重难点3-1 三角函数中ω的取值范围问题（8题型+满分技巧+限时检测）-2025年高考数学热点重点难点专题练习（新高考专用）

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三角函数是高考的必考考点，其中求ω取值范围问题是热门考点。主要结合函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等考查，需要考生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象。根据近几年新高考的考查情况，多在单选题与多选题中出现，难度较大。
【题型1 根据图象平移求ω取值范围】
【例1】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中学校考一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意可得，
∴，，解得，，
又，∴当时，取得最小值为5．故选：D.
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，
得到， .
由两图象的对称轴重合，可得，
所以.
又，故的最小值为.故选：A.
【变式1-2】（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小正值是 ．
【答案】
【解析】，
向左平移个单位后得到，
因为此时函数是偶函数，所以，则，
所以当时，取得最小正值，此时.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的图象与原图象关于x轴对称，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，
所以该图像与的图象关于轴对称，
即恒成立，
则，即，
当时，的最小正值为3，故选：B．
【变式1-4】（2023·江西宜春·高二宜丰中学校考阶段练习）已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件可得，，作出两个函数图象，如图：

，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.
由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，
由，整理得，得，
则，所以，
要使为钝角三角形，只需即可，
由，所以，故选：D.
【题型2 根据单调性求ω取值范围】
【例2】（2024·云南保山·高三统考期末）已知（）在区间上单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】对于，令，，则，
因为，所以，
结合正弦函数的单调性可知：
又，所以.
【变式2-1】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数在区间上单调递减，得，可得，
又由，必有，可得.故选：A
【变式2-2】（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知，函数在单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在上单调递减，
所以，即，
又，所以，
令，
因为，，所以，
所以问题转化为在（）上单调递减，
所以问题转化为在（）上单调递减，
又，，单调递减区间为，，
所以，
所以，解得.故选：D.
【变式2-3】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，
令，，解得，，
所以的单调递增区间为，，
又函数在区间上单调递增，
所以，，解得，，，
所以，，即的取值范围是，故选：B．
【变式2-4】（2024·广东肇庆·统考模拟预测）（多选）已知，函数，，若在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】BC
【解析】因为
，
当时，，函数在上递减，在上递增，故A不可以；
当时，，因为，，
则在上递增，故B可以；
当时，，因为，
函数，单调递增，所以在上递增，故C可以；
当时，，因为，
函数，不单调，故D不可以.故选：BC
【题型3 根据对称轴求ω取值范围】
【例3】（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数在区间恰有两条对称轴，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为函数在区间恰有两条对称轴，
所以，解得，故选：B
【变式3-1】（2024·云南德宏·高三统考期末）已知函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为函数在区间恰有两条对称轴，
所以，解得，故选：A
【变式3-2】（2023·湖北黄冈·高三校考期中）若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，，所以，
因为区间上恰有唯一对称轴，
故，解得，故选：D
【变式3-3】（2023·广西·模拟预测）若函数（，）满足，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题意，在（，）中，
由于，即，
又，所以，所以，
由可知是函数图像的一条对称轴，
所以，，即，，所以的最小值为4，故选：D.
【变式3-4】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在上有且仅有3条对称轴，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】，
由，得，
因为函数的图象在上有且仅有3条对称轴，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
【题型4 根据对称中心求ω取值范围】
【例4】（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于函数的图象的一个对称中心为，
所以，所以，
由于，则，
因为，所以可得：，故选：C
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
因为函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于，
所以，函数的最小正周期满足，即，则，
由可得，
因为函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，
则，可得，
又因为且存在，则，解得，
因为，则，所以，，故选：B.
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在内不存在对称中心，故，解得，
又，，
故，解得，
又，所以，或，，
故的取值范围为，故选：D.
【变式4-3】（2023·四川·校考模拟预测）已知函数的图象在上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】
,
当时，为常数，不合题意，
当， 时， ，
要使在上恰有一条对称轴和一个对称中心，
则，即，
当， 时，，
要使在上恰有一条对称轴和一个对称中心，
则，即.
【变式4-4】（2022·江苏南京·高三江浦高级中学校联考阶段练习）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象恰有个对称中心在区间内，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数的周期为，则，
则将函数的图象向右平移个周期后得到，
因为，所以，
因为所得图象恰有个对称中心在区间内，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【题型5 根据最值求ω取值范围】
【例5】（2024·浙江温州·统考一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知若，则可得；
显然当时，可得，
由的值域为，利用三角函数图像性质可得，解得，
即的取值范围是，故选：D
【变式5-1】（2024·广东梅州·高三广东梅县东山中学校考期末）已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为得，则，
所以由题意可得，，解得.故选：D
【变式5-2】（2024·广东深圳·高三统考期末）若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
由函数在有最小值，没有最大值，得，解得，
所以的取值范围是，故选：D
【变式5-3】（2023·山东·高三校联考阶段练习）已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则内不存在最值，
即，则，，则或，
由，则中恒成立，
只需且，或；
所以的取值范围是，故选：D
【变式5-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）（多选）将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，若在区间内有最值，则实数的取值范围可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】根据题意，得到，
由，解得，
可得，解得，
因，所以当时，；
当时，；当时，．故选：ACD．
【题型6 根据极值求ω取值范围】
【例6】（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上有且仅有一个极值点，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】若函数在区间上有且仅有一个极值点，
即数在区间上有且仅有一个最值点，
则，解得，
故函数的最值点为.
不妨设在区间上仅有的一个最值点为，
则，即，
则，得，
解得，所以.
当时，；
当时，；
当时，.
综上，的取值范围为.
【变式6-1】（2023·江苏连云港·高三统考期中）若函数在上存在唯一的极值点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
则，又，所以
又在上存在唯一的极值点，
则，得到，
或，得到，
又当时，，无解，故选：B.
【变式6-2】（2023·上海奉贤·统考一模）设函数在区间上恰有三个极值点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由已知得.
要使函数在区间上恰有三个极值点，
由图象可得，解得，即.
【变式6-3】（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数在上至少有3个极值点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意知，,
由，，得，
因为函数在上至少有3个极值点，所以，解得，
即实数的取值范围为.
【变式6-4】（2023·吉林·统考一模）已知函数在区间上有且仅有4个极大值点，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，结合题设，令，
故在有且仅有4个极大值点，
根据正弦函数图象及极值点定义知：，则.故选：C
【题型7 根据零点求ω取值范围】
【例7】（2023·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）已知函数（）在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为：，所以：，
令：，则得：.
因为：在上有个零点，
所以：，解得：.
故的取值范围为：，故B项正确，故选：B.
【变式7-1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
由，即，在区间上恰有3个实根，
则，解得，故选：D
【变式7-2】（2024·广东汕头·高三统考期末）已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，，则，
又因为函数在区间上恰有三个零点，
则，解得，
所以的取值范围为.
【变式7-3】（2024·全国·高三开学考试）设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是
【答案】
【解析】由题意得，
令，得，
因为函数在恰好有5个零点，
所以函数在上恰有5条对称轴．
当时，，
令，
则在上恰有5条对称轴，如图：
所以，解得．
【变式7-4】（2022·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，，且在上恰有100个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数，
，则，所以，
由，可得，．则，．
所以，解之得，
所以的取值范围是，故选：C
【题型8 结合函数性质综合考查】
【例8】（2024·全国·模拟预测）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数的图象先向右平移个单位长度,得到的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象．
因为在上没有零点，
所以，解得，．
因为，所以 时，可得；，可得，
故或.故选:C．
【变式8-1】（2024·江西上饶·高三校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上单调递增，
由，，
所以且，解得且，所以；
又因为在区间上只取得一次最大值，
即时，；
所以，解得；
综上，，即的取值范围是，故选：D.
【变式8-2】（2024·山西晋城·统考一模）若函数在上至少有两个极大值点和两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，，得的极大值点为，，
则存在整数，使得，解得．
因为函数在两个相邻的极大值点之间有两个零点，
所以．
当时，．当时，．
当时，．又，
所以的取值范围为．
【变式8-3】（2024·辽宁大连·高三统考期末）已知函数满足下列条件：①对任意恒成立；②在区间上是单调函数；③经过点的任意一条直线与函数图像都有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：由函数可知函数周期是，
因为①对任意恒成，所以函数的一条对称轴是，
又因为在区间是单调函数，所以，
所以，所以为0或1.
当时，；当时，，
由已知得，
因为经过点的任意一条直线与函数图像都有交点，
所以，所以.
因为①对任意恒成立，
所以.
所以，
由或，得或，
所以或.
方法二：
由①可知：，即（*）
由②可知：，
因为函数在上是单调函数，
所以，
，将（*）带入化简可得：，
所以，
由已知得，
因为经过点的任意一条直线与函数图像都有交点，
所以，所以.
因为①对任意恒成立，
所以.
所以，
由或，得或，
所以或.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·江苏盐城·高三统考期中）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为在单调，所以，∴，故选：D.
2．（2023·陕西汉中·高三校联考期中）已知，函数在单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
∵在单调递减，∴，即，又，∴，
令，∵，∴，
∴问题转化为在上单调递减，
∴问题转化为在上单调递减，
又，
单调递减区间为，
∴，
∴，解得故选：D.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）设函数，已知方程在上有且仅有2个根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，的图象与直线在上仅有2个交点，
由，得，
所以，解得：，故选：C
4．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考期中）若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
当时，，
因为在区间上既有最大值，又有最小值，
所以，解得，所以的取值范围为.故选：A.
5．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,
若，因为，所以，
因为在区间内没有零点，所以，解得；
若，因为，所以，
因为在区间内没有零点，所以，解得；
综上，，故选:D.
6．（2023·福建福州·高三校联考期中）设函数在区间恰有三个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点，根据，图象：
可得：，解得：，即，故选：B
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上单调，且在区间上有5个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以函数的最小正周期．
因为在区间上单调，所以，可得；
因为在区间上有5个零点，
所以，即，可得；
综上，．故选：D．
8．（2023·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以，
因为函数在区间内有零点，无极值点，
故，解得，
则，，
要想满足要求，则或，
解得，或，
故的取值范围是.故选：D
9．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】依题意，，
因为，且函数在上单调递减，
所以当时，，
所以，解得：，，
因为，则需要满足，且，，
所以，，即，所以.
10．（2024·广东茂名·统考一模）函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】
由于在区间上有且只有两个零点，所以，
即，由得，，，
∵，∴，
∴或，解得或，
所以的取值范围是.
11．（2023·山西运城·高三统考期中）已知函数，若在区间内没有最值，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，
函数的单调区间为，
由，而，得，
因此函数在区间上单调，
因为函数在区间内没有最值，则函数在区间内单调，
于是，
则，解得，
由，且，解得，
又，从而或，当时，得，
又，即有，当时，得，
所以的取值范围是.
12．（2024·全国·模拟预测）若函数在内恰好存在两个极值点，且直线与曲线在内恰有两个交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
所以在内恰好存在两个极值点、两个零点．
令，则在内恰好存在两个极值点、两个零点．
得，即，即的取值范围是．
13．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数在处取得最大值，且的图象在上有4个对称中心，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】依题知，所以，解得，
所以，
因为，所以当时，，
依题知，解得.
14．（2023·贵州铜仁·统考二模）若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意，函数，
因为，可得，
要使得函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，
则满足，解得，所以的取值范围为．
15．（2024·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）若函数在有且仅有3个极值点，2个零点，则的取值范围
【答案】
【解析】在上，
则在有且仅有3个极值点，2个零点，
由正弦型函数的图象知：，则.满分技巧
结合图象平移求ω的取值范围的常见类型及解题思路
1、平移后与原图象重合
思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；
思路2：平移前的函数=平移后的函数.
2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.
3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
满分技巧
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，在[x1,x2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围
第一步：根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，
即x2−x1≤12T=πω，求得0