芜湖市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份芜湖市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为( )
A.0B.1C.2D.无数个
2．下列命题一定正确的是( )
A.一条直线和一个点确定一个平面
B.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行
C.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D.若直线l与平面平行,则直线l与平面内任意一条直线都没有公共点
3．已知向量与向量不共线,若向量与向量共线,则实数的值为( )
A.2或B.或1C.2D.任意实数
4．如图,E,F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点,分别连接BE,CF,并延长交于点O,连接OA,OD,则( )
A.B.C.D.
5．如下图,已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形ABCDE（见图1）的直观图即五边形,且保持坐标轴上的单位长度不变,其中各点的作法可能正确的为( )
A.,,B.,,C.,,D.,,
6．已知向量,,若,则与夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．在正方体中,E,F分别为棱,的中点,则直线AF与直线DE所成角为( )
A.B.C.D.
8．已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,下列关于的形状判断一定正确的为( )
A.,则为直角三角形
B.,则为等腰三角形
C.,则为直角三角形
D.,则为等腰三角形
二、多项选择题
9．以下关于平面向量,,的命题错误的是( )
A.若,则B.若,则
C.D.若与都是单位向量,则
10．如图,透明塑料制成的长方体内灌进一些水,固定容器底面一边BC于水平地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度不同,下面四个命题中正确的是( )
A.水面EFGH所在四边形的面积为定值
B.棱始终与水面所在平面平行
C.当时,是定值
D.当容器倾斜如图（3）所示时,是定值
11．已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,以下四个命题正确的是( )
A.若,,且该三角形有两解,则b的范围是
B.若,则点O为的外心
C.若为锐角三角形,则
D.存在三边为连续自然数的三角形,使得最大角是最小角的两倍
三、填空题
12．化简____________.
13．如图，已知两座山的海拔高度米，米，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的仰角为，以及，则M，N间的距离为米________.（结果保留整数，参考数据）
14．已知在正三棱台中,,D,E,F分别为棱,,的中点,平面BCD,平面ACE与平面ABF交于点.记和分别表示三棱锥和三棱锥的体积,则____________.
四、解答题
15．如图,在四棱锥中,底面ABCD为菱形,E为PD的中点,,,垂足为F,且.
（1）求证:平面ACE;
（2）求证:平面ABCD.
16．已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,且.
(1)求A;
(2)若,,求B.
17．如图,在四边形ABCD中,,,,且,,若P,Q为线段AD上的两个动点,且.
（1）当P为AD的中点时,求CP的长度;
（2）求的最小值.
18．如图,在三棱锥中,,,
其中D,E,F,M分别是PA,PB.PC,AB的中点.
（1）求证:平面PAC;
（2）求点D到平面ACE的距离;
（3）求直线FM与平面ACE所成角的正弦值.
19．平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以x轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点A按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题：
（1）若，，，求向量的坐标；
（2）用向量法证明余弦定理；
（3）如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标.
参考答案
1．答案：B
解析：与已知直线垂直的不同的平面都互相平行,其中过空间一定点的且与已知直线垂直的有且只有一个.
故选:B
2．答案：D
解析：对于A：推论1：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面,故A错误;
对于B：如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行或在此平面内,故B错误;
对于C：垂直于同一条直线的两条直线互相平行或异面或相交,故C错误;
对于D：若直线l与平面平行,则直线l与平面无公共点,故D正确.
故选：D.
3．答案：A
解析：因为向量与向量共线,
所以存在实数,使得成立,
即,,又向量与向量不共线
所以,消去t可得,解得或.
故选:A.
4．答案：C
解析：由题意知,,
由,得,所以,,
在中,,
即,
即,整理得.
故选:C
5．答案：C
解析：斜二侧画直观图时,平行或与x轴重合的线段长度不变,则CD,PQ长度不变,
平行或与y轴重合的线段长度减半,则OA减掉一半,线段PB,PC,QE,QD对应线段也会缩小,
如图所示:
所以P,C,D,Q的对应点,,,画对了,A,B,E的对应点,,画错了.
故选:C.
6．答案：A
解析：因为,所以,即.
因为,,
所以.
故选:A.
7．答案：D
解析：直线AC与BD相交于点O,取的中点Q,CF的中点M,BE的中点N,
连接AE,ON,OM,MN,QN,QM,OF,如图所示:
在中,O,N分别是BD,BE的中点,所以且,
在中,O,M分别是AC,CF的中点,所以且,
于是,异面直线AF与DE所成的角为或的补角.
设正方体的棱长为4,
则,,,
,,
因为,所以,
又因为,所以,即,
在中,,所以.
于是异面直线AF与DE所成的角为.
故选:D.
8．答案：C
解析：对于AB,当时,由正弦定理可得,即,
因为,所以,
所以,即,得,
所以,则,
于为直角三角形或钝角三角形,故AB错误;
对于CD,当时,由,
得,
整理得,
由正弦定理,,（R是外接圆的半径）
由余弦定理,,即,
解得或,即,
解得或,故为直角三角形,故C正确,D错误;
故选:C.
9．答案：ABD
解析：根据数量积关于向量加法的分配律可知,故C正确.
在平面直角坐标系中令,,.
由,,知A错误;
由,,知B错误;
由,,,知D错误.
故选:ABD.
10．答案：BCD
解析：对选项A,因为平面,平面,则,
且,则,即EFGH为矩形,
又因为水面所在四边形的面积,
从图中可以发现,边长FG不变,而另外一条长随着倾斜程度变化而变化,
所以EFGH所在四边形的面积是变化的,故A错误.
对选项B,因为,水面EFGH,水面EFGH,
所以水面EFGH正确,故B正确;
对选项C,若,,由于水的形状成棱柱,
且水的体积是定值,高不变,所以底面ABFE面积不变,
又在矩形中,四边形的面积为是定值,
因为AB为定值,所以是定值,故C正确.
对选项D,因为水的体积是不变的,所以三棱柱的体积也不变.
又因为三棱柱的高为BC,随着倾斜度不同,始终不变.
所以直角的面积也不变,即是定值,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：BCD
解析：对于A:因为该三角形有两解,所以,即,故A错误;
对于B:中,AB,BC,AC的中点分别为D,E,F,如图:
由得,即,
所以OD是AB的垂直平分线,则,
同理可得,,则,
所以点O为的外心,故B正确;
对于C:因为为锐角三角形,
所以,当时,,又在上单调递增,
于是,即,
同理,可得,,
综上可知,,故C正确;
对于D:设三边长为,n,,n为大于1的正整数,对角分别为A,B,C,
若,从而,
而,,
所以,解得（舍去）,
所以存在三边为连续自然数4,5,6的三角形,使得最大角是最小角的两倍,故D正确.
故选:BCD.
12．答案：或
解析：由题意知,.
故答案为:
13．答案：249
解析：由题意知，米，米，
在中，由余弦定理得
米，
即M，N的距离为249米.
故答案为：249
14．答案：
解析：设,
延长三条侧棱,,相交于点P,点P在平面ABC的射影为,
设BC的中点为N,连接DN交于点O,如图所示:
设三棱锥的高,点D到平面ABC的距离为DM,
因为,为的中点,,
所以,即,,
连接AN,则,,
,,
因为,所以,
则,即.
于是,
三棱锥的高等于,,
,
.
故答案为:.
15．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）如图,连接BD,交AC于点O,连接OE,则,
又平面ACE,平面ACE,所以平面ACE;
（2）由（1）知且,
又,所以F为AO的中点,因为,
所以为等腰三角形,则,又,
所以,连接OP,则,
又,,PO,平面PAC,
所以平面PAC,而平面PAC,
则.
因为,,所以,即,
又,AD,平面ABCD,
所以平面ABCD.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1),
由正弦定理得,,
由得,,即,
所以,又,
得;
(2)由(1)知,,
所以,由余弦定理得,
,即,得,
所以,
得,
当时,,,此时,
所以为直角三角形,;
当时,,,此时,
所以为直角三角形,,则.
综上,或.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,得,
因为,,,所以,
又,
所以;
（2）设,,
则,
,
所以
,
当时,取到最小值,且为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）由于,,故,.
而PC和AC在平面PAC内交于点C,故平面PAC.
（2）由于D是PA的中点,故点D到平面ACE的距离等于点P到平面ACE的距离的一半.
而E是PB的中点,所以.
而,且由
,
可知.
故,
从而.
设点P到平面ACE的距离为,则,故.
所以点D到平面ACE的距离是.
（3）
设G为AC的中点,以C为原点,,,分别作为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.
则,,,,.
故,,.
设是平面ACE的法向量,则,故,解得.
从而直线FM与平面ACE所成角正弦值等于.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1），，，则，
.
（2）设，，，，
，
所以，
同理可得，.
（3）设，又，，则，，
由，，
，
，
得，，
所以DE的中点坐标为.