第2章《对称图形—圆》题型突破-2024-2025学年九年级上册数学单元综合突破训练（苏科版）

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2024-2025学年九年级上册数学单元综合突破训练第2章《对称图形—圆》题型突破题型一圆基础概念的辨析【例1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．等腰三角形【例2】下列说法中，不正确的是（    ）A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称【例3】如图，AB是⊙O的直径，C为圆外一点，则下列说法正确的是（    ）A．∠BOC是圆心角B．AC是⊙O的弦C．∠C是圆周角D．巩固训练1．下列语句中，正确的是（    ）A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B．三点确定一个圆C．三角形的外心到三角形的三边距离相等D．长度相等的两条弧是等弧2．下列说法中，正确的个数是（    ）①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧。A．4 B．3 C．2 D．13．下列图形对称轴条数最多的是（    ）A．圆 B．长方形 C．等腰三角形 D．线段题型二判断点与圆之间的位置关系【例4】已知⊙O的半径为4，若PO=3，则点P与⊙O的位置关系是（　　）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断【例5】矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（    ）  A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内【例6】在坐标系中，以为圆心，5为半径的与点的位置关系是：点在⊙O（填“内”、“上”或“外”）．巩固训练4．如图，在的正方形网格中（小正方形的边长为），有个点，，，，，，以为圆心，为半径作圆，则在⊙O外的点是（　　）A． B． C． D．5．已知⊙O的半径为3，，则点A在（       ）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定6．已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在．题型三根据点与圆的位置关系求半径【例7】已知点到上各点的最大距离为，最小距离为，则的半径为．【例8】已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为．【例9】如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为3，与相交，且点B在外，那么的半径长r可能是（    ）A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝7【例10】如图，在网格中（每个小正方形的边长均为个单位长度）选取个格点（格线的交点称为格点）．如果以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有个在圆内，则的取值范围为（　　）A． B．C． D．巩固训练7．如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（　　）  A．3 B．4 C．5 D．68．在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（    ）A．3 B．4或6 C．2或3 D．69．已知点到上所有点的距离中，最大距离为厘米，最小距离为厘米，那么的半径长等于厘米．题型四利用垂径定理求值【例11】如图，是的直径，弦于点E，若，，则线段的长为（    ）．  A．4 B．6 C．8 D．9【例12】已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（　　）A． B． C． D．【例13】如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（       ）A．5 B．6 C．8 D．10【例14】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．  （1）求的长；（2）若大圆半径为，求小圆的半径．巩固训练10．如图，的半径为5，，是弦上的一个动点（不与点，重合），则的最小值是（    ）A．2 B．3 C．4 D．511．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（    ）    A． B． C． D．12．如图，在中，是的弦，于点，求半径的长．  13．如图，的直径，是的弦，，垂足为，，求的长．  题型五平行弦问题【例15】如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．（1）若，，求的长；（2）若，且，求弦的长；【例16】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为．【例17】设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为．巩固训练14．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是cm．15．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB =5，EF =4，那么AD =．16．已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为cm．题型六弧弦圆心角的关系【例18】如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于．【例19】下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【例20】如图半径将一个圆分成三个大小相同扇形，其中是的角平分线，，则等于（　　）A． B． C． D．【例21】下列说法正确的是（    ）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等巩固训练17．如图，是的直径，，，则的度数是．-18．已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（    ）A． B． C．或 D．或19．如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接，及顺次连接O，B，C，D得到四边形，若，，则的度数为（　　）  A． B． C． D．20．下列命题中正确的是（    ）A．圆心角相等，所对的弦相等 B．长度相等的弧是等弧C．弧是半圆 D．弦的垂直平分线必经过圆心题型七确定圆的条件【例22】下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例23】下列说法，错误的是（    ）A．直径是弦 B．等弧所对的圆心角相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．过三点可以确定一个圆【例24】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ）A．① B．② C．③ D．都不能【例25】中，、、，则外接圆圆心坐标为．巩固训练21．下列说法中，真命题的个数是（    ）①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；A．1 B．2 C．3 D．422．下列命题正确的是（    ）A．任意三点可以确定一个圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．相等的圆心角所对的弧相等23．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（    ）A． B． C． D．题型八圆周角定理【例26】如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若，则的度数为（　　）  A．37° B．74° C．24° D．33°【例27】如图，四边形的外接圆为，，，，则的度数为（    ）  A． B． C． D．【例28】如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（    ）  A． B． C． D．巩固训练24．如图，内接于，是的直径，，点是劣弧上一点，连接、，则的度数是（    ）  A． B． C． D．25．如图，中，，，则的度数为（    ）  A． B． C． D．26．如图，四边形是的内接四边形，若，则．27．如图，内接于，连接并延长交于点，若，，则度．  题型九判断直线与圆的位置关系【例29】．在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（        ）A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相切C．与x轴相离，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离【例30】如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（    ）  A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能【例31】中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（　　）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定巩固训练28．若的直径为1，圆心O到直线l的距离是方程根，则与直线l的位置关系是（　　）A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交29．在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与x轴所在直线的位置关系是．30．已知的直径为，如果圆心O到直线l的距离为，那么直线l与有个公共点．题型十切线的性质与判定【例32】．如图，在中，D是边上的一点，以为直径的交于点E，连接．若与相切，，则的度数为．  【例33】如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F．  （1）求证：与相切；（2）若的半径为3，，求的长．【例34】如图，为的直径，是的切线，，为的中点，在上，，连接，．  （1）求证：为的切线；（2）若，，求的半径．巩固训练31．如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点．    （1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．32．如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．  （1）求证：是的切线．（2）若，，求的半径．33．如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．  （1）求证：是的切线；（2）求证：．题型十一正多边形与圆【例35】．半径为的圆内接正六角形的边长是（　　）A． B． C． D．【例36】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ）A．4 B．6 C．8 D．10【例37】如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为．  巩固训练34．若正六边形的边长为，则其外接圆的半径为．35．如图，延长正五边形各边，使得，若，则的度数为．36．若一正方形的外接圆的半径是3，则这个正方形的边长是．37．如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为．  题型十二弧长与扇形面积【例38】如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为．（结果保留）  【例39】如图是一副制作弯形管道的示意图，工人师傅需要先按中心线计算“展直长度”再施工，半径，，则这段管道的长为．【例40】孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为．（结果保留π）  巩固训练38．年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为米，圆心角都为，则这“”型圆弧堤坝的长为米．（结果保留）39．如图所示，将三角尺的一个顶点与量角器的中心O重合，斜边与半圆交于点A，顶点B在量角器的半圆上，已知，则扇形的面积与弧的比．    40．如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（    ）  A． B． C． D．41．如图，分别以的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在内的三段弧长度之和为（　　）A．3π B．2π C．π D．题型十三圆锥的侧面积【例41】用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（　　）  A． B． C． D．【例42】如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于（    ）．A． B． C． D．【例43】如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为．  【例44】若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是．巩固训练42．已知圆锥的底面圆的半径为，侧面积为，则这个圆锥的高为．43．已知圆锥的底面半径为5，母线长为10，则此圆锥侧面展开图的面积是．44．某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为cm．45．若圆锥的底面直径为6cm，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为．46．已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是．47．已知圆锥底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则母线长为cm。参考答案题型一圆基础概念的辨析【例1】C【分析】根据轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形：如果一个图形沿某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解。【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；D、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选C．【例2】C【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．【详解】A、直径是最长的弦，说法正确，故A选项不符合题意；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，故B选项不符合题意；C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误，故C选项符合题意；D、圆既是轴对称图形又是中心对称，说法正确，故D选项不符合题意；故选：C【例3】．A【分析】根据圆心角、圆周角、弦的概念以及三角形的三边关系判断即可．【详解】A、顶点在圆心的角叫圆心角，故∠BOC是圆心角，故A选项符合题意；B、弦是连接圆上任意两点的线段，故AC不是⊙O的弦，故B选项不符合题意；C、顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角，故∠C不是圆周角，故C选项不符合题意；D、根据三角形的三边关系可得，故D选项不符合题意；故选：A巩固训练1．A【分析】根据圆心角定理、确定圆的条件，内心和外心的概念、等弧的概念判断即可．【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项说法正确，符合题意；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；C、三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；D、能够互相重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；故选：A2．D【分析】根据半圆和弦的定义进行判断即可．【详解】半圆是弧，故①错误，②正确；弧不一定是半圆，故③错误；圆上任意两点间的线段叫做弦，故④错误．∴正确的有1个．故选D．3．A【分析】先根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后比较即可选出对称轴条数最多的图形．【详解】解：A、圆有无数条对称轴；B、长方形有2条对称轴；C、等腰三角形有1条对称轴；D、线段有2条对称轴；故选：A．题型二判断点与圆之间的位置关系【例4】A【分析】根据点与圆的位置关系，对的半径与的长度进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵的半径为4，，又∵，∴点P与的位置关系是点P在内部，故选：A．【例5】．C【分析】由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断．【详解】解：如图，   四边形为矩形，，，，，，在中，，，，在中，，，，，点在圆内，点在圆外．故选：．【例6】外【分析】勾股定理求得的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：的半径为，点到圆心的距离为，，即，即点A到圆心的距离大于圆的半径，点A在外．故答案为：外．巩固训练4．C【分析】根据格点的特点，勾股定理，分别计算出的值，与圆的半径进行比较，即可求解．【详解】解：在的正方形网格中小正方形的边长为，∴，，，，∵的半径为，，，，∴在外的点是，故选：．5．C【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，（d即点到圆心的距离，即圆的半径）．【详解】解：∵，∴点A与的位置关系是点在圆外，故选：C．6．外【分析】由矩形的性质得，根据勾股定理得，可知点到圆心的距离大于的半径，则点在外，于是得到问题的答案．【详解】解：四边形是矩形，，，，，的半径为，且，点到圆心的距离大于的半径，点在外，故答案为：外．题型三根据点与圆的位置关系求半径【例7】或/或【分析】分类讨论，当点在圆外时，根据圆外一点到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径，当点在圆内时，根据圆内一点到圆上各点的最大距离加上最小距离等于圆的直径即可求解．【详解】解：当点在圆外时，∵外一点到上各点的最大距离为，最小距离为，∴的直径为，∴的半径为，当点在圆内时，∵内一点到上各点的最大距离为，最小距离为，∴的直径为，∴的半径为，故答案为：或．【例8】12【分析】根据题意知的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】解：∵是内一点，∴的直径为最小距离与最大距离的和，∵最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，∴的直径为，故答案为：12．【例9】B【分析】连接交于，根据勾股定理求出，求出和，再根据相交两圆的性质和点与圆的位置关系得出r的范围即可得答案．【详解】解：如图，连接交于，则，在，由勾股定理得：＝＝＝5，∴，∵，，∴，∵使与相交，且点B在外，∴的半径长r的取值范围为：2＜r＜4，∴只有选项B符合题意，故选：B．【例10】如图，在网格中（每个小正方形的边长均为个单位长度）选取个格点（格线的交点称为格点）．如果以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有个在圆内，则的取值范围为（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据格点，分别求出的长度，分别进行比较，由此即可求解．【详解】解：如图所示，∵每个小正方形的边长均为个单位长度，∴，，，，，，，，∴，以为圆心，分别以为半径画圆，如图所示，∴除点外恰好有个在圆内，∴当时，内的点由点，不符合题意；当时，内的点由点，符合题意；当时，内的点由点，不符合题意；当时，内的点由点，不符合题意；故选：．巩固训练7．如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（　　）  A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由勾股定理求出的长度，再由点C在内且点B在外求解．【详解】解：在中，由勾股定理得，∵点C在内且点B在外，∴，故选：B．8．在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（    ）A．3 B．4或6 C．2或3 D．6【答案】C【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离-最小距离．【详解】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，点到圆上的最小距离，最大距离，直径,半径②当点在圆外时，如图2，点到圆上的最小距离，最大距离，直径,半径故选：C9．已知点到上所有点的距离中，最大距离为厘米，最小距离为厘米，那么的半径长等于厘米．【答案】2或5【分析】点应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案．【详解】解：如图：  当点在圆内时，最大距离为7厘米，最小距离为厘米，则直径是10厘米，因而半径是5厘米；当点在圆外时，最大距离为7厘米，最小距离为厘米，则直径是4厘米，因而半径是2厘米．故答案为:5或2．题型四利用垂径定理求值【例11】如图，是的直径，弦于点E，若，，则线段的长为（    ）．  A．4 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理，，计算即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理，得．故选：B．【例12】已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，过点O作于点C，根据垂径定理可得，即可求得，再利用勾股定理求得的值，再利用勾股定理即可求得的值．【详解】如图，过点O作于点C，连接，则，  ，，，，，在中，根据勾股定理得：，在中，根据勾股定理得：,故选：C．【例13】如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（       ）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】连接，由垂径定理可得，由勾股定理计算即可获得答案．【详解】解：如图，连接，∵线段是的直径，于点E，，∴，∴在中，可有，∴半径是10．故选：D．【例14】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．  （1）求的长；（2）若大圆半径为，求小圆的半径．【答案】（1）（2）【分析】（1）作，垂足为E，根据垂径定理得到，，即可得到的长；（2）连接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到即可．【详解】（1）解：作，垂足为E，  由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点，∴，，∴；（2）连接，∵在中，，∴．在中，∵，∴．即小圆的半径为．巩固训练10．如图，的半径为5，，是弦上的一个动点（不与点，重合），则的最小值是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据垂线段最短，得到当时,最小由垂径定理和勾股定理求出答案．【详解】解：连接，是弦上的一个动点当时,最小，，由垂径定理得是的中点，在中，，，由勾股定理.故选：C．11．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（    ）    A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点D，交于点C，    ∵，∴，∵的直径为，∴，在Rt△OBD中，，∴．故选：C．12．如图，在中，是的弦，于点，求半径的长．  【答案】【分析】根据是的弦，运用垂径定理算出，再根据勾股定理即可解答；【详解】解：∵是的弦，∴在中13．如图，的直径，是的弦，，垂足为，，求的长．  【答案】【分析】由于的直径，则的半径为，又已知，则可以求出，，连接，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度．【详解】解：如图所示，连接．的直径，则的半径为，即，又，∴，，垂足为，，在中，，．  题型五平行弦问题【例15】如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．（1）若，，求的长；（2）若，且，求弦的长；【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长；（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．【详解】解：（1）连接AO和DO，∵，且EF过圆心，∴，∵，∴，∵，∴，同理，，∴；（2）如图，连接BO和DO，∵，∴，∴，设，则，在中，，，解得，（舍去），∴，∴．【例16】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为．【答案】或/7或1【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解．【详解】解：如图，，，过点作于，交于点，连，∴，∵，，∴，∴，在中，，同理可得，当圆心在与之间时，与的距离；当圆心不在与之间时，与的距离．故答案为7或1．【例17】设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为．【答案】17或7/7或17【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，∵ABCD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5，在Rt△CEO中，OE==12；同理，OF==5，故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；故答案为：17或7．巩固训练14．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是cm．【答案】或【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可；【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作在中∵，∴∴∵∴∴∵∴∴∴∵AB//CD∴AB与CD之间的距离即GH∴AB与CD之间的距离为②如图，作，连接AD则有四边形PEFD是矩形，∴EF=PD∵∴∵∴∵∴∴∵∴∴故答案为：或15．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB =5，EF =4，那么AD =．【答案】【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，则EH=FH=EF=2，∵GB=5，∴OF=OB=，在△OHF中，勾股定理，得OH=，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形OADH也是矩形，∴AD=OH=，故答案为：．16．已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为cm．【答案】7或17/17或7【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离．【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC∵∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙的直径为26∴OA=OC=13∴，∴EF=OF-OE=7②当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC∵∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙的直径为26∴OA=OC=13∴，∴EF=OF+OE=17故答案为：7或17．题型六弧弦圆心角的关系【例18】如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于．【答案】/80度【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据圆心角、弧的关系即可求出答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∵B是的中点，∴，∴，故答案为：．【例19】下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据不共线的三点共圆可判断③；根据轴对称图形的定义判断④．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；②平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，正确的只有1个，故选：B．【例20】如图半径将一个圆分成三个大小相同扇形，其中是的角平分线，，则等于（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据已知易得，从而可得，然后根据已知可求出，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答．【详解】解：∵半径将一个圆分成三个大小相同扇形，∴，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，故选：A．【例21】下列说法正确的是（    ）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等【答案】B【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可．【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；故选：B．巩固训练17．如图，是的直径，，，则的度数是．-【答案】/34度【分析】先由平角的定义求出的度数，由，根据相等的弧所对的圆心角相等可得，即可求解．【详解】∵，∴，∵，∴，故答案为：．18．已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦AB把圆周分成两部分，∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆心角的度数为，优弧的度数为：，即：优弧所对的圆心角的度数为，∴弦AB所对圆心角的度数为或；故选C．19．如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接，及顺次连接O，B，C，D得到四边形，若，，则的度数为（　　）  A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，证明是等边三角形，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：连接，  ∵，，∴，∴为等边三角形，∴，∴，故选：C．20．下列命题中正确的是（    ）A．圆心角相等，所对的弦相等 B．长度相等的弧是等弧C．弧是半圆 D．弦的垂直平分线必经过圆心【答案】D【分析】根据圆的相关定义，垂径定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故该选项不正确，不符合题意；    B. 同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意；C. 弧是圆的一部分，半圆是圆的一半，故该选项不正确，不符合题意；    D. 弦的垂直平分线必经过圆心，故该选项正确，符合题意；故选：D．题型七确定圆的条件【例22】下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，弦与圆心角的关系，三角形的外心的定义，逐项分析判断即可求解．【详解】解：①同一平面内，不共线三点确定一个圆，故①错误，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②正确，符合题意；③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③错误；④三角形的外心到三个顶点的距离相等，故④正确，符合题意，故选：B．【例23】下列说法，错误的是（    ）A．直径是弦 B．等弧所对的圆心角相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．过三点可以确定一个圆【答案】D【分析】根据直径定义，圆心角、弧间的关系，垂径定理，确定圆的条件进行判断即可．【详解】解：A．直径是最长的弦，故A正确，不符合题意；B．等弧所对的圆心角相等，故B正确，不符合题意；C．弦的垂直平分线一定经过圆心，故C正确，不符合题意；D．过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误，故D错误，符合题意．故选：D．【例24】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ）A．① B．② C．③ D．都不能【答案】B【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．【例25】中，、、，则外接圆圆心坐标为．【答案】【分析】先画出图形，证明，可得的外心是斜边的中点，从而可得答案．【详解】解：如图，∵、、，∴，  ∴的外心是斜边的中点，∴外接圆的圆心坐标为：，即；故答案为：巩固训练21．下列说法中，真命题的个数是（    ）①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆．【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；综上，真命题的个数为2个；故选B．22．下列命题正确的是（    ）A．任意三点可以确定一个圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．相等的圆心角所对的弧相等【答案】B【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心进行判断即可得到正确结论．【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，故错误，不合题意；B、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故正确，符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误，不合题意；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不合题意；故选：B．23．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可．【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示：在的垂直平分线上找到一点，则满足：，点是过、、三点的圆的圆心，即的坐标为，故选：C．题型八圆周角定理【例26】如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若，则的度数为（　　）  A．37° B．74° C．24° D．33°【答案】A【分析】由圆周角定理，得，计算求解．【详解】解：∵，，∴，故选：A．【例27】如图，四边形的外接圆为，，，，则的度数为（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到，，然后根据三角形内角和计算的度数．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故选：A．【例28】如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．【详解】解：∵，∴，∵是的直径，∴，∴，故选：A．巩固训练24．如图，内接于，是的直径，，点是劣弧上一点，连接、，则的度数是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据圆周角定理，由，则利用互余可计算出，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数．【详解】解：∵是的直径，∴，∴，∵，∴．故选：C．25．如图，中，，，则的度数为（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，利用垂径定理，圆周角定理计算即可．【详解】连接，∵，，  ∴，，∴，故选A．26．如图，四边形是的内接四边形，若，则．【答案】/72度【分析】先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，∴，∴．故答案为：．27．如图，内接于，连接并延长交于点，若，，则度．  【答案】【分析】延长交于，连接，根据同弧所对的圆周角相等可得：，再根据直径所对的圆周角是直角可得：，从而求出，最后利用三角形外角的性质即可求出【详解】解：延长交于，连接，如下图所示，  ，是直径，，，．故答案为：68．题型九判断直线与圆的位置关系【例29】．在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（        ）A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相切C．与x轴相离，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离【答案】B【分析】由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．【详解】解：点到x轴的距离为4，大于半径3，点到y轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x轴相离，与y轴相切，故选：B．【例30】如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（    ）  A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能【答案】C【分析】过点P作于点C，根据直角三角形的性质，可得，再由直线与圆的位置，即可求解．【详解】解：如图，过点P作于点C，  ∵，，∴，∵以点为圆心的圆的半径为3，∴以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是相切．故选：C【例31】中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（　　）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离，根据直角三角形的面积公式即可求得；再进一步根据这些和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．【详解】解：根据勾股定理求得．，，，，上的高为：，即圆心到直线的距离是2.4．，直线和圆相交．故选：C．巩固训练28．若的直径为1，圆心O到直线l的距离是方程根，则与直线l的位置关系是（　　）A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交【答案】B【分析】首先求出方程的根，再利用半径长度，由点到直线的距离为，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案．【详解】解：，，解得：，点到直线距离是方程的一个根，即为1，点到直线的距离，，，直线与圆相离．故选：B．29．在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与x轴所在直线的位置关系是．【答案】相切【分析】求出圆心到x轴的距离，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系得出答案．【详解】解：如图，作轴与点A，作轴与点B，∵点，∴，∵的半径为4，∴与x轴相切，故答案为：相切．  30．已知的直径为，如果圆心O到直线l的距离为，那么直线l与有个公共点．【答案】2【分析】欲求圆与直线的交点个数，即确定直线与圆的位置关系，关键是把圆心距与半径进行比较．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．（d为圆心距，r为圆的半径）【详解】解：已知圆的直径为，则半径为，又圆心距为，小于半径，所以，直线与圆相交，有两个交点．故答案为：2．题型十切线的性质与判定【例32】．如图，在中，D是边上的一点，以为直径的交于点E，连接．若与相切，，则的度数为．  【答案】/60度【分析】根据是直径，可得，再根据与相切，可得，再根据直角的定义及角度等量替换关系即可得到．【详解】解：∵是直径，∴，∴∵与相切，∴，∴，∵，∴．故答案为：．【例33】如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F．  （1）求证：与相切；（2）若的半径为3，，求的长．【答案】（1）见解析（2）6【分析】（1）连接、，则，所以，由，得，所以，即可证明与相切；（2）由切线的性质得，，，得，则，即可根据勾股定理列方程，求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接、，  则，，，，，，经过的半径的外端，且，与相切．（2）解：由（1）知与相切，∴∵，，，，∵∴，∵，，，，的长为6．【例34】如图，为的直径，是的切线，，为的中点，在上，，连接，．  （1）求证：为的切线；（2）若，，求的半径．【答案】（1）详见解析（2）4【分析】（1）连接，作于，作于，由三角形中位线定理推出，而，得到，即可证明，得到，由四边形是矩形，，得到，即可证明为的切线；（2）由，，得到，而，得到，而，由勾股定理求出，即可得到的半径是4．【详解】（1）证明：连接，作于，作于，  是中点，是中点，是的中位线，，，，，，，，，切圆于，半径，，，四边形是矩形，，，，为的切线；（2）解：，，，由（1）知，，，，，的半径是4．巩固训练31．如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点．    （1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，再根据垂径定理得到，则垂直平分，所以，利用全等三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法可判断是的切线；（2）先证明为等边三角形得到，再计算出，然后在中根据直角三角形性质和勾股定理即可求出．【详解】（1）解：连接，    ，经过圆心，，，在和中，，（），是半的切线，．，即是的切线．（2）解：为直径，，，，是等边三角形，，，，由（1）知，∴，∴．32．如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．  （1）求证：是的切线．（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）的半径为10．【分析】（1）连接，连接，通过证明即可进行求证；（2）连接，则，根据勾股定理求出，设的半径为，根据，列出方程求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，连接，  在和中，，∴，∴，∵，∴，∵是半径，∴是的切线；（2）解：如图，连接，  ∵，，∴，，∴，设的半径为，则，，∵，∴，解得：，∴的半径为10．33．如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．  （1）求证：是的切线；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形的性质证出，则可得出结论；（2）由直角三角形的性质证得，由等腰三角形的判定可得出结论.【详解】（1）证明：连接，如图，  ，，，又，．又，，，即，，又点在上，是的切线；（2）证明：，，又，，又，，，．题型十一正多边形与圆【例35】．半径为的圆内接正六角形的边长是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正六边形的性质可知，再根据等边三角形的判定与性质可知进而即可解答．【详解】解：如图，连接，  ∵正六边形内接于圆，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，故选B．【例36】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．【详解】解：这个多边形的边数是，故选：C．【例37】如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为．  【答案】【分析】先在图上作出边心距对应的线段，连接，在直角中，，求出的长即可．【详解】解：是的内接正三角形；，过作于，连接，则长为边心距，如下图，  在直角中，，，，，，故答案为．巩固训练34．若正六边形的边长为，则其外接圆的半径为．【答案】【分析】根据题意可知正六边形每个内角的度数，每条边所对外接圆的圆心角的度数，图形结合，判定正六边形中为直径，再根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：正六边形的每个内角的度数为，其每条边所对外接圆的圆心角的度数为，如图所示，正六边形，，外接圆为，连接，，，∴，，，∵，∴，∴，则，∵，，∴，∴，∴，∴线段是的直径，∴是外接圆的半径，∵，∴是等边三角形，∴，∴外接圆的半径为，故答案为：．35．如图，延长正五边形各边，使得，若，则的度数为．【答案】/36度【分析】根据正五边形的性质以及全等三角形的判定和性质，可求出正五边形的每个内角度数，再根据等腰三角形的性质得出是等腰三角形，并求出各个内角度数，由全等三角形的性质可求出答案．【详解】解：∵五边形是正五边形，∴，，又∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，同理可得，即五边形是正五边形，在中，，，∴，故答案为：．36．若一正方形的外接圆的半径是3，则这个正方形的边长是．【答案】【分析】由正四边形的中心角为，根据勾股定理可求得正方形的边长．【详解】解：如图，  正方形的半径是3，，，，故答案为：．37．如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为．  【答案】15【分析】连接，，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．【详解】解：如图，连接，，∴，∴这个正多边形的边数为，故答案为：15．  题型十二弧长与扇形面积【例38】如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为．（结果保留）  【答案】【分析】利用弧长公式直接计算即可．【详解】∵半径，圆心角，∴，故答案为：．【例39】如图是一副制作弯形管道的示意图，工人师傅需要先按中心线计算“展直长度”再施工，半径，，则这段管道的长为．【答案】【分析】利用弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入计算即可．【详解】由题意得，半径，，则l=．故答案为：．【例40】孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为．（结果保留π）  【答案】/平方厘米【分析】根据圆周角定理由得为的直径，即，根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．【详解】∵，∴为的直径，即，∴，∴（平方厘米），∴故答案为：．  巩固训练38．年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为米，圆心角都为，则这“”型圆弧堤坝的长为米．（结果保留）【答案】【分析】根据弧长公式进行计算即可求解．【详解】解：根据题意可知这“S”型圆弧堤坝的长为：，故答案为：．39．如图所示，将三角尺的一个顶点与量角器的中心O重合，斜边与半圆交于点A，顶点B在量角器的半圆上，已知，则扇形的面积与弧的比．    【答案】【分析】分别根据扇形面积公式和弧长公式求出扇形的面积与弧的长即可得到答案．【详解】解：由题意得：，∴，弧的长为，∴扇形的面积与弧的比为，故答案为：．40．如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】种草区域的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，利用利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解∶∵，，，∴种草区域的面积为，故选：B．41．如图，分别以的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在内的三段弧长度之和为（　　）A．3π B．2π C．π D．【答案】C【分析】由图示可得在内的三段弧长度之和为一个半圆的弧长．【详解】解：根据图示可得：在内的三段弧长度之和为：，故选：C．题型十三圆锥的侧面积【例41】用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（　　）  A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，得到，即可求出底面半径，设纸帽的高为，利用勾股定理求出纸帽的高即可．【详解】解：由题意可知，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，又扇形的圆心角为，半径为，设底面半径为，，解得：，设纸帽的高为，则，解得：或（舍去），故选：．【例42】如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆锥的侧面积（为圆锥体底面圆的半径，为圆锥的母线长）进行计算即可得出结果．【详解】解：这个冰淇淋外壳的侧面积为：．故选：B【例43】如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为．  【答案】【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，可得圆锥的侧面积公式，再根据题干数据进行计算即可．【详解】解：由题意可得：旋转后的几何体是两个共底面的圆锥，∵边上的高，∴底面圆的周长为：，∵，，∴几何体的表面积为．故答案为：．【例44】若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是．【答案】4【分析】根据圆锥的侧面积，列出方程求解即可．【详解】解：∵圆锥的侧面积为，底面半径为3，．解得：，故答案为：4．巩固训练42．已知圆锥的底面圆的半径为，侧面积为，则这个圆锥的高为．【答案】【分析】由题意易得圆锥的母线长为，然后根据勾股定理可进行求解．【详解】解：由题意得：圆锥的母线长为，∴圆锥的高为；故答案为．43．已知圆锥的底面半径为5，母线长为10，则此圆锥侧面展开图的面积是．【答案】【分析】圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】解：圆锥的侧面展开图的面积是．故答案为：．44．某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为cm．【答案】2【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【详解】解：设此圆锥的底面半径为，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，，故答案为．45．若圆锥的底面直径为6cm，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为．【答案】【分析】根据圆锥底面圆的直径可得半径，从而可求出侧面展开图的弧长，根据进行计算即可得到答案．【详解】解：圆锥的底面直径为6cm，圆锥的底面半径为3cm，圆锥的底面圆周长为，侧面展开图的面积为，，，圆锥的母线长为，故答案为：．46．已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是．【答案】【分析】圆锥的侧面是一扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面圆的周长，据此解题．【详解】解：设圆心角为n，底面半径是2，母线长是6，则底面周长，解得：，故答案为：．47．已知圆锥底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则母线长为．【答案】8【分析】根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可得出结论．【详解】解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由题意，得：，解得：；即母线长为．故答案为：8。