江苏省南通市海安市孙中、紫中等2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江苏省南通市海安市孙中、紫中等2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算的结果是( )
A. B. C. D.
2.如图，在▱中，平分交于点，若，，则▱的周长是( )
A. B. C. D.
3.下列计算，正确的是( )
A. B. C. D.
4.在中，，，的对边分别是，，下列条件中，不能判定是直角三角形的是( )
A. B. ：：：：
C. ：：：：D. ，
5.下列二次根式中，与能合并的是( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形的对角线和相交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点，，那么一定有( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
8.小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形如图所示若的长度为，则菱形的面积为( )
A. B. C. D.
9.如图，下列条件之一能使▱是菱形的为( )
；
平分；
；
；
A. B. C. D.
10.如图，，，点是射线上的一个动点，，垂足为点，点为的中点，则线段的长的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
12.如图，矩形的对角线，相交于点，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是______写出一个条件即可．
13.将直线向上平移个单位，得到的直线为______．
14.在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是______．
15.已知点，在一次函数的图象上，且，则的值可以是______写出一个即可．
16.▱中，，则______．
17.如图，在中，，，，平分交于点点为的中点．在上有一动点，则的最小值是______
三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算：．
．
19.本小题分
如图，在▱中，点、在对角线上，且，连接、、、求证：四边形是平行四边形．
20.本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为，点，，，均在格点上．
判断的形状，并说明理由；
求四边形的面积．
21.本小题分
如图，在中，，点，，分别为，，的中点．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．
22.本小题分
已知一次函数为常数且的图象经过点和轴上一点，且与平行．
求一次函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
当时，请结合图象，直接写出的取值范围______；
若点在直线上，且的面积等于，求点的坐标．
23.本小题分
如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
求整齐摆放在桌面上饭碗的高度与饭碗数个之间的一次函数解析式；
把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
24.本小题分
在平面直角坐标系中，点和点在一次函数的图象上．
若，，，求该一次函数的解析式；
已知点，将点向左平移个单位长度，得到点．
求点的坐标；
若，一次函数的图象与线段有公共点，求的取值范围．
25.本小题分
已知正方形，是对角线的延长线上一点．
连接，过点作的垂线交的延长线于点．
依据题意，补全图形；
判断线段与的数量关系，并证明；
在的条件下，过点分别作线段、射线的垂线，垂足分别为点、点，线段与线段于点，连接请你判断线段、和之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.
解析：解：．
故选：．
直接根据化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：．
2.
解析：解：四边形是平行四边形，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
▱的周长．
故选：．
由平行四边形的性质得，，再证，则，进而得出的长，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证得是解此题的关键．
3.
解析：解：、，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法，乘法，除法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.
解析：解：、，
，
是直角三角形，
故A不符合题意；
B、：：：：，，
，
不是直角三角形，
故B符合题意；
C、：：：：，
设，，，
，，
，
是直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
5.
解析：解：、，不能与合并，则此项不符合题意；
B、，不能与合并，则此项不符合题意；
C、，不能与合并，则此项不符合题意；
D、，能与合并，则此项符合题意；
故选：．
化简二次根式，找出与是同类二次根式的即可．
本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．
6.
解析：解：，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故选项A不合题意；
，，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，故选项B不合题意；
，，
四边形为平行四边形，故选项D不合题意；
故选：．
利用选项中的条件依次证明，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.
解析：解：函数图象经过第一、三象限时．
当，时，与均在第一象限，
不符合经过不同象限的两点，
选项A不符合题意．
当，时，在第一象限，在第二象限，
不符合图象经过第一、三象限时．
选项B不符合题意．
当，时，在第四象限，在第一象限，
不符合函数图象经过第一、三象限或第二、四象限．
选项C不符合题意．
当，时，在第四象限，在第二象限，
符合函数图象经过第二、四象限．
选项D符合题意．
故选：．
首先，根据正比例函数图象的性质，可得函数图象经过的象限为第一、三象限或第二、四象限，再根据象限内点的坐标的特征，可得每个选项的点所在的象限，然后和正比例函数图象经过象限作比较即可．
本题考查了正比例函数的图象和性质和象限内点的坐标的特征，确定出正比例函数图象经过的象限是解题的关键，
8.
解析：解：过作于，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
菱形的面积．
故选：．
过作于，由四边形是菱形，得到，又，推出是等边三角形，求出，即可求出菱形的面积．
本题考查菱形的面积，等边三角形的判定和性质，菱形的面积，关键是由菱形的性质，推出是等边三角形．
9.
解析：解：四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形；
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形；
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形；
综上所述，能使▱是菱形的为，
故选：．
由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
10.
解析：解：，
，
点为的中点，
，
当时，的值最小，
即线段的值最小，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故线段的长的最小值为，
故选：．
根据直角三角形的性质得到，当时，的值最小，即线段的值最小，推出是等腰直角三角形，得到，求得，于是得到结论．
本题考查了垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形的性质，正确地得出当时，的值最小是解题的关键．
11.
解析：解：式子在实数范围内有意义，则，
故实数的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
12.答案不唯一
解析：解：这个条件可以是答案不唯一，
理由：四边形是矩形，，
四边形是正方形，
故答案为：答案不唯一．
根据正方形 的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
13.
解析：解：将一次函数向上平移个单位，所得图象的函数解析式为：
故答案为：．
根据“上加下减”的平移规律填空．
本题考查了一次函数图象与几何变换．直线平移变换的规律：对直线而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减．
14.
解析：解：根据图象可知：两函数的交点为，
所以关于的一元一次不等式的解集是．
故答案为：．
写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15.答案不唯一
解析：解：点，在一次函数的图象上，且，
，
可以是答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
由时，，根据一次函数的增减性，得到，即可得到答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．
16.
解析：解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，再求出，即可求出的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
17.
解析：解：根据如图坐标系：
由题意：，，
直线的解析式为，
平分，
直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为的长，
，
的最小值为，
故答案为．
构建如图坐标系，利用一次函数构建方程组求出点、坐标，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为的长；
本题考查轴对称最短问题、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，利用一次函数解决问题，属于中考常考题型．
18.解：

；



．
解析：先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算减法，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.证明：连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形．
解析：由平行四边形的性质可求，，可得，即可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
20.解：为直角三角形，
理由：由题意得：，
，
，
，
为直角三角形，
；
在中，，，
；
在中，，，

，
四边形的面积为．
解析：根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；
利用的结论可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
21.证明：，分别是，的中点，
且．
同理且．
又，
，
四边形是菱形．
解：，，点，，分别为，，的中点，
，，
，
菱形的面积为．
解析：由题意易得且，且结合已知推导出，从而证明四边形是菱形；
依据点，，分别为，，的中点，分别求出、，然后根据菱形的面积解答即可．
此题主要考查菱形的判定及性质以及三角形中位线定理等，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
22.
解析：解：一次函数为常数且的图象与平行，
，
，
经过点，
，
，
一次函数的表达式为，如图，
；
当时，；时，，
当时，的取值范围是．
故答案为：；
设直线交直线于点，
把代入得，，
解得，
，
把代入得，，
，
的面积等于，
，即，
，
或．
利用待定系数法即可求解；
求得和时的函数值，结合图象即可求得；
设直线交直线于点，由直线求得、的坐标，然后根据三角形面积公式得到，即，求得，即可求得或．
本题是两条直线平行问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数的性质，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23.解：设．
由图可知：当时，；当时，．
把它们分别代入上式，得
解得，．
一次函数的解析式是是正整数．
当时，．
即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是．
解析：本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．
可设，因为由图示可知，时；时，，由此可列方程组，进而求解；
令，求出相应的值即可．
24.解：当，，时，点和点在一次函数上，

解得
一次函数的解析式．
点，
将点向左平移个单位长度，得到点；
把点和点代入中，
得，．
，
，
解得，
一次函数的解析式为．
当直线经过点时，，
解得．
当直线经过点时，，
解得．
综上所述，的取值范围是．
解析：利用待定系数法求得即可；
根据平移的规律即可求得；
把点和点代入得到，由，得到，解得，然后分别代入点、求得的值，即可求得的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化平移，熟知待定系数法是解题的关键．
25.解：补全图形如下：

，证明如下：
过作，交延长线于，过作于，如图：

四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
；
，理由如下：
延长，交于，延长交于，如图：

同可得，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
．
解析：根据题意补全图形即可；
过做，交延长线于，过做于，证明≌，即可得到；
延长，交于，延长交于，同理可得，根据四边形是正方形，知是等腰直角三角形，，从而可得，而，即可得．
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．