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    2023-2024学年福建省福州十二中八年级(下)期末数学试卷(含详细答案解析)

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    2023-2024学年福建省福州十二中八年级(下)期末数学试卷(含详细答案解析)

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    这是一份2023-2024学年福建省福州十二中八年级(下)期末数学试卷(含详细答案解析),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1. 7的整数部分是( )
    A. 2B. 3C. 4D. 5
    2.下列各组数中,相等的一组是( )
    A. 23与−23B. 32与(−3)2C. (−4)3与|−4|3D. 223与(23)2
    3.下列运算正确的是( )
    A. 5a+3b=8abB. 4a3+3a4=7a7C. 9a2−6a2=3D. 9a6b−9ba6=0
    4.若1112−1=110k,则k的值为( )
    A. 109B. 110C. 111D. 112
    5.如图,在△ABC中,∠C=90∘,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,若EC=1,BE=2,则AC的长为( )
    A. 2
    B. 1.5
    C. 3
    D. 2
    6.为了推广环保理念,社区举办了一场“垃圾分类与环保”知识竞赛.在答题完成后,由7位评委为参赛者小敏的答题情况进行打分,得到了7个评分.根据这些评分计算了平均数、中位数、众数和方差.如果去除这7个评分中的一个最高分和一个最低分后,剩余的5个评分重新统计,则这四个统计量的值一定不会发生变化的是( )
    A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
    7.将一块含30∘角的直角三角板ABC按如图方式放置在矩形DEFG上,点A,B分别落在边DG,DE上.若∠1=75∘,则∠2的度数为( )
    A. 103∘
    B. 104∘
    C. 105∘
    D. 106∘
    8.如图,∠A=∠OBC=∠OCD=∠ODE=90∘,OA=AB=BC=CD=DE=1,则下列线段首尾顺次相接能组成直角三角形的是( )
    A. OC,OD,OE
    B. OB,OD,OE
    C. OB,OC,OE
    D. OB,OC,OD
    9.若关于x的一元一次方程2x−a=0的解为x=1,则关于x的不等式组x−2>08−ax≥0的整数解的个数是( )
    A. 12B. 2C. 3D. 4
    10.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A,B,若点B的坐标为(0,1),∠OAB=15∘,则直线AB的解析式为( )
    A. y=( 3−2)x+1
    B. y=(1− 2)x+1
    C. y=( 3− 5)x+1
    D. y=− 2x+1
    二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分。
    11.代数式 x−1在实数范围内有意义,则x的取值范围是__________.
    12.已知点A(1,2),B(2,a)均在直线y=kx(k为常数且k≠0)上,则a的值为______.
    13.已知一组数据为1,2,3,4,5,则这组数据的方差为______.
    14.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,以点A为圆心,以AB的长为半径作弧,交AC于点E,若OA=1,则OE的长为______.
    15.如图,将▱ABCD的两边AD与CD分别沿DE,DF翻折,点A,C恰好与点B重合,则∠EDF的大小为______.
    16.如图,在△ABC中,AB=AC,点D为BC的中点,BC=AD,DE⊥AC于E,连接BE,若CE=1,则BE的长为______.
    三、解答题:本题共9小题,共86分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题8分)
    计算: (−3)2+(− 3)0− 25.
    18.(本小题8分)
    已知a=4b,求代数式(aa−b−1)÷ab−b2a2−b2的值.
    19.(本小题8分)
    如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD上的点,且AE=CF.求证:DE=BF.
    20.(本小题8分)
    如图是一张对边平行的纸片,点A,C分别在平行边上,连接AC.
    (1)求作:菱形ABCD,使点A,D落在纸片的同一边上;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
    (2)在(1)的条件下,AC,BD交于点O,若BC=6,OC=3,求菱形ABCD的面积.
    21.(本小题8分)
    在某校园科技节中,学生们需要完成三个项目:科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告.每个项目的成绩都会对学生的最终评价产生影响.只有当学生的综合评价得分(满分100分)达到85分及以上时,才能被授予“科技小达人”的称号.
    现在我们关注两名学生小玉和小榕,她们在科技节中的部分项目成绩已经公布.
    (1)如果综合评价得分是科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告三项成绩的平均分,请为小玉计算出这一得分,并判断她是否符合“科技小达人”的标准;
    (2)学校考虑将科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告的权重设为1:2:3计算综合评价得分.请确定小榕在科技创新报告中至少需要获得多少分才能达到“科技小达人”的标准.(分数需为整数)
    22.(本小题10分)
    某校要购买A型和B型两种运动器材丰富学生的体育活动.学校发现,如果买1套A型器材和2套B型器材要花费2600元;如果购买3套A型器材和1套B型器材要花费2800元.
    (1)求每套A型器材和每套B型器材售价各多少元?
    (2)现在学校计划购买A型和B型两种运动器材共20套(A型和B型都需要购买).考虑到场地限制和学生使用的需求,购买的A型器材数量不超过B型器材的3倍.那么学校应该如何分配A型和B型器材的购买数量,才能使总费用最低?总费用最低是多少元?
    23.(本小题10分)
    综合实践:按照要求测量木料之间的距离.
    A.木料特征:如图①是一块木料,其中两边m和n是相互平行.
    B.测量目标:需要测量如图①这块木料上平行边m和n之间的垂直距离.
    C.测量工具:如图②,一把刻度尺.(刻度尺宽度为tcm,两端受损,可以测量木料上任意两点之间距离,但无法用刻度尺直接画出直角)
    D.测量方法及求解过程
    (1)小清同学完成的测量步骤及求解过程,如图③所示
    测量步骤如下:
    步骤一:在边m上取点A,在边n上取点B,C;
    步骤二:连接AB,AC;
    步骤三:把刻度尺一边与BC重合,另一边与AB交于点D,与AC交于点E;
    步骤四:测得,BC=acm,DE=bcm;
    求解过程如下:
    过点A作AM⊥BC交DE于点N,交n于点M,
    则MN=①_____cm,AM⊥DE
    设AM=xcm,则AN=②_____cm
    ∵S△ABC=S△ADE+S梯形DBCE
    ∴12BC⋅AM=12DE⋅AN+12(DE+BC)MN
    ∴12ax=③_____+④_____
    ∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离AM=xcm=⑤_____cm
    请补充小清同学求解过程中①②③④⑤所缺的内容;
    (2)小庄同学也想利用所提供的测量工具,设计另一种测量木料之间的距离方案,请你根据图④帮助小庄同学完成测量方案,要求写出测量步骤及求解过程.
    要求:测量得到的长度用字母a,b,c…表示.(说明:操作、说理思路相同的方案视为同一种方案)
    24.(本小题12分)
    在平面直角坐标系xOy中,无论k为何值,直线l:y=kx−k+4都经过定点A,直线l与x轴交于点E,点B的坐标为(−2,0).
    (1)求点A的坐标;
    (2)若AB⊥l,求直线l的解析式;
    (3)点C在直线l上,且AC=1,D是BC的中点,当OD取最小值时,求k的值.
    25.(本小题14分)
    如图,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,延长AE交CD于点F,EH⊥BC交BC于H.点G在BH上,且GH=HC.
    (1)求证:AE=EG;
    (2)如图1,连接GF,交EH于点M:
    ①求证:EM=12GF;
    ②求证:AE2−EF2=4MH⋅ME.
    答案和解析
    1.【答案】A
    【解析】解:∵408−ax≥0的整数解的个数为2,
    故选:B.
    根据关于x的一元一次方程2x−a=0的解为x=1,可以求得a的值,然后将a代入不等式组,求出不等式组的解集,再写出不等式组x−2>08−ax≥0的整数解,即可得到不等式组x−2>08−ax≥0的整数解的个数.
    本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组,解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法.
    10.【答案】A
    【解析】解:作AB的垂直平分线,交OA于点D,则AD=BD,
    ∴∠ABD=∠OAB=15∘,
    ∴∠ODB=30∘,
    在Rt△OBD中,∠ODB=30∘,
    ∴BD=2OB,
    ∵点B的坐标为(0,1),
    ∴OB=1,
    ∴BD=2,
    ∴OD= BD2−OB2= 22−12= 3,AD=2,
    ∴OA=OD+AD=2+ 3,
    ∴A(2+ 3,0),
    设直线AB的解析式为y=kx+b,
    ∴(2+ 3)k+b=0b=1,
    解得k= 3−2b=1,
    ∴直线AB的解析式为y=( 3−2)x+1.
    故选:A.
    作AB的垂直平分线,交OA于点D,则AD=BD,然后解直角三角形,求得A(2+ 3,0),利用待定系数法即可求得直线AB的解析式.
    本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求一次函数的解析式,解直角三角形等,求得A点的坐标是解题的关键.
    11.【答案】x≥1
    【解析】解:∵ x−1在实数范围内有意义,
    ∴x−1≥0,
    解得x≥1.
    故答案为:x≥1.
    先根据开平方有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.
    本题考查的是开平方有意义的条件,即被开方数大于等于0.
    12.【答案】4
    【解析】解:∵点A(1,2)和B(2,a)均在直线y=kx(k为常数且k≠0)上,
    ∴2=k,
    ∴a=2×2,
    ∴a=4.
    故答案为:4.
    根据函数图象上点的坐标特征得到k,然后求解即可.
    本题考查了一次函数图象上点的坐标,解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.
    13.【答案】2
    【解析】解:平均数为=(1+2+3+4+5)÷5=3,
    S2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=2.
    故答案为:2.
    先求出这5个数的平均数,然后利用方差公式求解即可.
    本题考查了方差的知识,牢记方差的计算公式是解答本题的关键,难度不大.
    14.【答案】 2−1
    【解析】解:∵四边形ABCD正方形,
    ∴AC⊥BD,OA=OB,
    ∵OA=1,
    ∴AB= OA2+OB2= 12+12= 2,
    ∵以点A为圆心,以AB的长为半径作弧,交AC于点E,
    ∴AE=AB= 2,
    ∴OE=AE−OA= 2−1,
    故答案为: 2−1.
    首先由勾股定理求得AB,进而得到AE,然后与OA相减即可得解.
    本题主要考查了正方形的性质,勾股定理,解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题.
    15.【答案】60∘
    【解析】解:由翻转变换的性质可知,DA=DB=DC,∠ADE=∠BDE,∠CDF=∠BDF,
    ∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD=BC,AB=CD,
    ∴AB=BC=CD=AD=BD,
    ∴△ABD和△BCD是等边三角形,
    ∴∠ADB=∠CDB=60∘,
    ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=12(∠ADB+∠CDB)=60∘,
    故答案为:60∘.
    先证明△ABD和△BCD是等边三角形,可得∠ADB=∠CDB=60∘,再由折叠性质求解即可.
    本题考查的是翻转变换的性质、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质,翻转变换是一种对称变换,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
    16.【答案】 17
    【解析】解:作EF⊥BC于F,
    在△ABC中,AB=AC,点D为BC的中点,
    ∴AD⊥BC,
    ∵DE⊥AC,
    ∴∠DEC=∠ADC=90∘,
    ∵BC=AD,
    ∴AD=2CD,
    ∴tan∠C=ADCD=DECE=2,
    ∴DE=2CE=2,
    ∴CD= DE2+CE2= 22+12= 5,
    ∴BC=2 5,
    ∵S△DEC=12DE⋅CE=12×2×1=1,
    ∴S△BCE=2S△DEC=2,
    ∴12BC⋅EF=2,即12×2 5⋅EF=2,
    ∴EF=2 55,
    ∴CF= CE2−EF2= 12−(2 55)2= 55,
    ∴BF=2 5− 55=9 55,
    ∴BE= BF2+EF2= (9 55)2+(2 55)2= 17.
    故答案为: 17.
    根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC,利用三角函数求得DE=2CE=2,然后利用勾股定理求得CD、EF,进一步求得BC、FC,然后利用勾股定理即可求得BE.
    本题考查了等腰三角形的性质,直角三角函数,勾股定理的应用,解决本题的关键是熟练掌握以上知识.
    17.【答案】解:原式= 9+1−5
    =3+1−5
    =−1.
    【解析】先算乘方,零指数幂,求算术平方根,再算加减.
    本题考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则.
    18.【答案】解:原式=a−a+ba−b⋅(a+b)(a−b)b(a−b)
    =ba−b⋅(a+b)(a−b)b(a−b)
    =a+ba−b,
    当a=4b时,原式=4b+b4b−b=53.
    【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简,代入计算即可.
    本题考查的是分式的化简求值,掌握分式的混合运算法则是解题的关键.
    19.【答案】证明:在平行四边形ABCD中,
    AB//CD,AB=CD,
    ∵AE=CF,
    ∴BE=DF,BE//DF.
    ∴四边形DEBF是平行四边形.
    ∴DE=BF.
    【解析】要证DE=BF,只需证四边形DEBF是平行四边形,而很快证出BE=DF,BE//DF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出.
    本题考查了平行四边形的判定.平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
    20.【答案】解:(1)如图,菱形ABCD为所作;
    (2)∵四边形ABCD为菱形,
    ∴AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,
    在Rt△BOC中,∵BC=6,OC=3,
    ∴OB= 62−32=3 3,
    ∴BD=2OB=6 3,
    ∵AC=2OC=6,
    ∴菱形ABCD的面积=12×6×6 3=18 3.
    【解析】(1)作AC的垂直平分线交平行纸片的两边于点D、B,则AC⊥BD,OA=OC,再证明△AOD≌△COB得到OD=OB,则AC、BD互相垂直平分,所以四边形ABCD为菱形;
    (2)先根据菱形的性质得到AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,则利用勾股定理计算出OB=3 3,然后根据菱形的面积公式计算.
    本题考查了作图-复杂作图:解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了菱形的判定与性质.
    21.【答案】解:(1)小玉的综合评价得分为:92+82+843=86(分),
    ∵86>85,
    ∴小玉符合“科技小达人”的标准;
    (2)设小榕在科技创新报告中至少需要获得x分才能达到“科技小达人”的标准,
    82×1+90×2+3x6≥85,
    解得x≥2483,
    ∵分数为整数,
    ∴小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准.
    【解析】(1)根据平均数的计算公式计算,然后作出判断即可;
    (2)设小榕在科技创新报告中至少需要获得x分才能达到“科技小达人”的标准,然后根据加权平均数计算即可.
    本题考查了平均数和加权成绩的计算.平均数等于所有数据的和除以数据的个数.
    22.【答案】解:(1)设购买1套A型运动器材和1套B型运动器材各需x,y元,
    由题意可得:x+2y=26003x+y=2800,
    解得x=600y=1000,
    答:购买1套A型运动器材和1套B型运动器材各需600、1000元;
    (2)设购买A型运动器材a套,则购买B型运动器材为(20−a)套,总费用w元,
    则a≤3(20−a),
    解得a≤15,
    w=600a+1000(20−a)=−400a+20000,
    ∵−400

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