福建省泉州市南安市“四校联盟”2024届九年级下学期3月中考模拟（一）数学试卷(含解析)

这是一份福建省泉州市南安市“四校联盟”2024届九年级下学期3月中考模拟（一）数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了考试结束，考生必须将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4．考试结束，考生必须将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2024年春节，泉州文旅市场“热辣滚烫”！短短的8天时间，这座古城共接待旅游人数8181200人次，实现旅游收入80.18亿元，两项数据均稳居全省首位．将8 181 200用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：．
故选B．
2. 下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：.A、圆锥俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；
B、长方体的俯视图均为矩形，故本选项错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故本选项正确；
D、四棱锥的俯视图是四边形，故本选项错误；
故选C.
3. 若对角线相交于点O，点E是中点，若，则长为（ ）
A 3B. 6C. 9D. 12
答案：B
解析：解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
4. 下列事件中，属于必然事件是（ ）
A. 任意购买一张电影票，座位号是偶数
B. 梦到醒来会下雨，醒来后发现窗外在下雨
C. 解锁手机，提示微信收到了新消息
D. 五个人分成四组，且每组都有人，则这四组中有一组必有2人
答案：D
解析：解：A．任意购买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．梦到醒来会下雨，醒来后发现窗外在下雨是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．解锁手机，提示微信收到了新消息是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．五个人分成四组，且每组都有人，则这四组中有一组必有2人是必然事件，因此选项D符合题意；
故选：D．
5. 已知点，则P点关于x轴对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：点关于x轴对称点的坐标是．
故选A．
6. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，则的周长为（ ）
A. 11B. 13C. 16D. 17
答案：A
解析：解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故选：A．
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABD=35°，∠ACB=45°，则∠BAD等于（ ）
A. 100°B. 90°
C. 80°D. 70°
答案：A
解析：解：∵∠ABD=35°，
∴∠ACD=∠ABD=35°，
∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=80°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BAD=100°，
故选A．
8. 周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图．钓鱼竿的长为m．露在水面上的鱼线的长为m，刘老师想看看鱼钩上的情况．把鱼竿逆时针转动15°到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（ ）
A. mB. mC. mD.
答案：C
解析：解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9. 已知抛物线y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧，当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，点P是抛物线上的点，设P的纵坐标为t，若t≤3，则m的取值范围是（ ）
A. m≥B. ≤m＜3C. m＜3D. 1≤m＜3
答案：B
解析：解：∵抛物线y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴m＜3，
∵当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，
∴，
∴1≤m，
∵y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3＝－（x＋m－3）2－6m＋12，抛物线上的点P的纵坐标t≤3，
∴当x＝3－m时，y≤3，
即－6m＋12≤3，
∴m≥，
综上所述，满足条件的m的值为≤m＜3．
故选：B．
10. 如图，点A是双曲线y=上一点，过A作AB∥x轴，交直线y=-x于点B，点D是x轴上一点，连接BD交双曲线于点C，连接AD，若BC：CD=3：2，△ABD的面积为，tan∠ABD=，则k的值为（ ）
A. -B. -3C. -2D.
答案：C
解析：如图，作BH⊥OD于H．延长BA交y轴于E．
∵AB∥DH，
∴∠ABD=∠BDH，
∴tan∠ABD=tan∠BDH=，设DH=5m，BH=9m，则BH=BE=9m，OD=4m，
∴C（-6m，m），
∴A（-m，9m），
∵△ABD的面积为，
∴m×9m=，
∴m2=，
∴k=-6m×m=-2，
故选C．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 分解因式：_____．
答案：
解析：，
故填
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B坐标为（4，3），则tan∠AOB的值为___．
答案：
解析：解：做BC⊥x轴于点C，
∵点B坐标为（4，3），
∴OC=4，BC=3，
∴．
故答案为：
13. 湿地公园有A、B、C三个入口，周末小林与小周随机从一个入口进入该公园，则小林与小周恰好从同一个入口进入该公园的概率是________．
答案：
解析：解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小林与小周从同一个入口进入公园的结果有3种，
他们从同一个入口进入公园的概率为，
故答案为：．
14. 若有意义，则x的取值范围是_____．
答案：且
解析：解：由题意得，x≥0且x﹣3≠0，
解得x≥0且x≠3．
故答案为：x≥0且x≠3．
15. 如图，在扇形中，，半径交弦于点，且，若，则图中阴影部分的周长为______（结果保留）．

答案：##
解析：解：，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
∴
∵
∴图中阴影部分的周长为，
故答案为：．

16. 正方形边长为，点是线段上的一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形，则线段取得最小值时，的长为_________．
答案：##
解析：解：如图所示，将点绕点逆时针旋转，连接，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，
，
，
∴，，
当时，的值最小，
∵点绕点逆时针旋转，，
∴是等边三角形，则，，且，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
答案：
解析：解：原式．
18. 如图，在中，平分，，求证：四边形是菱形．

答案：见解析
解析：证明：∵平分，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
19. 先化简，再求值：，其中a＝．
答案：，．
解析：解：
原式

.
当a＝时，
原式＝.
20. 为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3．
（1）求x的值；
（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
答案：（1）x=84；（2）从统计的角度考虑，派甲参赛比较合适，理由见解析；从概率的角度考虑，派乙参赛比较合适，理由见解析．
解析：解：（1）依题意，可知
甲的中位数为，乙的众数为80，
∴，
解得x=84．
（2）解法一：派甲参赛比较合适．
理由如下：
，
，
，
，
因为，，
所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
解法二：派乙参赛比较合适．
理由如下：
从概率的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率，
乙获得85分以上（含85分）的概率，
因为P1＜P2，
所以派乙参赛比较合适．
21. 如图，，．

（1）求作及，满足为等边三角形，，其中，点，与点在的同侧；（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，求的度数．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
解：如图所示：

，，
，
延长，尺规作图，
及即为所求；
小问2解析：
解：连接，，，如图所示：

，
，，，
，
，，三点共线，
．
22. 如图，中，，以为直径作，D为上一点，连接交于点E，连接，，，且．

（1）求证：；
（2）若D为弧的中点，求．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：如图，连接并延长交于点H，则：，

在和中，
，
∴．
∴．
∴．
∵为直径，
∴．
∴．
小问2解析：
解：∵D为中点，为直径，

∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
设，
∴．
∴．
在中，，
∵，
∴，
∴．
23. 茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元．
（1）A，B两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？
答案：（1）A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元
（2）采购A种茶具30个，B种茶具50个可获得最大利润为1900元
小问1解析：
解：（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元．
根据题意，得
解得，
∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元．
小问2解析：
解：再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为（元），B种茶具每套进价为（元）．
设购进A种茶具x套，则购进B种茶具套．
根据题意，得，
解得；
设获得的利润为W元，则，
∵，
∴W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W的值最大，，此时购进B种茶具（套），
购进A种茶具30套、B种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元．
24. 《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题∶知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”）
其文如下：
题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？
答：方三步，十七分步之九．
术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下∶
问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？
答案：
解法：
（1）问题探究
根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；
（2）类比探究
“勾股容圆”：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的内切圆的半径是多少？
（3）拓展运用
某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示，其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．
今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆，该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为，考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，D四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为，去年的规划方案是否可行？请说明理由．
答案：（1）命题：如果直角三角形的两条直角边分别为，，那么该直角三角形的“句容正方形”的边长是；证明见解析：；
（2）2；
（3）去年的规划方案可行，理由见解析：．
解析：（1）解：命题：如果直角三角形的两条直角边分别为，，那么该直角三角形的“勾容正方形”的边长是；
已知：如图，在中，，，，四边形是正方形，且点，，分别在边，，上，
求证：．
证明：如图1，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
（2）由题意得，在中，，，是的内切圆，求的半径，
解：如图，过点O分别作的垂线，垂足为D、F、E，连接，
设的半径为r，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）去年的规划方案可行，理由如下：
设菱形场地的两条对角线长分别为米，米，
由题意得：，化简得：，
如图3，若正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，且，点在线段上，则是的“句容正方形”的边长，
由（1）得：米，
如图4，是中点，
米，
四边形是正方形，
米，，
，
在中，米，
，，
是中点，
米，
如图4，延长，交于点，
，
，
，
，
，，
在中，，
米，
米，
，
，
在中，，
米，
所以去年的规划方案可行．
25. 抛物线：交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）如图（1），作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于O，G两点，过的中点H作直线MN（异于直线）交抛物线于M，N两点，直线与直线交于点P，问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
答案：（1）对称轴：直线，顶点坐标
（2）2或
（3）是，
小问1解析：
将变形得：，
∴抛物线的对称轴为直线，
顶点坐标为；
小问2解析：
是直线与抛物线的交点，
，
①如图，若时，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如图，若时．过作轴于点．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．
综上，符合题意的的值为2或．
小问3解析：
∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，
∴，
∵直线的解析式为，
∴联立直线与解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．
联立，得，
解得：．
∵直线与相交于点，
．
设点在直线上，则，①
整理得，，
比较系数得：，解得：，
∴当时，无论为何值时，等式①恒成立．
∴点在定直线上．
甲
78
79
81
82
x
88
93
95
乙
75
80
80
83
85
90
92
95