2024届河南省商丘市部分学校高三下学期模拟考试（三）数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码、考场号、座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则在复平面内的对应点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算、几何意义可得答案.
【详解】，
故，所以在复平面内的对应点在第一象限.
故选：A．
2. 已知全集，集合，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式先求出集合，进而可得，再由，列不等式即可求出答案.
【详解】由，得，所以，则或，
由，得，所以，
又，所以，解得．
故选：D．
3. 已知为双曲线（，）的右焦点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，是面积为4的直角三角形，则的方程为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求出渐近线方程，再结合给定面积计算得解.
【详解】由为直角三角形，及双曲线的对称性知，且，
则渐近线方程为，即，由的面积为4，得，解得，
又，因此，
所以的方程为.
故选：B
4. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除CD，计算即可排除B.
【详解】因为，所以为偶函数，
故C，D项错误；
又，故B项错误．
故选：A．
5. 已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设an的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案.
【详解】设an的公差为，因为，，
可得 ，解得，所以，
可得，
所以当时，取得最小值.
故选：D.
6. 某雕刻师在切割玉料时，切割出一块如图所示的三棱锥型边料，测得在此三棱锥中，侧面底面，且，该雕刻师计划将其打磨成一颗球形玉珠，则磨成的球形玉珠的直径的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等体积法求得三棱锥内切球的直径，从而确定正确答案.
【详解】如图，设的中点为，连接，因为，
所以，所以，且，
又侧面底面且交线为，平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
又，所以，
因为，所以．
当球形玉珠为三棱锥的内切球时，球形玉珠的直径最大．
设三棱锥的表面积为，内切球的半径为，则，
又，
，故，
所以，
所以磨成的球形玉珠的直径的最大值为．
故选：C
7. 盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（ ）
A. 与相互独立B. 与相互独立
C. 与相互独立D. 与相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】根据相互独立事件的定义依次分析即可.
【详解】依题意得，，，故A项错误；
，，故B项错误；
，故C项错误；
，，故D项正确.
故选：D.
8. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数据结构特征可通过和比较c和b的大小，再通过构造函数，研究函数的单调性可求解判断a和c，进而得解.
【详解】设函数，又，
所以当时，0，
所以在区间0,+∞内单调递增，又，
所以当时，0恒成立，即，
所以当时， ，即，
所以，
所以．即；
设，
而，
设，则，
当时，单调递增，所以，
所以当时，，即当时单调递增，
所以，故当时，单调递增，所以，
即，所以，
即，即．
综上，，
故选：B．
【点睛】思路点睛：比较具有共性的复杂的数的大小，通常根据数据共性联系构造函数，通过研究函数单调性得函数的正负情况，从而比较得出数的大小关系.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2023年10月全国多地医院出现较多的支原体肺炎感染患者，患者多以儿童为主．某研究所在某小学随机抽取了46名儿童，得到他们是否接种流感疫苗和是否感染支原体肺炎的情况的相关数据，如下表所示，则（ ）
附：．
A.
B.
C. 认为是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，此推断犯错的概率不大于0.1
D. 没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联
【答案】AD
【解析】
【分析】根据表格信息得出相应数值，通过计算和独立性检验判断各个选项；
【详解】由表中数据易得，
对于A,．故A正确；
对于B,，故B错误；
对于C，D，依据的独立性检验，没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，故C错误，D正确．
故选：AD．
10. 已知函数是的导函数，则（ ）
A. “”是“为奇函数”的充要条件
B. “”是“为增函数”的充要条件
C. 若不等式的解集为且，则的极小值为
D. 若是方程的两个不同的根，且，则或
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确．
【详解】对于A中，当时，函数，则满足，
所以为奇函数，所以充分性成立；
若为奇函数，则，
则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确；
对于B中，当时， ，可得，所以为增函数；
由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；
对于C中，由，若不等式的解集为且，
则在上先增后减再增，则，解得，
故，可得，
令，解得或，
当内，，单调递增；
当内，，单调递减；
当内，，单调递增，
所以的极小值为，所以C正确．
对于D中，由，因为是方程的两个不同的根，
所以，即，且，
由，可得，所以，即，
联立方程组，可得，解得或，所以D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数，则（ ）
A. 若的图象向右平移个单位长度后与的图象重合，则的最小值为1
B. 若的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5
C. 若函数的最小正周期为，则
D. 当时，若的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则方程有无穷多个解
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，B，根据图象平移规则得到的取值，再由，即可得到的最值；对于C，根据函数的最小正周期求解即可；对于D，先求出的解析式，再对方程进行换元化简，讨论即可得到方程解的个数.
【详解】对于A项，因为，
所以，，即，，又，所以的最小值为8，故A项错误；
对于B项，因为，
所以，，即，，又，所以的最小值为，故B项正确.
对于C项，因为函数的最小正周期是的最小正周期的一半，所以的最小正周期为，所以，解得，故C项正确.
对于D项，当时，，所以，方程.
令，则，，当时，，即，所以（舍）或（舍）；
当时，，即，无解.
综上，无解，故D项错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，的系数为______．
【答案】240
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】，
二项式的通项公式为，
其中的展开式中不含的项，
含的项为，
所以的展开式中含的项为，故的系数为240．
故答案为：
13. 已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是，然后根据轴截面周长为16，可求出，从而可求出上下底面的面积和侧面积，进而可求出其表面积.
【详解】设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是，
故轴截面周长为，解得，
所以上、下底面圆的面积分别为，圆台侧面积，
所以圆台的表面积为
故答案为：
14. 椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件．椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处．从椭球面镜的焦点射出的两条光线，经椭球面镜上的两点反射后汇聚于焦点，若，且，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用焦半径三角形的性质，即椭圆的几何定义，结合已知的线段比，就可以得到三边关系，从而利用勾股定理得到直角三角形，再解三角形即可得离心率.
【详解】
设椭圆的长轴长为，焦距为，短轴长为，
则，
由椭圆的定义得，
所以，因为，所以，
又，所以为椭圆的短轴端点．
设为椭圆的中心，因为，
所以，又在Rt中，，
所以，所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某大型商场的所有饮料自动售卖机在一天中某种饮料的销售量（单位：瓶）与天气温度（单位：）有很强的相关关系，为能及时给饮料自动售卖机添加该种饮料，该商场对天气温度和饮料的销售量进行了数据收集，得到下面的表格：
经分析，可以用作为关于的经验回归方程．
（1）根据表中数据，求关于的经验回归方程(结果保留两位小数)；
（2）若饮料自动售卖机在一天中不需添加饮料的记1分，需添加饮料的记2分，每台饮料自动售卖机在一天中需添加饮料的概率均为，在商场的所有饮料自动售卖机中随机抽取3台，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望．
参考公式及数据：对于一组数据，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）设，转化为，利用最小二乘法，求得，求得，进而得到关于的经验回归方程；
（2）根据题意，得到变量的可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设，由，可得，
因为，，
，所以，
由表中的数据可得，
则，
所以，
则，可得，
所以关于的经验回归方程为.
【小问2详解】
解：由题意，随机变量可能取值为，
可得，，
，，
所以变量的分布列为
所以，期望为
16. 如图，在四棱锥中，，.

（1）证明：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）通过，证平面，即可证面面平行；
（2）通过建立空间直角坐标系，计算各点坐标，设得点坐标，并计算平面和平面的法向量，根据向量垂直确定，再根据向量的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
证明：因为，，
所以，，
所以，，
又，
所以四边形为菱形，
所以，，
又，平面，
，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）得平面，
因为平面，
所以，
故四边形为正方形.
不妨设正方形的边长为2，
的中点为，连接.
因为为等边三角形，
所以，
又平面，
又平面平面，
且平面平面，
所以平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，A1,0,0，，.
假设存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为，
且，，
由，得，
即，
解得，，，
所以，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则，
可取.
设平面的法向量为，
则，
可取，
则，
解得或（舍去），
所以在棱上存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为，
且.
17. 已知抛物线的准线与圆相切．
（1）求的方程；
（2）点是上的动点，且，过点作圆的两条切线分别与交于两点，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用准线与圆相切求出可得答案；
（2）设直线、的方程分别为、，可得，过点的圆的切线方程与圆相切可得，再由韦达定理，再利用换元法、基本不等式求最值可得答案．
【小问1详解】
因为准线与圆相切，
所以，即，
所以的方程为；
【小问2详解】
由（1）知准线的方程为，
因为，所以直线的斜率均存在，
设直线的方程为，
当时，，
设直线的方程为，
当时，，
由题意得
，
设过点Px0,y0的圆的切线方程为
则，化简得，
，
则，
所以．
，
又，所以，
令，
则，
因为，
所以，
当且仅当即等号成立，此时，
故面积的最小值为．
【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
18. 已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不同的根．
(i)求的取值范围；
(ii)证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）(i)参变分离可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可求出的取值范围；(ii) 不妨设，则，分、两种情况讨论，当时，，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再由基本不等式即可得证.
【小问1详解】
由题意得，，则，
由，解得．
显然，
若，则当时，单调递增，当时，单调递减；
若，则当时，单调递减，当时，单调递增．
综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减；
当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增．
小问2详解】
（i）由，得，
设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，当时，，且当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是．
（ii）不妨设，则，且．
解法一：
当时，，即；
当时，．
设
则
所以在区间内单调递增，
则，即，
所以
又在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得证．
解法二：
设，，
则，
所以在区间内单调递增，
又，
所以，即．
又，所以，
又在区间内单调递减．
所以，即，
又，所以，得证．
【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
19. 对于，，不是10的整数倍，且，则称为级十全十美数.已知数列满足：，，.
（1）若为等比数列，求；
（2）求在，，，…，中，3级十全十美数的个数.
【答案】（1）或
（2）.
【解析】
【分析】（1）设的公比为，根据题意，列出方程组，即可求得的值；
（2）由（1）知，得到，和，两式相减得，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，结合二项展开式的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：设的公比为，
则，即，
由，可得，解得或，
所以或.
【小问2详解】
解：由（1）知，当时，，
当时，，
两式相减得.
当为奇数时，的个位数为1或9，的个位数不可能为0；
当为偶数时，设，则，
要想末尾3个数字为0，需满足被整除，
当时，均不符合题意；
当时，，
自，以后各项均可被125整除，
故只需考虑能否被125整除，
其中不是5的倍数，
故若原式能被整除，需为偶数且能被整除，即需是50的倍数，
在1，2，3，…，2024中，50的倍数有40个：50，100，150，…，2000，
故在，，…，中，3级十全十美数的个数为40.
【点睛】方法点睛：与数列有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解；
4、若数列与向量有关问题时，应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式进行求解；
5、若数列与不等式有关问题时，一把采用放缩法进行判定证明，有时也可通过构造函数进行证明；
6、若数列与二项式有关的问题时，可结合二项展开式的性质，进行变换求解.感染情况
接种情况
感染支原体肺炎
未感染支原体肺炎
合计
接种流感疫苗
未接种流感疫苗
合计
46
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
10
15
20
25
30
35
40
4
16
64
256
2048
4096
8192
3
4
5
6
P