最小，此时、两点重合，
，
即的最大值为，
故答案为：．
3．如图点是半圆上一个三等分点（靠近点这一侧），点是弧的中点，点是直径上的一个动点，若半径为3，则的最小值为 ．
【分析】作点关于的对称点，连接、、，交于，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，先确定，则确定，则可判断为等腰直角三角形，所以，从而得到的最小值．
【解答】解：作点关于的对称点，连接、、，交于，如图，
，
，
此时的值最小，
点是半圆上一个三等分点，
，
点是弧的中点，
，
，
为等腰直角三角形，
，
的最小值为．
故答案为．
4．如图，是的内接三角形，且是的直径，点为上的动点，且，的半径为6，则点到距离的最大值是 ．
【分析】过作于，延长交于，则此时，点到距离的最大，且点到距离的最大值，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过作于，延长交于，
则此时，点到的距离最大，且点到距离的最大值，
，，的半径为6，
，
，
，
则点到距离的最大值是，
故答案为：．
5．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是 ．
【分析】根据中位线定理得到的长最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【解答】解：点，分别是，的中点，
，
当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
是的直径，
．
，，
，
，
．
故答案为：．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为 ．
【分析】连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则的最大长度为16．
【解答】解：连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，
，
，
以点为圆心的圆与轴相切．
的半径为3，
，
是直径，
，
长度的最大值为16，
故答案为16．
7．已知点是圆心为坐标原点且半径为3的圆上的动点，经过点作直线轴，点是直线上的动点，若，则的面积的最大值为 ．
【分析】当是的切线时，最长，则最长，故的面积的最大，连接，根据切线的性质和已知条件得出是等腰直角三角形，利用勾股定理确定，进而求得，根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：当是的切线时，最长，则最长，故的面积的最大，
连接，
是的切线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
的面积的最大值为，
故答案为．
8．如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于 ．
【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形是正方形，从而求得，以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，作出图形，根据切线的性质得出，根据勾股定理求得的长，从而证得是等腰直角三角形，即可证得的最大值为．
【解答】解：、是过所作的的两切线且互相垂直，
，
四边形是正方形，
根据勾股定理求得，
点在以为圆心，以长为半径作大圆上，
以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，如图所示，
是大圆的切线，
，
，，
，
，
，
的最大值等于，
故答案为．
9．如图，是矩形内一点，，，，则当线段最短时， ．
【分析】因为，则点在为直径的半圆上，当点为的中点与点连线与半圆的交点时，最短，求出此时的长度便可．
【解答】解：以为直径作半圆，连接，与半圆交于点，当点与重合时，最短，
则，
，，
，，
，
过作于点，则
，
，
．
故答案为：．
10．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，，求的长；
（3）若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点；
（2）证明为的中位线得到，然后计算即可；
（3）作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
即点为的中点．
（2）解：，
，
而，
为的中位线，
，
．
（3）解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点和点关于对称，
，
，
作于，则，，
在中，，
，
，
的最小值为．
若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上（可证）．
若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证）．
若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
证明条件：线段同侧张角相等．
若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
证明条件：1．四边形对角互补；
2．四边形外角等于内对角．
四边形ABCD的对角线AC、BD交于H，
若，则四点共圆.
四边形ABCD的对边BA、CD的延长线交于P，
若，则四点共圆.