河北省邢台市柏乡县2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份河北省邢台市柏乡县2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：1-10每小题3分，11-16每小题3分
1．方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3和4 B．3和﹣4 C．3和﹣1 D．3和1
2．二次函数y=x2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）
3．将△ABC绕O点顺时针旋转50°得△A1B1C1（A、B分别对应A1、B1），则直线AB与直线A1B1的夹角（锐角）为（ ）
A．130° B．50° C．40° D．60°
4．用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+3）2=﹣4B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=5 D．（x+3）2=±
5．下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1=0 B．x2+3x+2=0
C．2015x2+11x﹣20=0 D．x2+x+2=0
6．平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣3）
7．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示，△ABC绕点A旋转至△AEF，其旋转角是（ ）
A．∠BAE B．∠CAE C．∠EAF D．∠BAF
9．下列说法正确的是（ ）
A．旋转改变图形的大小和形状
B．旋转中，图形的每个点移动的距离相同
C．经过旋转，图形的对应线段、对应角分别相等
D．经过旋转，图形的对应点的连线平行且相等
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1） D．（2.5，0.5）
11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=（ ）
A．10° B．20° C．25° D．30°
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：
①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
13．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最小值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．9
14．下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ）
A． B． C． D．
15．若二次函数y=ax2+bx+a2﹣2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（ ）
A．1 B． C． D．﹣2
16．若b＜0，则二次函数y=x2﹣bx﹣1的图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：每小题3分，共10分
17．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 ．
18．若一元二次方程（m﹣2）x2+3（m2+15）x+m2﹣4=0的常数项是0，则m的值是 ．
19．已知抛物线y=﹣x2+2x+2，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ．
三、解答题
20．解方程：x2﹣2x=x﹣2．
21．已知函数y=x2﹣mx+m﹣2．
（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）若函数y有最小值﹣，求函数表达式．
22．如图所示，正方形ABCD的边长等于2，它绕顶点B按顺时针方向旋转得到正方形A′BC′D′．在这个旋转过程中：
①旋转中心是什么？
②若旋转角为45°，边CD与A′D′交于F，求DF的长度．
23．已知二次函数y=﹣0.5x2+4x﹣3.5
（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求函数图象与x轴的交点坐标．
24．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
25．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
26．根据下列条件求m的取值范围．
（1）函数y=（m+3）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y=（2m﹣1）x2有最小值；
（3）抛物线y=（m+2）x2与抛物线y=﹣x2的形状相同．

2016-2017学年河北省邢台市柏乡县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：1-10每小题3分，11-16每小题3分
1．方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3和4B．3和﹣4C．3和﹣1D．3和1
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】根据方程的一般形式和二次项系数以及一次项系数的定义即可直接得出答案．
【解答】解：∵3x2﹣4x﹣1=0，
∴方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣4；
故选B．

2．二次函数y=x2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（2，2）C．（1，2）D．（1，3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．
【解答】解：y=x2﹣2x+2的顶点横坐标是﹣=1，纵坐标是=1，
y=x2﹣2x+2的顶点坐标是（1，1）．
故选：A．

3．将△ABC绕O点顺时针旋转50°得△A1B1C1（A、B分别对应A1、B1），则直线AB与直线A1B1的夹角（锐角）为（ ）
A．130°B．50°C．40°D．60°
【考点】旋转的性质．
【分析】先根据题意画出图形，利用旋转的性质得出OA=OA1，OB=OB1，AB=A1B1，那么根据SSS证明长△OAB≌△OA1B1，得到∠OAB=∠OA1B1，由等角的补角相等得出∠OAM=∠OA1M．设A1M与OA交于点D，在△OA1D与△MAD中，根据三角形内角和定理即可求出∠M=∠A1OD=50°．
【解答】解：如图，△ABC绕O点顺时针旋转50°得△A1B1C1（A、B分别对应A1、B1），则∠A1OA=50°，OA=OA1，OB=OB1，AB=A1B1．
设直线AB与直线A1B1交于点M．
由SSS易得△OAB≌△OA1B1，
∴∠OAB=∠OA1B1，
∴∠OAM=∠OA1M，
设A1M与OA交于点D，
在△OA1D与△MAD中，
∵∠DAM=∠DA1O，∠ODA1=∠MDA，
∴∠M=∠A1OD=50°．
故选B．

4．用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+3）2=﹣4B．（x﹣3）2=4C．（x+3）2=5D．（x+3）2=±
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．
【解答】解：∵x2+6x+4=0，
∴x2+6x=﹣4，
∴x2+6x+9=5，即（x+3）2=5．
故选：C．

5．下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1=0B．x2+3x+2=0
C．2015x2+11x﹣20=0D．x2+x+2=0
【考点】根的判别式．
【分析】分别求出各个选项中一元二次方程根的判别式，进而作出判断．
【解答】解：A、x2﹣x﹣1=0，△=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=9＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；
B、x2+3x+2=0，△=32﹣4×2=1＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；
C、2015x2+11x﹣20=0，△=112﹣4×2015×（﹣20）＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；
D、x2+x+2=0，△=12﹣4×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
故选D．

6．平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣3）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【解答】解：由题意，得
点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3），
故选：C．

7．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①∵a=﹣＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选C．

8．如图所示，△ABC绕点A旋转至△AEF，其旋转角是（ ）
A．∠BAEB．∠CAEC．∠EAFD．∠BAF
【考点】旋转的性质．
【分析】旋转后任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角．
【解答】解：∵点B与点E是一对对应点，点C与点F是一对对应点．
∴旋转角为∠BAE或∠CAF．
故选：A．

9．下列说法正确的是（ ）
A．旋转改变图形的大小和形状
B．旋转中，图形的每个点移动的距离相同
C．经过旋转，图形的对应线段、对应角分别相等
D．经过旋转，图形的对应点的连线平行且相等
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、旋转不改变图形的大小和形状，所以A选项错误；
B、旋转中，图形的每个点移动的距离不一定相同，所以B选项错误；
C、经过旋转，图形的对应线段、对应角分别相等，所以C选项正确；
D、经过旋转，图形的对应点的连线不一定平行或相等，所以D选项错误．
故选C．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（ ）
A．（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．
【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，
∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，
作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，﹣1），
∴旋转中心的坐标为（1，﹣1）．
故选C．

11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=（ ）
A．10°B．20°C．25°D．30°
【考点】旋转的性质．
【分析】由∠B=∠D′=90°，可知：∠2+∠D′AB=180°，从而可求得∠D′AB=70°，∠α=∠DAD′=90°﹣∠D′AB．
【解答】解：如图所示：
∵∠B=∠D′=90°，
∴∠2+∠D′AB=180°．
∴∠D′AB=180°﹣∠2=180°﹣110°=70°．
∵∠α=∠DAD′，
∴∠α=90°﹣∠D′AB=90°﹣70°=20°．
故选：B．

12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：
①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
b=2a，
∴b﹣2a=0，
故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），
∴把x=﹣2代入得：y=4a﹣2b+c＞0，
故②错误；
∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，
又∵b=2a，
∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，
∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，
故③正确；
根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，
∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），
∵（，y2），1＜，
∴y1＞y2，
故④正确；
即正确的有①③④，
故选：B．

13．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最小值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣6D．9
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据二次函数y=ax2+bx的图象可知，开口向下，a＜0，二次函数有最大值y=3，知，一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，知b2﹣4am≥0，从而可以解答本题．
【解答】解：∵由二次函数y=ax2+bx的图象可知，二次函数y=ax2+bx的最大值为：y=3，
∴．
∴．
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴b2﹣4am≥0．
∵二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，
∴a＜0．
∴m≥．
∴m≥﹣3．
即m的最小值为﹣3．
故选项A正确，选项B错误，选项C错误，选项D错误．
故选A．

14．下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，能与原来图形重合，故错误；
B、不是中心对称图形，不能与原来图形重合，故正确；
C、是中心对称图形，能与原来图形重合，故错误；
D、是中心对称图形，能与原来图形重合，故错误．
故选B．

15．若二次函数y=ax2+bx+a2﹣2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．﹣2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据图象开口向下可知a＜0，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于a的一元二次方程即可．
【解答】解：由图可知，函数图象开口向下，
∴a＜0，
又∵函数图象经过坐标原点（0，0），
∴a2﹣2=0，
解得a1=（舍去），a2=﹣．
故选C．

16．若b＜0，则二次函数y=x2﹣bx﹣1的图象的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】只需运用顶点坐标公式求出顶点坐标，然后根据b＜0就可确定顶点所在的象限．
【解答】解：二次函数y=x2﹣bx﹣1的图象的顶点为（﹣，），即（，），
∵b＜0，∴＜0，＜0，
∴（，）在第三象限．
故选C．

二、填空题：每小题3分，共10分
17．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣2） ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，
∴点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），
故答案为（3，﹣2）．

18．若一元二次方程（m﹣2）x2+3（m2+15）x+m2﹣4=0的常数项是0，则m的值是 ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】根据题意可得m2﹣4=0，且m﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣4=0，且m﹣2≠0，
解得：m=﹣2，
故答案为：﹣2．

19．已知抛物线y=﹣x2+2x+2，该抛物线的对称轴是 直线x=1 ，顶点坐标 （1，3） ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．
【解答】解：
∵y=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线对称轴为x=1，顶点坐标为（1，3），
故答案为：直线x=1；（1，3）．

三、解答题
20．解方程：x2﹣2x=x﹣2．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣2x=x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x﹣1）=0，
x﹣2=0，x﹣1=0，
x1=2，x2=1．

21．已知函数y=x2﹣mx+m﹣2．
（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）若函数y有最小值﹣，求函数表达式．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△=m2﹣4m+8，然后配方得△=（m﹣2）2+4，利用非负数的性质得△＞0，于是根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论；
（2）根据二次函数的最值问题得到=﹣，解方程得m1=1，m2=3，然后把m的值分别代入原解析式即可．
【解答】（1）证明：y=x2﹣mx+m﹣2，
△=（﹣m）2﹣4（m﹣2）
=m2﹣4m+8
=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）=﹣，
整理得m2﹣4m+3=0，
解得m1=1，m2=3，
当m=1时，函数解析式为y=x2﹣x﹣1；
当m=3时，函数解析式为y=x2﹣3x+1．

22．如图所示，正方形ABCD的边长等于2，它绕顶点B按顺时针方向旋转得到正方形A′BC′D′．在这个旋转过程中：
①旋转中心是什么？
②若旋转角为45°，边CD与A′D′交于F，求DF的长度．
【考点】旋转的性质．
【分析】①将正方形绕顶点B旋转，故旋转中心为B点；
②由正方形的性质可知∠ABD=45°，由旋转角为45°可知∠ABA′=45°，从而可知点B、A′、D三点在一条直线上，先利用勾股定理求得BD的长，从而可求得A′D的长，在Rt△A′DF中利用勾股定理可求得DF的长度．
【解答】解：①旋转中心为B点．
②如图所示：
∵旋转角为45°，
∴∠ABA′=45°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=45°，∠A′DF=45°．
∴∠ABA′=∠ABD．
∴点B、A′、D三点在一条直线上．
在Rt△ABD中，BD===2．
∵A′D=BD﹣BA′，
∴A′D=2﹣2．
在Rt△A′DF中，DF==4﹣2．

23．已知二次函数y=﹣0.5x2+4x﹣3.5
（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求函数图象与x轴的交点坐标．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质求出对称轴和顶点坐标；
（2）根据题意得到一元二次方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）∵y=﹣0.5x2+4x﹣3.5，
∴y=﹣0.5（x﹣4）2+4.5，对称轴是直线x=4，顶点坐标为（4，4.5）；
（2）﹣0.5x2+4x﹣3.5=0，
解得，x1=7，x2=1，
则函数图象与x轴的交点坐标是（7，0）、（1，0）．

24．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题意列出二次函数，将函数化简为顶点式，便可知当x=14时，所获得的利润最大．
【解答】解：设销售单价定为x元（x≥10），每天所获利润为y元，
则y=[100﹣10（x﹣10）]•（x﹣8）
=﹣10x2+280x﹣1600
=﹣10（x﹣14）2+360
所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元

25．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；根与系数的关系．
【分析】若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b2﹣4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x=﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根．
【解答】证明：（1）∵a=2，b=k，c=﹣1
∴△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+8，
∵无论k取何值，k2≥0，
∴k2+8＞0，即△＞0，
∴方程2x2+kx﹣1=0有两个不相等的实数根．
解：（2）把x=﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1=0
∴k=1
∴原方程化为2x2+x﹣1=0，
解得：x1=﹣1，x2=，即另一个根为．

26．根据下列条件求m的取值范围．
（1）函数y=（m+3）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y=（2m﹣1）x2有最小值；
（3）抛物线y=（m+2）x2与抛物线y=﹣x2的形状相同．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）由当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大，可知m+3＜0，进一步求得m的取值范围即可；
（2）二次函数有最小值，说明抛物线开口向上，即2m﹣1＞0，进一步求得m的取值范围即可；
（3）两个抛物线的形状相同，说明二次项系数相同，即m+2=﹣，求得m的数值即可．
【解答】解：（1）∵函数y=（m+3）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴m+3＜0，
解得m＜﹣3；
（2）∵函数y=（2m﹣1）x2有最小值，
∴2m﹣1＞0，
解得：m＞；
（3）∵抛物线y=（m+2）x2与抛物线y=﹣x2的形状相同，
∴m+2=﹣，
解得：m=﹣．

2017年3月1日