呼和浩特第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份呼和浩特第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集，集合，，则( )
A.B.C.D.
2．命题“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
3．若，，成等差数列，则( )
A.B.C.D.
4．设a，b，c为实数，且，则下列不等式正确的是( )
A.B.C.D.
5．设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为( )
A.B.C.D.
6．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为( )
A.B.C.D.
7．已知函数的图象关于对称，且对，，当且时，恒成立.若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且点P、Q关于原点对称，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知数列的前n项和为,，且，则下列说法中正确的是( )
A.B.C.是等比数列D.是等比数列
10．下列说法正确的是( )
A.已知等比数列是递增数列，q是其公比，则
B.数列的前n项和为，，A、B为常数.对任意常数A、B，都是等差数列
C.设，，，则的最小值为
D.设，，，则的最小值为9
11．已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则( )
A.
B.函数的一个周期为4
C.
D.
三、填空题
12．__________.
13．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________.
14．函数与函数公切线的斜率为__________.
四、解答题
15．已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
16．已知为正项数列的前n项和，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为.
17．已知函数.
（1）若，求在区间上的极值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求证：.
18．若正整数m,n最大公约数为1，则称m,n互质.对于正整数k,是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，称为欧拉函数.例如,.设数列是等比数列，且.数列的前n项和为，满足.
（1）求,的通项公式；
（2）设，求的前2024项和（结果用m表示，数字用分数）；
（3）证明：
19．已知函数.
（1）在的切线斜率为2，求a；
（2）当时，
①，证明：；
②判断的零点个数，并说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：，，，故,
，
故选：C.
2．答案：B
解析：命题"，"的否定是"，"，故选：B.
3．答案：B
解析：因为、、成等差数列,所以,即.故选B.
4．答案：D
解析：对于A，令，，，，此时，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，令，，，，此时，故C错误；
对于D，，且，即，故D正确
5．答案：A
解析：由图可得：时,，单调递增,则,所以,时,，单调递减,则,所以,因为是定义在上的奇函数,所以当时,，单调递减,则,所以,时,，单调递增,则,所以,综上：的解集为.故选:A.
6．答案：C
解析：设题设函数为,由图可知0,若,但此时,矛盾,故可排除D;
由的图象得为奇函数,由于为偶函数,所以排除A;
当时,的值为0,所以排除B.
故选C.
7．答案：A
解析：解析:函数的图象关于直线对称,
函数的图像关于y轴对称,即为偶函数.
又当且时,恒成立,
在区间上单调递减,
在区间上单调递增.
,，
即，恒成立.
令,则在区间上恒成立.
令，当,
即时,在区间上单调递增,
符合题意;
当,即或时,
应满足,解得且,
此时a的取值范围为或.
综上,a的取值范围是.
故选项A符合题意.
8．答案：B
解析：由题意可知，函数上存在点Q关于原点的对称点P在函数的图象上,
可以转化为函数关于原点对称的函数与的图象有交点，函数关于原点对称的函数为,即，所以，与在上有交点，
由得，设，即与在上有交点，
，令，得，所以在上单调递增，令，得，所以在上单调递减，
所以，，又由，
,
，所以
，
所以要想有交点，a的取值范围为，
故选：B.
9．答案：ABD
解析：，且
,又，，A选项正确;
又，，
，
又，，不是等比数列，C选项错误;
，
,
又，
是以首项为,公比为3的等比数列,D选项正确；
,,
，B选项正确.
故选:ABD.
10．答案：AD
解析：对于A，因为等比数列是递增数列，所以且，即，且所以,且,所以，所以A正确；
对于B，因为，所以，
当时，，所以当时，不满足，
所以数列不一定是等差数列，所以B错误；
对于C，因为，所以
当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以C错误；
对于D，因为，，，
所以
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为9，所以D正确.
故选：AD
11．答案：BCD
解析：对于A，因为为R上的奇函数，所以，所以，
因为，所以，所以A错误，
对于B，令，因为，
所以，所以,所以为偶函数，
因为为R上的奇函数，所以,即.
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以
所以是以4为周期的周期函数，即函数的一个周期为4，所以B正确，所以所以，所以C正确；
对于D，因为，，
所以,所以，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
,所以D正确.
故选：BCD
12．答案：12
解析：易知
故答案为:12.
13．答案：
解析：函数在上单调递增,
在上单调递增,且大于0恒成立,
则,解得.
a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：1或e
解析：不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为；
易知，，
因此公切线斜率为，因此，
可得，即
又易知，整理可得，
即，即，解得或；
因此可得斜率为或.
故答案为：1或e
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1），
解得，所以，
所以，
当时，，
所以；
（2）因为”“是“”的充分不必要条件，则，
因为，
则对任意的恒成立，
令，
所以，即，
解得或，
所以m的取值范围为
16．答案：（1）；
（2）；
解析：（1）由题意知：，①
当时，，②
①-②可得，，
，，，
当时，，即，
又，，
解得或（舍去），
，从而，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，
数列的通项公式为；
（2）证明：由（1）知，
，
，
，则，，
即，又数列单调递增，
数列是一个递增数列，
，
综上所述：.
17．答案：（1）在区间上有极小值，无极大值；
（2）答案见解析；
（3）证明见解析
解析：（1）当时，，
，列表；
在区间上有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为,，
当时，，从而，
故函数在上单调递减；
当时，若，则，从而；
若，则，从而，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
所以最小值为，只需证明：
构造函数，容易证得.
18．答案：（1）；；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）由可得,；
又因为数列是等比数列,设的公比为q,可得,
因此；所以,即；
可得；
即;
当时,满足上式,
即可得；
所以，的通项公式分别为,
.
（2）由（1）可知,
设;
，
两式相减可得
即
所以
(3)设,即可得,
当时,,原不等式成立;
当时,
即可得,
所以
即.
19．答案：（1）；
（2）①证明见解析；
②在上有两个零点，理由见解析
解析：（1）由可得
可得,解得.
（2）当时,,其定义域为；
可得；
①证明:当时,令
则
则
因此可知在上单调递增,即，
因此,可得在上单调递増,
所以,即在上单调递增,
因此,
即可得时,.
②由，可知在上单调递增,
易知当x趋近于-1时,趋近于,又，
根据零点存在定理可得在上存在唯一零点,
设，，
即可得时,,
时,,
所以在上单调递减,在上单调递增，
因此,
当x趋近于时,趋近于,
令,，所以在上单调递増,上单调递减,上单调递增,即可得,
当x趋近于时,趋近于，即可得在上有唯一零点,且
即的一个零点为0,上无零点,综上可知,在上有两个零点.
x
1
-
0
+
单调递减
极小
单调递增