重难点6-1 空间角与空间距离的求解（8题型+满分技巧+限时检测）-2025年高考数学热点重点难点专题练习（新高考专用）

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空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点与热点考向。通常小题及解答题的第2小问考查，难度中等。在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用。
【题型1 几何法求异面直线夹角】
【例1】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，是圆锥的顶点，是底面直径，点在底面圆上．若为正三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·广东·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·全国·模拟预测）已知正方形的边长为2，把沿折起，使点A与点E重合，若三棱锥的外接球球心O到直线的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
【变式1-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）在正四棱台中，，点是底面的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 向量法求异面直线夹角】
【例2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，且，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·安徽·高三校联考期末）已知是圆锥底面的直径，为底面圆心，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·江西·高三统考期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·广东汕头·高三潮阳实验学校校考阶段练习）正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 几何法求直线与平面夹角】
【例3】（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·山西运城·高三统考期末）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若四棱锥与四棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在三棱台中，平面，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成角正弦值.
【变式3-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【题型4 向量法求直线与平面夹角】
【例4】（2023·福建福州·高三校联考期中）正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·上海嘉定·高三校考期中）在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥中，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值．
【变式4-3】（2023·四川雅安·统考一模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）如图，己知三棱台的高为1，，为的中点，，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小．
【题型5 几何法求平面与平面夹角】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥的外接球半径为，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 .
【变式5-2】（2024·北京海淀·高三统考期末）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【变式5-3】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，点在平面内的射影D在线段AC上，，，.
（1）证明：；
（2）设直线到平面的距离为，求二面角的大小.
【题型6 向量法求平面与平面夹角】
【例6】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）如图，在三棱锥中，，，平面，平面平面，是的中点.
（1）求证：;
（2）求平面与平面的夹角.
【变式6-1】（2024·云南昆明·统考一模）如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，.
（1）证明：平面平面；
（2）是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由.
【变式6-2】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为矩形，，，，点M在棱PC上且．
（1）证明：M为PC的中点；
（2）求平面PBD与平面MDB的夹角．
【变式6-3】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，，为的中点，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【变式6-4】（2024·江苏南通·高三统考期末）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的一点，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【题型7 几何法解决空间距离问题】
【例7】（2024·河北·高三校联考期末）已知正方形的边长为1，将正方形绕着边旋转至分别为线段上的动点，且，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（ ）
A．1 B． C．1或2 D．2或
【变式7-2】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）如图，在正四棱柱中，为的中点，则中点到平面的距离为 ．
【变式7-3】（2024·陕西·高三校联考开学考试）如图，在三棱台中，，，．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．
【变式7-4】（2023·广东·统考二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 向量法解决空间距离问题】
【例8】（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ）.
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·北京昌平·高三统考期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式8-2】（2023·河北邢台·高三宁晋中学校联考开学考试）已知四棱台中，底面为正方形，，，，⊥底面．
（1）证明：．
（2）求到平面的距离．
【变式8-3】（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点
（1）证明：平面；
（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
【变式8-4】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，.
（1）若，求证： ；
（2）若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知四棱锥底面是矩形，其中，，侧棱底面，E为的中点，四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海虹口·高三校考期中）如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．（2024·陕西渭南·统考一模）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东青岛·高三统考期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东济宁·高三济宁一中校考阶段练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular slid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东德州·高三统考期末）（多选）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．点到的距离为 B．面与面的距离为
C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为
7．（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点P是线段的中点，点Q是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．Q到平面的距离为
C．与所成角的取值范围为 D．三棱锥外接球体积的最小值为
8．（2023·广西·模拟预测）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为 ．
9．（2024·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ．
10．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，为的中点．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求二面角的余弦值．
11．（2024·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考开学考试）如图．在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，面底面，是棱的中点．
（1）证明：；
（2）若，且二面角的大小为，求异面直线与所成角的正切值．
12．（2024·山西临汾·统考一模）如图，在三棱柱中，，，，二面角的大小为.
（1）求四边形的面积；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.满分技巧
1、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
（2）中位线平移法；
（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
满分技巧
异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.
满分技巧
1、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ=ℎl，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长。
方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，
平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
满分技巧
直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.
满分技巧
1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律
（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，
在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角
2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用
（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
（2）具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）
（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，
面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角
满分技巧
平面与平面的夹角：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.
满分技巧
点面距的求解方法
1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
满分技巧
点到平面的距离：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。