第17讲 导数与函数的单调性--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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函数的单调性与导数的关系
考点1 不含参函数的单调性
[名师点睛]
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
[提醒] ①不能遗忘求函数的定义域，②函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
[典例]
1．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数的递增区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（ ）
A．－12B．－10C．8D．10
[举一反三]
1．（2022·浙江·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的减区间是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）以下使得函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·广东湛江·高三阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·广东东莞·高三阶段练习）函数f(x)＝1＋x＋csx在上的单调递增区间是________.
6．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个单调递减区间是________．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为_________．
考点2 含参函数的单调性
[名师点睛]
1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
[典例]
1.(2022·济南调研)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－(a＋1)x＋aln x，讨论函数f(x)的单调性．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间.
[举一反三]
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.讨论的单调性.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝－aln(1＋x)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.讨论的单调性；
考点3 函数单调性的应用
[名师点睛]
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．
根据函数的单调性解不等式，要充分挖掘条件关系，根据不等式的特征和所给函数的单调性、奇偶性，把所要解的不等式变形，利用函数的性质脱去“f”符号，转化为具体的不等式，或直接利用函数的单调性求得自变量的范围．
已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．
[典例]
1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
[举一反三]
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·重庆·二模）已知函数，则函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知，若（为自然对数的底数），则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．
8．（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围________.
10．（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．
11．（2022·江苏泰州·高三期末）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
12．（2022·江苏江苏·三模）设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若在上单调递增，求.
条件
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)内单调递增
f′(x)