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14.1勾股定理 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）
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这是一份14.1勾股定理 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析），共17页。
14.1勾股定理华东师大版初中数学八年级上册同步练习一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB，垂足为D，若AC=12，则CE的长度为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 82.如图，已知在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.有下列四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2(AD2+AB2).其中正确结论的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.在△ABC中，BC=a，AB=c，AC=b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是( )A. ∠A=∠B+∠C B. (a+b)(a−b)=c2 C. a∶b∶c=3∶4∶5 D. ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶54.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.若CD=1，则AB的长为( ) A. 2 B. 1+ 2 C. 2+ 2 D. 2 2+25.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边AC的中点，连接BD，则BD的长为( )A. 2 B. 52 C. 3 D. 5 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于点D，BE与CD相交于点F，则CF的长是 ( ) A. 1 B. 43 C. 53 D. 27.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( ) A. S△EDA=S△CEB B. S△EDA+S△CEB=S△CDE C. S四边形CDAE=S四边形CDEB D. S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD8.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18cm，宽为16cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其他两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为( )A. 50cm2 B. 50cm2或40cm2 C. 50cm2或40cm2或30cm2 D. 50cm2或30cm2或20cm29.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由8个全等的直角三角形拼接而成．若记正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，且S1+S2+S3=15，则S2的值是 ( ) A. 3 B. 154 C. 5 D. 15210.如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为( )A. 52 B. 3 C. 2 2 D. 103二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。11.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是 ．12.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ//AB，则正方形EFGH的边长为 ． 13.定义：若一个圆和一个三角形的三条边各有两个交点，且截得的三条弦长度相等，则我们把这个圆叫做“等弦圆”.现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．14.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AD//BC，M为BD的中点．若BC=3，AC=4，AD=6，则CM的长为 ． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分) 如图，在△MBC中，点D是BC的中点，MB=MC，连接MD，E为MC上一点，∠CBE=45°，BE交MD于点F，若MB=13，BC=10，求MF的长度．16.(本小题8分)阅读下列题目的解题过程：已知a，b，c为△ABC三边的长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．解：因为a2c2−b2c2=a4−b4①，所以c2(a2−b2)=(a2+b2)(a2−b2)②，所以c2=a2+b2③，所以△ABC是直角三角形．问：(1)上述解题过程，从第 (填序号)步开始出现错误；(2)错误的原因为 ；(3)本题正确的结论为 ．17.(本小题8分)已知方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中确定格点D，画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．(2)在图2中画出一个格点正方形，使其面积等于10．(3)直接写出图3中△FGH的面积是 ．18.(本小题8分)将△ABC(AB>AC)沿AD折叠，使点C刚好落在边AB上的点E处，展开如图． (1)【操作观察】如图①，AB=8，AC=6．①BE= ；②若S△ACD=9，则S△ABD= ；(2)【理解应用】如图②，若∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD；(3)【拓展延伸】如图③，∠BAC=60°，G为AC的中点，且AG=5，P是线段AD上的一个动点，连接PG，PC，求(PG+PC)2的最小值．19.(本小题8分)如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段(端点在格点上)，且线段的端点均不与点A、B、C、D重合． (1)在图①中画格点线段EF、GH各一条，使点E、F、G、H分别落在边AB、BC、CD、DA上，且EF=GH，EF不平行于GH；(2)在图②中画格点线段MN、PQ各一条，使点M、N、P、Q分别落在边AB、BC、CD、DA上，且PQ2=5MN2．20.(本小题8分)如图1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD． (1)求证：△AEC≌△BDC．(2)求证：AE2+AD2=2AC2．(3)如图2，过点C作CO⊥AB于点O并延长交DE于点F，请写出线段AE，AF，DF之间的数量关系，并给出证明． 答案和解析1.【答案】A 【解析】解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∵ED垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A， ∴∠ABE=∠CBE=∠A， 又∵∠C=90°， ∴∠ABE+∠CBE+∠A=90°， 解得∠CBE=30°， 设AE=BE=x，则CE=AC−AE=12−x， ∵在Rt△BCE中，∠C=90°，∠CBE=30°， ∴BE=2CE，即x=2(12−x)， 解得x=8，即AE=8， ∴CE=AC−AE=4． 故选：A． 先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得AE=BE，∠ABE=∠CBE=∠A，再根据三角形的内角和定理可得∠CBE=30°，设AE=BE=x，则CE=12−x，在Rt△BCE中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得． 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．2.【答案】C 【解析】略3.【答案】D 【解析】解：A、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B+∠C=90°，能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意； B、∵(a+b)(a−b)=c2，∴a2−b2=c2，即a2=c2+b2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，故不符合题意； C、由a：b：c=3：4：5可设a=3x，b=4x，c=5x，则有a2+b2=25x2=c2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，故不符合题意； D、由∠A：∠B：∠C=3：4：5可设∠A=3k，∠B=4k，∠C=5k，所以3k+4k+5k=180°，解得k=15°，则∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，所以不能判定△ABC是直角三角形，故符合题意； 故选：D． 根据三角形内角和及勾股定理可进行求解． 本题主要考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．4.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 由角平分线的性质可得到CD=DE，由等腰直角三角形可得BE=DE，在Rt△BDE中，由勾股定理可求得BD，可求得BC，则可求得AC；由AAS证明△ACD≌△AED，可得到AE=AC=1+ 2，可求得AB的长． 【解答】 解：∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠BAC， ∴CD=DE=1， ∵AC=BC， ∴∠B=45°， ∴∠EDB=∠B=45°， ∴BE=DE=1， 在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD= 12+12= 2， ∴BC=1+ 2， ∴AC=1+ 2． 在△ACD和△AED中 ∠C=∠AED∠CAD=∠EADAD=AD ∴△ACD≌△AED(AAS)， ∴AC=AE=1+ 2， ∴AB=AE+EB=1+ 2+1=2+ 2．5.【答案】B 【解析】解：∵AB2=22+12=5，BC2=42+22=20，AC2=42+32=25， ∴AB2+BC2=AC2， ∴∠ABC=90°， ∵BD是AC边上的中线， ∴BD=12AC=52， 故选：B． 根据勾股定理求出各边长度，根据勾股定理的逆定理判断出∠ABC=90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．6.【答案】B 【解析】 提示：过点E作EG⊥AB于点G.因为CD⊥AB于点D，所以EG//CD，所以∠GEB=∠EFC.因为∠ACB=90°，所以EC⊥BC.又因为BE平分∠ABC，EG⊥AB，所以EG=EC.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，所以AB=5.易证Rt△EBC≌Rt△EBG，所以∠CEB=∠GEB，BG=BC=4.所以∠CEB=∠EFC，AG=AB−BG=5−4=1，所以CF=EC.设CF=EG=EC=x，则AE=3−x.在Rt△AEG中，由勾股定理，得(3−x)2=x2+12，解得x=43.所以CF的长是43．7.【答案】D 【解析】略8.【答案】C 【解析】本题可分三种情况讨论：①如图①，△AEF中，AE=AF=10cm，S▵AEF=12⋅AE⋅AF=12×10×10=50(cm2)；②如图②，△AGH中，AG=GH=10cm，在Rt△BGH中，BG=AB−AG=16−10=6(cm)，根据勾股定理可得BH=8cm，∴S▵ACH=12AG⋅BH=12×10×8=40(cm2)；③如图③，△AMN中，AM=MN=10cm，在Rt△DMN中，DM=AD−AM=18−10=8(cm)，根据勾股定理可得DN=6cm，∴S▵AMN=12AM⋅DN=12×10×6=30(cm2).故选C．9.【答案】C 【解析】提示：因为8个直角三角形全等，四边形ABCD、四边形EFGH、四边形MNKT是正方形，所以CG=NG，CF=DG=NF=KG.所以S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG=GF2+2CG·DG．S2=GF2，S3=(NG−KG)2=(NG−NF)2=NG2+NF2−2NG·NF=GF2−2CG·DG.所以S1+S2+S3=GF2+2CG·DG+GF2+GF2−2CG·DG=3GF2=15，所以GF2=5，所以S2=5．10.【答案】A 【解析】解：在Rt△ABC中，BC=6，AC=8， ∴AB= BC2+AC2= 62+82=10， ∵BD=CB=6， ∴AD=AB−BC=4， 由作图可知EF垂直平分线段AD， ∴AF=DF=2， ∵∠A=∠A，∠AFE=∠ACB=90°， ∴△AFE∽△ACB， ∴AEAB=AFAC， ∴AE10=28， ∴AE=52， 故选：A． 利用勾股定理求出AB，再利用相似三角形的性质求出AE即可． 本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】42或32 【解析】【分析】 本题考查了勾股定理以及分类讨论，熟练掌握勾股定理的应用与分类讨论是解题关键.分△ABC为锐角三角形时和钝角三角形时解答即可． 【解答】 解：此题应分两种情况说明： (1)如图1，当△ABC为锐角三角形时， 在Rt△ABD中，BD2= AB2−AD2=152−122=81，BD=9 在Rt△ACD中，CD2=AC2−AD2= 132−122=25，CD=5， ∴BC=5+9=14， ∴△ABC的周长为15+13+14=42; (2)如图2，当△ABC为钝角三角形时， 同理，在Rt△ABD中，BD= 9， 在Rt△ACD中，CD=5， ∴BC=9−5=4． ∴△ABC的周长为15+13+4=32． 综上所述，△ABC的周长是42或32．12.【答案】10 【解析】【分析】 本题主要考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形EFGH的面积． 根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长． 【解答】 解：每个直角三角形的面积是 (14×14−2×2)÷8 =(196−4)÷8 =192÷8 =24， 正方形EFGH的面积是 24×4+2×2 =96+4 =100， 则正方形EFGH的边长为10． 答：正方形EFGH的边长为10． 故答案为：10．13.【答案】2− 2 【解析】如图，当⊙O经过直角顶点A时，⊙O最大，连接OA，过点O分别作OH⊥BC，OM⊥AC，ON⊥AB，垂足分别为H，M，N.由题意，得AD=AG=EF，所以由勾股定理，易证ON=OM=OH，即AO平分∠BAC.所以AO⊥BC，即A，O，H三点共线．因为△ABC是等腰直角三角形，所以AH=12BC，∠OAN=∠OAM=45°.又BC=2，所以AH=1.设⊙O的半径为r，则OA=r.又∠OAN+∠AON=90°，所以∠AON=45°，即∠AON=∠OAN.所以AN=ON.在Rt△AON中，由勾股定理，得OA2=ON2+AN2，所以r2=2ON2，即ON= 22r.所以OH= 22r.又AH=OA+OH，所以1=r+ 22r，解得r=2− 2.则这个圆的半径为2− 2．14.【答案】2.5 【解析】延长CM交AD于点E.因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°.因为AD//BC，所以∠CAD=∠ACB=90°，∠EDM=∠CBM，∠DEM=∠BCM.因为M为BD的中点，所以DM=BM.在△EDM和△CBM中，∠DEM=∠BCM,∠EDM=∠CBM,DM=BM,所以△EDM≌△CBM(AAS)，所以EM=CM，DE=BC=3.因为AD=6，所以AE=AD−DE=3.因为AC=4，所以CE= AE2+AC2=5.因为CE=EM+CM=2CM，所以2CM=5，所以CM=2.5．15.【答案】解：∵点D是BC的中点，MB=MC， ∴MD⊥BC， ∵BC=10， ∴BD=12BC=5， ∵MB=13， ∴MD= MB2−BD2=12， ∵∠CBE=45°， ∴∠DFB=45°， ∴DF=BD=5， ∴MF=MD−DF=7． 【解析】根据题意可得MD⊥BC，根据MD= MB2−BD2先求出MD，再结合∠CBE=45°推出DF=BD=5，即可求解． 本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．16.【答案】【小题1】③ 【小题2】没有考虑a2−b2=0【小题3】△ABC是直角三角形或等腰三角形． 【解析】1. 略 2. 略 3. 略17.【答案】【小题1】解：如图1所示(答案不唯一)．【小题2】如图2所示．【小题3】9 【解析】1. 略 2. 略 3. 略18.【答案】【小题1】212【小题2】由折叠的性质，得AE=AC，DE=CD，∠AED=∠C.因为∠C=2∠B，所以∠AED=2∠B.因为∠AED=∠B+∠BDE，所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，所以BE=CD，所以AB=AE+BE=AC+CD．【小题3】连接PE，EC，EG.由折叠的性质，得AE=AC，PE=PC，所以PG+PC=PG+PE≥EG，即PG+PC的最小值为EG的长．因为∠BAC=60°，所以△AEC是等边三角形．因为G为AC的中点，AG=5，所以AE=AC=2AG=10，EG⊥AC，所以∠AGE=90°，所以EG= AE2−AG2= 75，所以PG+PC的最小值为 75，所以(PG+PC)2的最小值为75． 【解析】1. 略 2. 略 3. 略19.【答案】【小题1】如图①，线段EF、GH即为所求 【小题2】如图②，线段MN、PQ即为所求 【解析】1. 略 2. 略20.【答案】【小题1】证明：因为∠ECD=∠ACB=90°，即∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，所以∠ACE=∠BCD.在△AEC和△BDC中，CA=CB,∠ACE=∠BCD,CE=CD,所以△AEC≌△BDC．【小题2】证明：因为△AEC≌△BDC，所以AE=BD，∠CDB=∠E=45°.又因为∠CDE=45°，所以∠ADB=∠CDE+∠CDB=90°.在Rt△ADB中，根据勾股定理，得AD2+BD2=AB2.在Rt△ACB中，根据勾股定理，得CA2+CB2=AB2.又因为CA=CB，BD=AE，所以AE2+AD2=2AC2．【小题3】解：AE2+DF2=AF2.证明如下： 连接BF.由(2)，得AE=DB，∠FDB=90°.因为CF⊥AB，CA=CB，所以AO=BO.所以CF是AB的垂直平分线，所以AF=BF.在Rt△BDF中，根据勾股定理，得DB2+DF2=BF2，所以AE2+DF2=AF2． 【解析】1. 略 2. 略 3. 略
14.1勾股定理华东师大版初中数学八年级上册同步练习一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB，垂足为D，若AC=12，则CE的长度为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 82.如图，已知在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.有下列四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2(AD2+AB2).其中正确结论的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.在△ABC中，BC=a，AB=c，AC=b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是( )A. ∠A=∠B+∠C B. (a+b)(a−b)=c2 C. a∶b∶c=3∶4∶5 D. ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶54.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.若CD=1，则AB的长为( ) A. 2 B. 1+ 2 C. 2+ 2 D. 2 2+25.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边AC的中点，连接BD，则BD的长为( )A. 2 B. 52 C. 3 D. 5 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于点D，BE与CD相交于点F，则CF的长是 ( ) A. 1 B. 43 C. 53 D. 27.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( ) A. S△EDA=S△CEB B. S△EDA+S△CEB=S△CDE C. S四边形CDAE=S四边形CDEB D. S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD8.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18cm，宽为16cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其他两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为( )A. 50cm2 B. 50cm2或40cm2 C. 50cm2或40cm2或30cm2 D. 50cm2或30cm2或20cm29.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由8个全等的直角三角形拼接而成．若记正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，且S1+S2+S3=15，则S2的值是 ( ) A. 3 B. 154 C. 5 D. 15210.如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为( )A. 52 B. 3 C. 2 2 D. 103二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。11.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是 ．12.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ//AB，则正方形EFGH的边长为 ． 13.定义：若一个圆和一个三角形的三条边各有两个交点，且截得的三条弦长度相等，则我们把这个圆叫做“等弦圆”.现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．14.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AD//BC，M为BD的中点．若BC=3，AC=4，AD=6，则CM的长为 ． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分) 如图，在△MBC中，点D是BC的中点，MB=MC，连接MD，E为MC上一点，∠CBE=45°，BE交MD于点F，若MB=13，BC=10，求MF的长度．16.(本小题8分)阅读下列题目的解题过程：已知a，b，c为△ABC三边的长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．解：因为a2c2−b2c2=a4−b4①，所以c2(a2−b2)=(a2+b2)(a2−b2)②，所以c2=a2+b2③，所以△ABC是直角三角形．问：(1)上述解题过程，从第 (填序号)步开始出现错误；(2)错误的原因为 ；(3)本题正确的结论为 ．17.(本小题8分)已知方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中确定格点D，画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．(2)在图2中画出一个格点正方形，使其面积等于10．(3)直接写出图3中△FGH的面积是 ．18.(本小题8分)将△ABC(AB>AC)沿AD折叠，使点C刚好落在边AB上的点E处，展开如图． (1)【操作观察】如图①，AB=8，AC=6．①BE= ；②若S△ACD=9，则S△ABD= ；(2)【理解应用】如图②，若∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD；(3)【拓展延伸】如图③，∠BAC=60°，G为AC的中点，且AG=5，P是线段AD上的一个动点，连接PG，PC，求(PG+PC)2的最小值．19.(本小题8分)如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段(端点在格点上)，且线段的端点均不与点A、B、C、D重合． (1)在图①中画格点线段EF、GH各一条，使点E、F、G、H分别落在边AB、BC、CD、DA上，且EF=GH，EF不平行于GH；(2)在图②中画格点线段MN、PQ各一条，使点M、N、P、Q分别落在边AB、BC、CD、DA上，且PQ2=5MN2．20.(本小题8分)如图1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD． (1)求证：△AEC≌△BDC．(2)求证：AE2+AD2=2AC2．(3)如图2，过点C作CO⊥AB于点O并延长交DE于点F，请写出线段AE，AF，DF之间的数量关系，并给出证明． 答案和解析1.【答案】A 【解析】解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∵ED垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A， ∴∠ABE=∠CBE=∠A， 又∵∠C=90°， ∴∠ABE+∠CBE+∠A=90°， 解得∠CBE=30°， 设AE=BE=x，则CE=AC−AE=12−x， ∵在Rt△BCE中，∠C=90°，∠CBE=30°， ∴BE=2CE，即x=2(12−x)， 解得x=8，即AE=8， ∴CE=AC−AE=4． 故选：A． 先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得AE=BE，∠ABE=∠CBE=∠A，再根据三角形的内角和定理可得∠CBE=30°，设AE=BE=x，则CE=12−x，在Rt△BCE中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得． 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．2.【答案】C 【解析】略3.【答案】D 【解析】解：A、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B+∠C=90°，能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意； B、∵(a+b)(a−b)=c2，∴a2−b2=c2，即a2=c2+b2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，故不符合题意； C、由a：b：c=3：4：5可设a=3x，b=4x，c=5x，则有a2+b2=25x2=c2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，故不符合题意； D、由∠A：∠B：∠C=3：4：5可设∠A=3k，∠B=4k，∠C=5k，所以3k+4k+5k=180°，解得k=15°，则∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，所以不能判定△ABC是直角三角形，故符合题意； 故选：D． 根据三角形内角和及勾股定理可进行求解． 本题主要考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．4.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 由角平分线的性质可得到CD=DE，由等腰直角三角形可得BE=DE，在Rt△BDE中，由勾股定理可求得BD，可求得BC，则可求得AC；由AAS证明△ACD≌△AED，可得到AE=AC=1+ 2，可求得AB的长． 【解答】 解：∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠BAC， ∴CD=DE=1， ∵AC=BC， ∴∠B=45°， ∴∠EDB=∠B=45°， ∴BE=DE=1， 在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD= 12+12= 2， ∴BC=1+ 2， ∴AC=1+ 2． 在△ACD和△AED中 ∠C=∠AED∠CAD=∠EADAD=AD ∴△ACD≌△AED(AAS)， ∴AC=AE=1+ 2， ∴AB=AE+EB=1+ 2+1=2+ 2．5.【答案】B 【解析】解：∵AB2=22+12=5，BC2=42+22=20，AC2=42+32=25， ∴AB2+BC2=AC2， ∴∠ABC=90°， ∵BD是AC边上的中线， ∴BD=12AC=52， 故选：B． 根据勾股定理求出各边长度，根据勾股定理的逆定理判断出∠ABC=90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．6.【答案】B 【解析】 提示：过点E作EG⊥AB于点G.因为CD⊥AB于点D，所以EG//CD，所以∠GEB=∠EFC.因为∠ACB=90°，所以EC⊥BC.又因为BE平分∠ABC，EG⊥AB，所以EG=EC.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，所以AB=5.易证Rt△EBC≌Rt△EBG，所以∠CEB=∠GEB，BG=BC=4.所以∠CEB=∠EFC，AG=AB−BG=5−4=1，所以CF=EC.设CF=EG=EC=x，则AE=3−x.在Rt△AEG中，由勾股定理，得(3−x)2=x2+12，解得x=43.所以CF的长是43．7.【答案】D 【解析】略8.【答案】C 【解析】本题可分三种情况讨论：①如图①，△AEF中，AE=AF=10cm，S▵AEF=12⋅AE⋅AF=12×10×10=50(cm2)；②如图②，△AGH中，AG=GH=10cm，在Rt△BGH中，BG=AB−AG=16−10=6(cm)，根据勾股定理可得BH=8cm，∴S▵ACH=12AG⋅BH=12×10×8=40(cm2)；③如图③，△AMN中，AM=MN=10cm，在Rt△DMN中，DM=AD−AM=18−10=8(cm)，根据勾股定理可得DN=6cm，∴S▵AMN=12AM⋅DN=12×10×6=30(cm2).故选C．9.【答案】C 【解析】提示：因为8个直角三角形全等，四边形ABCD、四边形EFGH、四边形MNKT是正方形，所以CG=NG，CF=DG=NF=KG.所以S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG=GF2+2CG·DG．S2=GF2，S3=(NG−KG)2=(NG−NF)2=NG2+NF2−2NG·NF=GF2−2CG·DG.所以S1+S2+S3=GF2+2CG·DG+GF2+GF2−2CG·DG=3GF2=15，所以GF2=5，所以S2=5．10.【答案】A 【解析】解：在Rt△ABC中，BC=6，AC=8， ∴AB= BC2+AC2= 62+82=10， ∵BD=CB=6， ∴AD=AB−BC=4， 由作图可知EF垂直平分线段AD， ∴AF=DF=2， ∵∠A=∠A，∠AFE=∠ACB=90°， ∴△AFE∽△ACB， ∴AEAB=AFAC， ∴AE10=28， ∴AE=52， 故选：A． 利用勾股定理求出AB，再利用相似三角形的性质求出AE即可． 本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】42或32 【解析】【分析】 本题考查了勾股定理以及分类讨论，熟练掌握勾股定理的应用与分类讨论是解题关键.分△ABC为锐角三角形时和钝角三角形时解答即可． 【解答】 解：此题应分两种情况说明： (1)如图1，当△ABC为锐角三角形时， 在Rt△ABD中，BD2= AB2−AD2=152−122=81，BD=9 在Rt△ACD中，CD2=AC2−AD2= 132−122=25，CD=5， ∴BC=5+9=14， ∴△ABC的周长为15+13+14=42; (2)如图2，当△ABC为钝角三角形时， 同理，在Rt△ABD中，BD= 9， 在Rt△ACD中，CD=5， ∴BC=9−5=4． ∴△ABC的周长为15+13+4=32． 综上所述，△ABC的周长是42或32．12.【答案】10 【解析】【分析】 本题主要考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形EFGH的面积． 根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长． 【解答】 解：每个直角三角形的面积是 (14×14−2×2)÷8 =(196−4)÷8 =192÷8 =24， 正方形EFGH的面积是 24×4+2×2 =96+4 =100， 则正方形EFGH的边长为10． 答：正方形EFGH的边长为10． 故答案为：10．13.【答案】2− 2 【解析】如图，当⊙O经过直角顶点A时，⊙O最大，连接OA，过点O分别作OH⊥BC，OM⊥AC，ON⊥AB，垂足分别为H，M，N.由题意，得AD=AG=EF，所以由勾股定理，易证ON=OM=OH，即AO平分∠BAC.所以AO⊥BC，即A，O，H三点共线．因为△ABC是等腰直角三角形，所以AH=12BC，∠OAN=∠OAM=45°.又BC=2，所以AH=1.设⊙O的半径为r，则OA=r.又∠OAN+∠AON=90°，所以∠AON=45°，即∠AON=∠OAN.所以AN=ON.在Rt△AON中，由勾股定理，得OA2=ON2+AN2，所以r2=2ON2，即ON= 22r.所以OH= 22r.又AH=OA+OH，所以1=r+ 22r，解得r=2− 2.则这个圆的半径为2− 2．14.【答案】2.5 【解析】延长CM交AD于点E.因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°.因为AD//BC，所以∠CAD=∠ACB=90°，∠EDM=∠CBM，∠DEM=∠BCM.因为M为BD的中点，所以DM=BM.在△EDM和△CBM中，∠DEM=∠BCM,∠EDM=∠CBM,DM=BM,所以△EDM≌△CBM(AAS)，所以EM=CM，DE=BC=3.因为AD=6，所以AE=AD−DE=3.因为AC=4，所以CE= AE2+AC2=5.因为CE=EM+CM=2CM，所以2CM=5，所以CM=2.5．15.【答案】解：∵点D是BC的中点，MB=MC， ∴MD⊥BC， ∵BC=10， ∴BD=12BC=5， ∵MB=13， ∴MD= MB2−BD2=12， ∵∠CBE=45°， ∴∠DFB=45°， ∴DF=BD=5， ∴MF=MD−DF=7． 【解析】根据题意可得MD⊥BC，根据MD= MB2−BD2先求出MD，再结合∠CBE=45°推出DF=BD=5，即可求解． 本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．16.【答案】【小题1】③ 【小题2】没有考虑a2−b2=0【小题3】△ABC是直角三角形或等腰三角形． 【解析】1. 略 2. 略 3. 略17.【答案】【小题1】解：如图1所示(答案不唯一)．【小题2】如图2所示．【小题3】9 【解析】1. 略 2. 略 3. 略18.【答案】【小题1】212【小题2】由折叠的性质，得AE=AC，DE=CD，∠AED=∠C.因为∠C=2∠B，所以∠AED=2∠B.因为∠AED=∠B+∠BDE，所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，所以BE=CD，所以AB=AE+BE=AC+CD．【小题3】连接PE，EC，EG.由折叠的性质，得AE=AC，PE=PC，所以PG+PC=PG+PE≥EG，即PG+PC的最小值为EG的长．因为∠BAC=60°，所以△AEC是等边三角形．因为G为AC的中点，AG=5，所以AE=AC=2AG=10，EG⊥AC，所以∠AGE=90°，所以EG= AE2−AG2= 75，所以PG+PC的最小值为 75，所以(PG+PC)2的最小值为75． 【解析】1. 略 2. 略 3. 略19.【答案】【小题1】如图①，线段EF、GH即为所求 【小题2】如图②，线段MN、PQ即为所求 【解析】1. 略 2. 略20.【答案】【小题1】证明：因为∠ECD=∠ACB=90°，即∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，所以∠ACE=∠BCD.在△AEC和△BDC中，CA=CB,∠ACE=∠BCD,CE=CD,所以△AEC≌△BDC．【小题2】证明：因为△AEC≌△BDC，所以AE=BD，∠CDB=∠E=45°.又因为∠CDE=45°，所以∠ADB=∠CDE+∠CDB=90°.在Rt△ADB中，根据勾股定理，得AD2+BD2=AB2.在Rt△ACB中，根据勾股定理，得CA2+CB2=AB2.又因为CA=CB，BD=AE，所以AE2+AD2=2AC2．【小题3】解：AE2+DF2=AF2.证明如下： 连接BF.由(2)，得AE=DB，∠FDB=90°.因为CF⊥AB，CA=CB，所以AO=BO.所以CF是AB的垂直平分线，所以AF=BF.在Rt△BDF中，根据勾股定理，得DB2+DF2=BF2，所以AE2+DF2=AF2． 【解析】1. 略 2. 略 3. 略
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