第二章 直线和圆的方程 章节验收测评卷-2024-2025学年高二数学单元速记练习（人教A版2019选择性必修第一册）

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第二章 直线和圆的方程 章节验收测评卷（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高一下·重庆·期末）若直线的倾斜角为，则实数值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜率定义，结合诱导公式可得.【详解】由题知，，解得.故选：C2．（23-24高二下·安徽·开学考试）若直线与平行，则（    ）A． B．2 C． D．或2【答案】C【分析】根据两直线的位置关系建立方程，解方程，验证即可.【详解】若，则，解得或，当时，重合，不符合题意，所以舍去．所以.故选：C3．（23-24高二上·北京房山·期末）两条直线与之间的距离是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.【详解】由两平行线之间的距离公式可得.故选：C4．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可.【详解】由题意可得：，解得或，所以方程表示圆的充要条件是或.故选：D.5．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得，根据基本不等式“”的代换可得的最小值，即取最小值时与的值，进而得解.【详解】由直线过点，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以直线方程为，即.故选：C.6．（23-24高二下·重庆·期末）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】利用几何特征，得到当时弦取得最小值求解即可.【详解】将圆化为，圆心，半径，因为，所以点在圆内，记圆心到直线的距离为，则，由图可知，当，即时，取得最小值，因为，所以的最小值为.故选：C..7．（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，依题意可得，即可得到动点的轨迹方程，再由直线与圆有交点，圆心到直线的距离不大于半径得到不等式，解得即可.【详解】圆，则圆心为，半径，  因为，在中，，所以，所以点的轨迹方程为，即圆心为，半径，又直线上存在点，所以直线与有交点，所以，解得，即实数的取值范围是．故选：D．8．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（    ）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】要使取得最大值时，，求出圆心O到直线的距离，设出直线方程，利用点到直线距离公式求解斜率，代入点斜式直线方程即可求解.【详解】当取得最大值时，，此时圆心O到直线的距离为，又直线恒过点，所以直线斜率存在，设为，即，由点到直线的距离公式得，平方并化简得，解得或，此时直线的方程为或，即或.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ）A．直线过定点B．直线与圆恒相交C．直线被圆截得的弦长最短为4D．若直线被圆截得的弦长为，则【答案】ABD【分析】利用直线的点斜式方程可判断A；利用定点与圆的位置关系可判断B；根据定点为弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短可判断C；利用弦长公式可判断D.【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A正确；对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确；对于C，直线与轴垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时，直线被圆截得的弦长为，故C错误；对于D，直线，圆心到直线的距离，得，故D正确.故选：ABD10．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可.【详解】由题知，两圆半径，所以，故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点，当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即；当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为，所以，解得或，所以直线的方程为或．故选：ABC．11．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（    ）A．若点在直线上，则直线过定点B．当取得最小值时，点在圆上C．直线，关于直线对称D．与的乘积为定值4【答案】ACD【分析】根据垂直关系可得四点共圆，进而可得以为直径的圆的方程，两圆相减可得直线的方程，即可得定点坐标，根据数量积的运算律，结合基本不等式即可求解最值，进入可得点的轨迹，根据直线，关于直线对称，而与直线垂直,即可判断C，根据锐角三角函数即可求解D.【详解】设，由四点，，，共圆，且以为直径，可得圆的方程为，化简得，联立圆，可得直线的方程为，即，令，且，解得，即直线恒过定点，故A正确， ,由于，当且仅当时，即时等号成立，故此时点在圆上，故B错误，由于直线，关于直线对称，而方程为，由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C正确，设,则，，所以，故D正确，故选：ACD【点睛】方法点睛：求圆的切点弦所在直线的方法如下：（1）求出两切线与圆的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程；（2）写出两圆在切点（在圆上）处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程；（3）写出圆外一点为圆心，以圆外一点到切点的距离为半径的圆的方程，将两圆方程作差可得出切点弦所在直线的方程.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高二上·四川内江·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 .【答案】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系计算即可.【详解】  如图所示，可知直线自位置绕P旋转至位置的过程中都可符合题意，该过程中直线的斜率在，易知，，故，则倾斜角.故答案为：13．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 .【答案】【分析】先表示出直线的截距式，利用直线过点，得到，借助基本不等式，即可求得最小值.【详解】直线与与x轴、y轴分别交于，可设直线的截距式，直线过点，，且，，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为：.14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知圆，圆的半径为，过直线上的动点作圆的切线，切线长始终相等，则圆的标准方程为 ．【答案】或【分析】利用切线长性质、两点的距离公式结合方程的特征计算圆心即可得结果.【详解】设，切线长，由已知可知两圆的半径分别为，所以，化简得，由题意知，上式恒成立，又，所以，解之得或，则圆的标准方程为或.故答案为：或【点睛】思路点睛：根据切线始终相等设点P坐标与圆心坐标，由勾股定理建立等式关系（看成关于点P坐标的关系式），再由P在直线上得方程形式相同，解参数即可.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程：(1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程；(2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程．【答案】(1)或.(2)【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍，此时直线方程为，将代入，可得，化简可得；当直线不过原点时，设直线方程为，且，即，将代入，可得，解得，则直线方程为，化简可得；综上，直线方程为或.（2）点关于轴的对称点的坐标为，由题意可知，反射光线所在的直线经过点与，所以反射光线所在的直线斜率为，则反射光线所在的直线方程为，化简可得.16．（2024高一·全国·专题练习）已知点，且．(1)求点P的轨迹方程；(2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是，圆心坐标为，半径【分析】（1）根据可列出方程，化简即得答案；（2）解法一，利用配方法，结合圆的标准方程，可得答案；解法二，结合圆的一般方程以及二元二次方程表示圆的条件，即可求得答案.【详解】（1）由题意得，两边同时平方，化简得，即点P的轨迹方程为．（2）解法一：由（1）得，故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为，半径为．解法二：由（1）结合圆的一般方程得，所以，故点P的轨迹是圆．又，，所以圆心坐标为，半径．17．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线.(1)求边AC所在直线的倾斜角的正切值和边AC上的高所在直线的方程;(2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由;【答案】(1)；(2)存在最大值；【分析】（1）求出直线AC的斜率，根据即可求出倾斜角，由直线点斜式方程即可求出直线的方程；（2）根据直线只含一个参数，可以将其方程以参数进行整理，然后运用恒等式，求出定直线及交点，点到直线的距离为，则，再探究是否存在最大值.【详解】（1）因为，所以，所以直线的倾斜角为的正切值为，因为，所以，所以直线的方程为：，化简得：.（2）将直线变形可得：，对于取任何实数时，此方程恒成立，则得，即直线恒过两直线及的交点，由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．    又因为过点且垂直于的直线方程是，但无论时，直线表示为，此时距离最大．所以，存在最大值．【点睛】本题考查了定点到动直线的距离的最大值问题，求出直线恒过的定点是解决问题的关键，还考查了数形形合思想，还要注意检验取得最值的条件.18．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆的圆心在轴上，且过．(1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，且【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得；（2）圆问题可转化为在轴上是否存在点，使，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得.【详解】（1）设圆为，则有，解得，故圆的方程为；（2）由题意可得，直线斜率不为，故可设，，，联立，有，，，，设，，由，则有，即，即，，即，则当时，恒成立，故存在定点，使得当直线变化时，均有.19．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知圆的圆心在轴上，且圆经过点、．(1)求圆的方程；(2)已知点为圆与轴正半轴的交点，直线交圆于、两点（点、异于点），若直线、的斜率之积为，直线是否过定点?如果过定点，请求出过定点坐标；如果不过，请说明理由．【答案】(1)(2)过定点，理由见解析【分析】（1）设圆心，由结合两点间的距离公式可得出关于的等式，求出的值，再求出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）求出点的坐标，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，结合可得出关于的关系式，并化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；在直线的斜率不存在时，设直线的方程为，求出点、的坐标，根据求出的值，即可得出结论.【详解】（1）解：设圆心，由可得，解得，圆的半径为，因此，圆的方程为.（2）解：在圆的方程中，令，可得，解得，即点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立可得，，整理可得，由韦达定理可得，，，，由题意可得，整理可得，所以，，因为直线不过点，则，所以，，整理可得，此时，直线的方程可化为，则直线过定点；  当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，联立，解得，取点、，所以，，解得，不合乎题意，舍去.综上所述，直线恒过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.