初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习方程思想

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习方程思想，共40页。
方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间
的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
【典例分析】
例1、如图所示，以□ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角三角形CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE，BE，则∠AEB的度数为( )．
A. 120°B. 135°C. 150°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，根据题意列出方程是解决问题的关键．先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°−2x，∠BAD=2x−45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，
∵AD=DE=CE，
∴AD=DE=CE=BC，
∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，
∵∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，
∴∠ADE=180°−2x，∠BCE=180°−2y，
∴∠ADC=180°−2x+45°=225°−2x，∠BCD=225°−2y，
∴∠BAD=180°−(225°−2x)=2x−45°，
∴2x−45°=225°−2y，
∴x+y=135°，
∴∠AEB=360°−135°−90°=135°．
故选B．
例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若BC=5，AC=12，那么点D到AB的距离为__________．
【答案】103
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理以及点到直线的距离的概念，解题关键是运用勾股定理列方程.作DE⊥AB于点E，先证明△BCD≌△BED，得出DE=CD，BE=BC=5，设DE=CD=x，则AD=12−x，由勾股定理求出AB和AE，然后在Rt△ADE中，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】
解：作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，BD平分∠ABC，
∴∠BED=∠C=90°，∠CBD=∠EBD，
∵BD=BD，
∴△BCD≌△BED，
∴DE=CD，BE=BC=5，
设DE=CD=x，
则AD=12−x，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=13，
∴AE=AB−BE=13−5=8，
在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2，
∴(12−x)2=x2+82，
解得：x=103，
∴DE=103，即点D到AB的距离为103．
故答案为103．
例3、如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(−1,0)、D(2,3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；
(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】解：(1)由题意可得
c=3a−b+c=04a+2b+c=3,
解得a=−1b=2c=3,
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
(2)∵A(0,3)，D(2,3)，
∴BC=AD=2，
∵B(−1,0)，
∴C(1,0)，
∴线段AC的中点为(12,32)，
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E(3,0)，
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得
12k+m=323k+m=0,
解得k=−35m=95,
∴直线l的解析式为y=−35x+95，
联立直线l和抛物线解析式可得
y=−35x+95y=−x2+2x+3,
解得x=3y=0或x=−25y=5125,
∴F(−25,5125)，
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P(t,−t2+2t+3)，M(t,−35t+95)，
∴PM=−t2+2t+3−(−35t+95)=−t2+135t+65，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=12PM⋅FN+12PM⋅EH
=12PM⋅(FN+EH)
=12(−t2+135t+65)(3+25)
=−1710(t−1310)2+289100×1710，
∴当t=1310时，△PEF的面积最大，其最大值为289100×1710，
∴最大值的立方根为3289100×1710=1710；
(3)由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=−t2+2t+3−3，即−t2+t=0，解得t=1或t=0(舍去)，
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=−t2+2t+3，AQ=t，KE=3−t，PQ=−t2+2t+3−3=−t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴PKAQ=KEPQ，即−t2+2t+3t=3−t−t2+2t，即t2−t−1=0，
解得t=1+52或t=1−520)上，
∴52k+b=94①，
∵A2C1//A3C2，
∴∠A2A1B1=∠A3A2B2，
∵∠A2B1A1=∠A3B2A2=90°，
∴△A2A1B1∽△A3A2B2，
∴A1B1A2B2=A2B1A3B2，
∴a52−a=52−2aa−14，
整理得：4a2−29a+25=0，
解得：a=254(舍去)，a=1，
∴点A1(0,1)，
∴b=1②，
把②代入①得：k=0.5，
∴k+b=1.5．
故选B．
二、填空题
已知长方形ABCD，AD>AB，AD=10，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当S2−S1=3b时，AB= ．
【答案】7.
【解析】
【分析】
本题主要考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质；
解答此题，首先根据图形列出S1和S2的代数式，然后得到S2−S1=b(10−AB)，可得b(10−AB)=3b，即可求出AB的值．
【解答】
解：∵S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，
S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，
∴S2−S1
=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)
=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)
=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab
=b(AD−AB)
=b(10−AB)
∵S2−S1=3b，
∴b(10−AB)=3b，
又b≠0，
∴10−AB=3，
∴AB=7．
故答案为7．
如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=4x和y=9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=4x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是______．
【答案】34或217
【解析】
【分析】
联立y=kx、y=4x并解得：点A(2k,2k)，同理点B(3k,3k)，点C(3k,43k)，分AB=BC、AC=BC两种情况分别求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，方程思想，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
【解答】
解：联立y=kx、y=4x并解得：点A(2k,2k)，同理点B(3k,3k)，
点C(3k,43k)，∴AB≠AC，
①当AB=BC时，(3k−2k)2+(3k−2k)2=(3k−4k3)2，解得：k=±34(舍去负值)；
②当AC=BC时，同理可得：(3k−2k)2+(3k−2k)2=(3k−4k3)2，解得：k=±217(舍去负值)；
故答案为：34或217．
春节期间，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四种礼品套餐组合：甲套餐每袋装有15个A礼盒，10个B礼盒，10个C礼盒；乙套餐每袋装有5个A礼盒，7个B礼盒，6个C礼盒；丙套餐每袋装有7个A礼盒，8个B礼盒，9个C礼盒；丁套餐每袋装有3个A礼盒，4个B礼盒，4个C礼盒，若一个甲套餐售价1800元，利润率为20%，一个乙和
一个丙套餐一共成本和为1830元，且一个A礼盒的利润率为25%，问一个丁套餐的利润率为______.(利润率=利润成本×100%)
【答案】18.75%
【解析】
【分析】
本题考查了三元一次方程组的应用、方程思想，属于较难题．
先由甲套餐售价1800元，利润率为20%，可求出甲套餐的成本之和为1500元．设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，得到方程组，得到x=40，再根据一个A礼盒的利润率为25%，可求出一个A礼盒的售价为50元，进而可得出一个B礼盒与一个C礼盒的售价之和，再由利润率公式求出一个丁套餐的利润率．
【解答】
解：设甲套餐的成本之和m元，则由题意得1800−m=20%m，解得m=1500(元)．
设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，由题意得15x+10y+10z=150012x+15y+15z=1830，
同时消去字母y和z，可得x=40
所以y+z=90
A礼盒的利润率为25%，可得其利润=40×25%=10元，因此一个A礼盒的售价=40+10=50元．
设一个B礼盒的售价为a元，一个C礼盒的售价为b元，则可得15×50+10a+10b=1800，整理得a+b=105(元)
所以一个丁套餐的售价=3×50+4(a+b)=150+420=570(元)
一个丁套餐的成本=3×40+4(y+z)=120+360=480(元)
因此一个丁套餐的利润率=570−480480×100%=18.75%
故答案为18.75%
如图1，直线AB//CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．
(1)若∠PEF=43∘，点Q恰好落在平行线AB上，则∠EFP= _______度．
(2)若∠PEF=60∘，∠CFQ=12∠PFC，则∠EFP=_______度．
【答案】解：(1)47°；
(2)40°或72°．
【解析】
【分析】
本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，分类讨论得思想、方程思想在几何中的运算，解答的关键是正确画出图形，分类讨论．
(1)当点Q恰好落在AB上时，PF⊥AB，则∠EFP=90°−43°=47°．
(2)分两种情况：①当点Q在平行线AB、CD之间时，设∠PFQ的度数为x°，根据∠AEF+∠CFE=180°，列方程求解；②当点Q在CD下方时，设∠CFQ的度数为x°，根据∠AEF+∠CFE=180°，列方程解答．
【解答】
解：(1)如图1，当点Q落在AB上，∠FPE=∠FPQ=90°，
∴FP⊥AB，
∴∠EFP=90°−∠PEF=47°．
故答案为47°．
(2)①如图3，当点Q在平行线AB、CD之间时：
设∠PFQ的度数为x°，由折叠可得：∠EFP=x°，
∵∠CFQ=12∠PFC，
∴∠PFQ=∠CFQ=x°，
∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴60+x+x+x=180，解得：x=40，即：∠EFP=40°；
②如图4，当点Q在CD下方时：
设∠CFQ的度数为x°，
由∠CFQ=12∠PFC得：∠PFC=2x°，∴∠PFQ=3x°，
由折叠得∠PFE=∠PFQ=3x°，
∵AB//CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴2x+3x+60=180，解得：x=24，
∴∠EFP=3x°=72°，
综上：∠EFP的度数为40°或72°．
故答案为40°或72°．
春节期间，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四种礼品套餐组合：甲套餐每袋装有15个A礼盒，10个B礼盒，10个C礼盒；乙套餐每袋装有5个A礼盒，7个B礼盒，6个C礼盒，丙套餐每袋装有7个A礼盒，8个B礼盒，9个C礼盒，丁套餐每袋装有3个A礼盒，4个B礼盒，4个C礼盒，若一个甲套餐售价1800元，利润率为20％，一个乙套餐和一个丙套餐一共成本和为1830元，且一个A礼盒的利润率为25％，问一个丁套餐的利润率为________．(利润率=利润成本×100%)
【答案】18.75%
【解析】
【分析】
本题考查了三元一次方程组的应用、方程思想以及有理数的混合运算．
先由甲套餐售价1800元，利润率为20%，可求出甲套餐的成本之和为1500元．设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，则由题意得15x+10y+10z=150012x+15y+15z=1830，可同时消去y和z，得到x=40，再根据一个A礼盒的利润率为25%，可求出一个A礼盒的售价为50元，进而可得出一个B礼盒与一个C礼盒的售价之和，再由利润率公式求出一个丁套餐的利润率．
【解答】
解：设甲套餐的成本之和m元，则由题意得1800−m=20%m，解得m=1500(元)．
设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，由题意得15x+10y+10z=150012x+15y+15z=1830，
同时消去字母y和z，可得x=40
所以y+z=90
A礼盒的利润率为25%，可得其利润=40×25%=10元，因此一个A礼盒的售价=40+10=50元．
设一个B礼盒的售价为a元，一个C礼盒的售价为b元，则可得15×50+10a+10b=1800，整理得a+b=105(元)
所以一个丁套餐的售价=3×50+4(a+b)=150+420=570(元)
一个丁套餐的成本=3×40+4(y+z)=120+360=480(元)
因此一个丁套餐的利润率=570−480480×100%=18.75%
故答案为18.75%．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为______．
【答案】3或32
【解析】
【分析】
分两种情形：①如图1中，当∠EDB=90°，四边形ACDE是正方形，此时CD=AC=6；②如图2中，当∠DEF=90°时，AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，利用勾股定理构建方程即可；
本题考查翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
【解答】
解：①如图1中，当∠EDB=90°，四边形ACDE是正方形，此时CD=AC=6，
∵BC=AB2−AC2=8，
∴BD=BC−CD=8−6=2，
∵tan∠ABC=DFBD=ACBC，
∴DF2=68，
∴DF=32．
②如图2中，当∠DEF=90°时，AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，
在Rt△BDE中，(8−x)2=x2+42，
∴x=3，
综上所述，满足条件的DF的值为3或32．
故答案为3或32．
三、解答题
在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax−a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线y=−233x2−433x+23与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C．
(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−233x+233；(−2,23)；(1,0).
(2)当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，
在y=−233x2−433x+23中，令y=0可求得x=−3或x=1，
∴C(−3,0)，且A(−2,23)，
∴AC=(−2+3)2+(23)2=13，
由翻折的性质可知AN=AC=13，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=AN2−AD2=13−4=3，
∵OD=23，
∴ON=23−3或ON=23+3，由题意CM最大是4
当ON=23+3时，则MN>ON>CM，与MN=CM矛盾，不合题意，
∴N点坐标为(0,23−3)；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，
在Rt△AMD中，AD=2，OD=23，
∴tan∠DAM=MDAD=3，
∴∠DAM=60°，
∵AD//x轴，
∴∠AMC=∠DAO=60°，
又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，
∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，
∴MP=12MN=32，NP=32MN=332，
∴此时N点坐标为(32,332)；
综上可知N点坐标为(0,23−3)或(32,332)；
(3)①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，
则有AC//EF且AC=EF，
∴∠ACK=∠EFH，
在△ACK和△EFH中
∠ACK=∠EFH∠AKC=∠EHFAC=EF
∴△ACK≌△EFH(AAS)，
∴FH=CK=1，HE=AK=23，
∵抛物线对称轴为x=−1，
∴F点的横坐标为0或−2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点横坐标为0时，则F(0,233)，此时点E在直线AB下方，
∴E到x轴的距离为EH−OF=23−233=433，即E点纵坐标为−433，
∴E(−1,−433)；
当F点的横坐标为−2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵C(−3,0)，且A(−2,23)，
∴线段AC的中点坐标为(−2.5,3)，
设E(−1,t)，F(x,y)，
则x−1=2×(−2.5)，y+t=23，
∴x=−4，y=23−t，
代入直线AB解析式可得23−t=−233×(−4)+233，
解得t=−433，
∴E(−1,−433)，F(−4,1033)；
综上可知存在满足条件的点F，此时E(−1,−433)、F(0,233)或E(−1,−433)、F(−4,1033).
【解析】
【分析】
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中理解题目中梦想直线的定义是解题的关键，在(2)中确定出N点的位置是解题的关键，在(3)中确定出E、F的位置是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
(1)由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；
(2)当N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；当M点在y轴上即，M点在原点时，过N作NP⊥x轴于点P，由条件可求得∠NMP=60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的长，则可求得N点坐标；
(3)当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得FH=CK=1，HE=AK=23，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E(−1,t)，F(x,y)，由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．
【解答】
解：(1)∵抛物线y=−233x2−433x+23，
∴其梦想直线的解析式为y=−233x+233，
联立梦想直线与抛物线解析式可得y=−233x+233y=−233x2−433x+23,
解得x=−2y=23或x=1y=0，
∴A(−2,23)，B(1,0)，
故答案为：y=−233x+233；(−2,23)；(1,0)；
(2)见答案；
(3)见答案；
如图，顶点为M的抛物线y=a(x+1)2−4分别与x轴相交于点A，B(点A在点B的右侧)，与y轴相交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由;
(3)抛物线上是否存在点N(点N与点M不重合)，使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等?若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由．
【答案】 解：(1)∵抛物线y=a(x+1)2−4与y轴相交于点C(0,−3)．
∴−3=a−4，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=(x+1)2−4=x2+2x−3，
(2)△BCM是直角三角形
理由：由(1)有，抛物线解析式为y=(x+1)2−4，
∵顶点为M的抛物线y=a(x+1)2−4，
∴M(−1,−4)，
由(1)抛物线解析式为y=x2+2x−3，
令y=0，
∴x2+2x−3=0，
∴x1=−3，x2=1，
∴A(1,0)，B(−3,0)，
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+16=20，
∴BC2+CM2=BM2，
∴△BCM是直角三角形，
(3)存在，N(−1+222,32)或N(−1−222,32)或(−2,−3)，
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上，
如图，
由(2)有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，
∴BC=32，CM=2，
∴S△BCM=12BC×CM=12×32×2=3，
设N(m,n)，
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，
∴S△ABN=S△BCM=3，
∵A(1,0)，B(−3,0)，
∴AB=4，
∴S△ABN=12×AB×n=12×4×n=2n=3，
∴n=32，
∵N在抛物线解析式为y=x2+2x−3的图象上，
∴m2+2m−3=32，
∴m1=−1+222，m2=−1−222，
∴N(−1+222,32)或(−1−222,32).
②如图2，
②点N在x轴下方的抛物线上，
∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点M作MN//BC，交抛物线于点N，
∵B(−3,0)，C(0,−3)，
∴直线BC解析式为y=−x−3，
设MN的解析式为y=−x+b
∵抛物线解析式为y=(x+1)2−4①，
∴M(−1,−4)，
∴直线MN解析式为y=−x−5②，
联立①②得：x1=−1y1=−4(舍)，x2=−2y2=−3,
∴N(−2,−3)，
即：(−1+222,32)或(−1−222,32)或(−2,−3)．
【解析】本题是二次函数综合题，主要考查了求抛物线解析式，直角三角形的判断，图形面积的计算，解本题的关键是判断出△BCM是直角三角形，难点是要两个四边形面积相等，点N分在x轴上方的抛物线上和下方的抛物线上，用方程的思想解决问题是解决(3)的关键，也是初中阶段常用的方法．求解最后一问时，由于点的位置不确定，所以需要分类讨论．
(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；
(3)根据题意对N分类讨论，由已知四边形的面积相等转化出S△ABN=S△BCM，然后求出三角形BCM的面积，再建立关于点N的坐标的方程求解即可．
如图，直线AB//CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．
(1)若∠PEF=48∘，点Q恰好落在其中的一条平行线上，请直接写出∠EFP的度数;
(2)若∠PEF=75∘，∠CFQ=12∠PFC，求∠EFP的度数．
【答案】解：(1) ①如图 ①，当点Q落在AB上时，FP⊥AB，
所以∠EFP=90∘−∠PEF=42∘;
②如图 ②，当点Q落在CD上时，
因为将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处，
所以∠1=∠2.
因为AB//CD，所以∠QFE=180∘−∠PEF=132∘，
所以∠PFE=12∠QFE=66∘．
(2) ①如图 ③，当点Q在平行线AB、CD之间时，设∠PFQ=x，
由折叠可得∠EFP=x，因为∠CFQ=12∠PFC，
所以∠PFQ=∠CFQ=x．
因为AB//CD，所以∠AEF+∠CFE=180∘，
所以75∘+x+x+x=180∘，所以x=35∘，
所以∠EFP=35∘
②如图 ④，当点Q在CD的下方时，
设∠CFQ=y，由∠CFQ=12∠PFC得，∠PFC=2y，所以∠PFQ=3y．
由折叠得，∠PFE=∠PFQ=3y．
因为AB//CD，所以∠AEF+∠CFE=180∘，
所以2y+3y+75∘=180∘，所以y=21∘，∠EFP=3y=63∘，
综上所述，∠EFP的度数是35∘或63∘．
【解析】本题主要考查平行线的性质，折叠与对称，分类讨论的应用．
(1)可分两种情况： ①如图 ①，当点Q落在AB上时，FP⊥AB，利用直角三角形的性质可求解∠EFP的度数； ②如图 ②，当点Q落在CD上时，由折叠可知∠1=∠2，由平行线的性质可得∠QFE=180∘−∠PEF=132∘，进而可求解∠PFE的度数；
(2)可分两种情况： ①如图 ③，当点Q在平行线AB，CD之间时，设∠PFQ=x，则可求∠EFP=x，∠PFQ=∠CFQ=x，由平行线的性质可得∠AEF+∠CFE=180∘，进而可列关于x的方程，解方程即可求解； ②如图 ④，当点Q在CD的下方时，设∠CFQ=y，则可求∠PFC=2y，∠PFE=∠PFQ=3y由平行线的性质可得∠AEF+∠CFE=180∘，进而可列关于y的方程，解方程即可求解．
如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？
(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【答案】解：(1)设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12；
(2)设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB−BN=12−2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=12−2t，
解得t=4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．
(3)当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC=∠ANB∠B=∠CAC=AB,
∴△ACM≌△ABN(AAS)，
∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y−12，NB=36−2y，CM=NB，
y−12=36−2y，
解得：y=16.故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
【解析】本题主要考查动点问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，方程思想；
(1)设当点M、N运动x s时，M、N两点重合，用含x的式子表示出M、N的运动路程，根据点N的运动路程比点M的运动路程多12cm列方程求解；
(2)设当点M，N运动t s时， 可得到等边三角形△AMN，用含t的式子表示出AM，AN的长，易知∠A=60°，所以如果AM=AN，ΔAMN就是等边三角形；
(3)把△AMN是以MN为底边的等腰三角形作为已知条件，可证得△ACM≌△ABN，从而得到CM=BN，再设此时M，N运动时间为y s，用含y的式子表示出CM，NB的长，列方程求解．
如图1，AB // CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC=2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．

(1)直接写出∠AHE，∠FAH，∠HFA之间的关系：________________；
(2)若∠BEF=12∠BAK，求∠AHE的度数；
(3)如图2，在(2)的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．
【答案】解：(1)∠AHE=∠AFH+∠FAH
(2)设∠BEF=x
∵∠BEF=12∠BAK，∠BEC=2∠BEF
∴∠BAK=∠BEC=2x
∵AK平分∠BAG
∴∠BAK=∠KAG=2x
由(1)的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，
∵AB//CD，则∠AFH=∠CEF，
∴∠AHE=∠AFH+∠FAH=∠CEF+∠FAH=2x+3x=5x
∵AG⊥BE
∴∠G=90°
∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°
∴x=15°
∴∠AHE=5x=75°；
(3)由(2)可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°
①当KH//NG时
5°×t=60°−30°=30°
∴t=6
②当KE//GN时
5°×t=60°
∴t=12
③当HE//GN时
5°×t=45°+60°=105°
∴t=21
④当HK//EG时，
5°×t=180°−30°−30°=120°
∴t=24
⑤当HK//EN时，5t=150°
∴t=30
综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键．
(1)根据三角形的外角性质可得答案；
(2)设∠BEF=x，用x分别表示出∠BAK、∠BEC、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由AG⊥BE，得关于x的方程，解得x的值，则问题可解；
(3)由(2)可得，∠KHE=105°，再分5种情况列方程求解即可：①当KH//NG时；②当KE//GN时；③当HE//GN时；④当HK//EG时;⑤当HK//EN；
【解答】解：(1)根据三角形的外角性质得∠AHE=∠AFH+∠FAH，
故答案为∠AHE=∠AFH+∠FAH；
(2)见答案；
(3)见答案．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，与y轴交于点C，且OC=OB．
(1)求点C的坐标和此抛物线的解析式；
(2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；
(3)点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，
∴OB=3，
∵OC=OB，
∴OC=3，
∴c=3，
∴a+b+3=09a−3b+3=0
解得：a=−1b=−2,
∴所求抛物线解析式为：y=−x2−2x+3，C(0,3)；
(2)如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E(a,−a2−2a+3)(−3