2021-2022学年云南省楚雄彝族自治州双柏县九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2021-2022学年云南省楚雄彝族自治州双柏县九年级上学期数学期中试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
1. 小华在解一元二次方程时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
先把方程左边提公因式分解因式，再转化为两个一元一次方程求解即可．
【详解】解：，
，
或，
，
被漏掉的一个根是，
故选：D．
2. 下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 矩形的对角线互相垂直且平分D. 对角线互相平分的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B、矩形对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．
3. 用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（ ）
A. （x﹣1）2=4B. （x+1）2=4C. （x﹣1）2=16D. （x+1）2=16
【答案】A
【解析】
【详解】移项，得：x2－2x＝3，配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4.
4. 如图，矩形ABCD的长AD=15cm，宽AB=10cm，∠ABC的平分线分AD边为AE、ED两部分，这AE、ED的长分别为（ ）
A. 10cm和5cmB. 11cm和4cmC. 9cm和6cmD. 8cm和7cm
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的性质可得ADBC，AD=BC=15cm，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠AEB=∠ABE，可得AB=AE=10cm，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，AD=BC=15cm，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=10cm，
∴DE=AD-AE=5(cm)，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，掌握矩形的性质是本题的关键．
5. 下列各组中的四条线段成比例的是( )
A. 4cm，2cm，1cm，3cm
B. 1cm，2cm，3cm，5cm
C. 3cm，4cm，5cm，6cm
D. 1cm，2cm，2cm，4cm
【答案】D
【解析】
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【详解】A．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
B．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
C．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
D．从小到大排列，由于，所以成比例，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
6. 准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1，2，3．从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和大于3的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先画出树状图，由树状图可求得两张牌的牌面数字和大于3的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：树状图如下：
∵两张牌的牌面数字和大于3的有6种情况，
∴两张牌的牌面数字和大于3的概率是：．
故选：B．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意首先根据题意画出树状图，然后结合树状图求解是解此题的关键．
7. 已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】据根与系数的关系α+β=5，αβ=-2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】解：∵α，β是方程x2-5x-2=0的两个实数根，
∴α+β=5，αβ=-2，
∴α+β+αβ=5-2=3．
故选C．
【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
8. 如图，在中，是斜边上的高，若，，则的长为（ ）
A. 8B. 10C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】在与中，利用两角对应相等的两个三角形相似，对应边对应成比例，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，且，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形的相似，掌握三角形相似的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9. 四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则______cm．
【答案】4
【解析】
【分析】根据成比例线段的定义，将a，b及c的值代入即可求得d.
【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴即，
代入、、，得，
解得：（cm）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了比例线段，掌握成比例线段的定义是解决问题的关键．
10. 在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为______________m．
【答案】15
【解析】
【详解】解：根据同时同地物高与影长成正比．
设旗杆高度为x米，
由题意得，，
解得x=15．
故答案为15．
11. 若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是________．
【答案】m≥﹣1
【解析】
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1．
故答案为m≥﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
12. 已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是，则它的宽为__________cm．（结果保留整数）
【答案】
【解析】
【分析】黄金比是，即宽与长的比是，且长为，根据比例的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，设宽为，
∴，解方程得，，
∵，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查线段的比例，理解和掌握黄金比的值，比例的性质和应用是解题的关键．
13. 如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．
【答案】∠ADE=∠B或∠AED=∠C或
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法：两角相等，或者两组对应边对应成比例，夹角相等进行解题即可．
【详解】解：如图∵，
∴当∠ADE=∠B或∠AED=∠C或时：△ABC∽△ADE；
故答案为：∠ADE=∠B或∠AED=∠C或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定方法．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
14. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将边AD绕它的端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长为__________．
【答案】或或5
【解析】
【分析】分两种情形：绕A旋转或绕D旋转，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=5，∠ABC=∠DCB=90°，
当AD绕A旋转，AD==5时，，
∴C=1，C=9，
∴，，
当AD绕D旋转时，，
综上所述，满足条件的DE的值为或3或5，
故答案为：或3或5．
【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共9个小题，满分70分）
15 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）直接根据因式分解法解一元二次方程；
（2）先将一元二次方程化成一般式，再利用因式分解法解一元二次方程．
【小问1详解】
解：
解：
解得：，
【小问2详解】
解：
解：
解得： ，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
16. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DEBC，AD = 2，BD = 3，DE = 4， 求BC的长．
【答案】10
【解析】
【分析】通过平行关系得出同位角相等，然后根据两个角对应相等判定两个三角形相似，通过相似三角形的性质计算长度即可．
【详解】如图，∵ DEBC
∴ ∠ADE =∠B，∠AED =∠C，
∴ △ADE∽△ABC
∴
∴
∴ BC = 10
∴ BC的长为10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查相似三角形判定和性质的知识点，熟记相似三角形的判定定理和性质是解题的关键．
17. 已知：关于的一元二次方程
（1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根：
（2）若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为3，当为等腰三角形时，求的值及的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）m=1，△ABC的周长为7．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求证即可；
（2）由题意可知分两种情况进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形的三边关系求解即可．
【详解】（1）证明：∵a＝1，b＝－(3m＋1)，c＝2m2＋m，
∴△＝(3m＋1)2－4(2m2＋m)＝m2＋2m＋1＝(m+1)2≥0
所以无论 m取何值，这个方程总有实数根；
（2）设方程的两根为x1，x2．
①当3为底边时，则两腰的长是方程的两根；∴△＝ (m+1)2＝0，m＝－1
x1＋x2＝3m＋1＝3×（－1）＋1＝－2＜0
∴此种情况不合题意，舍去．
②当3为腰时，则x＝3，把x＝3代入方程 x2－(3m＋1)x＋2m2＋m＝0得
9－3(3m＋1)＋2m2＋m＝0，解得m1＝1， m2＝3
当 m＝1时， x1＋x2＝3m＋1＝4，△ABC的周长为7
当 m＝3时， x1＋x2＝3m＋1＝10，此时腰长为3，底为7，3＋3＜7，此种情况不合题意，舍去；
综上所述：m=1，△ABC的周长为7．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形的三边关系，关键是根据一元二次方程根与系数的关系得到字母参数的关系式进行求解即可．
18. 如图，四边形ABCD是菱形，点E，F在对角线AC上，且．
（1）求证：；
（2）求证：四边形DEBF是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，可求得，，进而可证；
（2）由，可求得，，则四边形DEBF是平行四边形，由四边形ABCD是菱形，，进而可证，然后根据全等三角形的性质可证四边形DEBF是菱形．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴，
在和中，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形DEBF菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定等，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键．
19. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
【答案】（1）两次下降的百分率为10%
（2）每件商品应降价2.5元
【解析】
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可．
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，有销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【小问1详解】
解：设每次降价的百分率为x．
，
即：，
x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去），
答：两次下降的百分率为10%；
【小问2详解】
解：设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，
由题意，得（40－30－y）（4×2y+48）＝510，
化简得：，
解得：，，
∵有利于减少库存，
∴y＝25．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
20. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
21. 某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ；
（4）已知“不合格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率多少？
【答案】（1）；（2）补全条形统计图见详解；（3）510；（4）
【解析】
【分析】（1）由乘以“优秀”的人数所占的比例即可；
（2）求出这次调查的人数为：(人)，得出及格的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，则由概率公式计算即可．
【详解】解：（1）在这次调查中，“优秀”
所在扇形的圆心角的度数是：，
故答案为：；
（2）这次调查的人数为：(人)，
则及格的人数为：(人)，
补全条形统计图如下：
；
（3）估计该校“良好”的人数为：
(人)，
故答案为：510人；
（4）画树状图如图：
，
共有6种等可能的结果，
抽到两名都是男生的结果有2种，
∴抽到两名都是男生的概率为．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题是注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
22. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）4.9
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=169，
∴DE=AE－AD=4.9．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23. 如图,已知四边形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC =10cm,
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t＜2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;
(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm ,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止.设点P运动了t 秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）t=4秒或1.6秒或5.5秒.
【解析】
【分析】（1）先根据一对对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明∠B＝90°，得出四边形ABCD是矩形；
（2）先过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，判定△ABP∽△BMQ，得出，即，求得t的值即可；
（3）分为三种情况讨论：当CQ＝CP＝4cm时，当PQ＝CQ＝4cm时，当QP＝CP时，分别根据等腰三角形的性质，求得BP的长，进而得到t的值．
【详解】证明：（1）∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，
∴AB2＋BC2＝100，AC2＝100，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，
则CQ＝5t，QM＝3t，CM＝4t，MB＝8－4t，
∵∠NAB＋∠ABN＝90°，∠ABN＋∠NBP＝90°，
∴∠NAB＝∠NBP，且∠ABP＝∠BMQ＝90°，
∴△ABP∽△BMQ，
∴，
即，
解得t＝；
（3）分为三种情况：①如图1，
当CQ＝CP＝4cm时，
BP＝8－4＝4cm，
即t＝4秒；
②如图2，
当PQ＝CQ＝4cm时，过Q作QM⊥BC于M，
则AB∥QM，
∴，
∴，
∴CM＝3.2（cm），
∵PQ＝CQ，QM⊥CP，
∴PC＝2CM＝6.4cm，
∴BP＝8cm－6.4cm＝1.6cm，
∴t＝1.6s；
③如图3，当QP＝CP时，过P作PN⊥AC于N，
则CN＝CQ＝2，∠CNP＝∠B＝90°，
∵∠PCN＝∠BCA，
∴△PCN∽△ACB，
∴，
∴，
∴CP＝2.5cm，
∴BP＝8cm－2.5cm＝5.5cm，
t＝5.5s，
即从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形，即t＝4秒或1.6秒或5.5秒.
【点睛】本题以动点问题为背景，主要考查了四边形的综合应用，解决问题时需要运用矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，解题时注意分类思想的运用．