黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体2023-2024学年高三下学期第一次模拟数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是
A. B. C. D.
3. 一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C. 2D.
5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：，，，，，，，，，，这组数据上四分位数为
B. 若随机变量，且，则
C. 若随机变量，且，则
D. 对一组样本数据，，，进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上
10. 已知为函数的一个对称中心，则（ ）
A. B. 函数为奇函数
C. 曲线y=f(x)关于对称D. 函数y=f(x)在单调递增
11. 如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A. 三棱锥体积为定值
B. 存点，使得
C. 若，则点在正方形底面内运动轨迹长为
D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已如角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在终边上，则__________．
13. 已知，则 ______用数字作答)
14. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设，若数列的前项和为，且是与的等差中项；
（1）求数列的通项公式；
（2）若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和．
16. 某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从类道题中任选道进行答题，答完后正确数超过两道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题；第二轮答题从类道题中任选道进行答题，直到答完为止．类题每答对一道得10分，类题每答对一道得分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖，分为一等奖．某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响．
（1）求小张同学被终止比赛的概率；
（2）现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望；
（3）求小张同学获得三等奖的概率．
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，点在上，且．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由．
18. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求证：直线m与直线的斜率之积为定值；
（3）求的最小值．
19. 设，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，证明：；
（3）证明：.