2025届高考数学一轮复习专练 拓展拔高练9 阿波罗尼斯圆（Word版附解析）

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A.π B.2π C.3π D.4π
【解析】选D.以A为原点,AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则B(3,0).设M(x,y),依题意有,x2+y2(x-3)2+y2=2,化简整理得,
x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,则M点的轨迹围成区域的面积为4π.
2.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(2,0),点P满足PAPB=2,则点P的轨迹的圆心坐标为( )
A.(4,0) B.(0,4)
C.(-4,0) D.(2,0)
【解析】选A.设P(x,y),则(x+4)2+y2=2(x-2)2+y2,两边平方并整理得:
(x-4)2+y2=16,所以圆心为(4,0).
3.(5分)已知O(0,0),A(3,0),动点P(x,y)满足|PA||PO|=2,则动点P轨迹与圆(x-2)2+y2=1的位置关系是( )
A.相交 B.相离 C.内切 D.外切
【解析】选D.由已知动点P(x,y)满足|PA||PO|=2,得 (x-3)2+(y-0)2x2+y2=2,
即动点P轨迹为圆:(x+1)2+y2=4,
因为2-(-1)2+02=2+1,所以两圆外切.
4.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),动点M满足MA=2MO,动点M的轨迹为C.若对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与C恒有公共点,则b的取值范围是( )
A.[-5,5] B.-6,6
C.[-7,7] D.-22,22
【解析】选C.设M(x,y),由A(-2,0),且MA=2MO,
得MA2=2MO2,即(x-2)2+y2=8,
直线l:y=k(x-1)+b恒过定点(1,b),
把x=1代入(x-2)2+y2=8,解得y=±7,
要使对任意实数k,直线l与圆C恒有公共点,则-7≤b≤7,即b的取值范围是[-7,7].
5.(5分)在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2),若存在点P,使得PA=2PB,PC=PD,则实数a的取值范围是( )
A. [-22,22]
B. [-22-1,22-1]
C. [-22-2,22-2]
D. [-22-1,22-2]
【解析】选B.设P(x,y),由PA=2PB,
则(x-1)2+y2=2×(x-3)2+y2,整理得:(x-5)2+y2=8,
动点P是以(5,0)为圆心,以22为半径的圆,另一方面,由PC=PD知动点P在线段CD的垂直平分线y=a+1上运动,
因而问题就转化为直线y=a+1与圆(x-5)2+y2=8有交点,
所以|a+1|≤22,故实数a的取值范围是[-22-1,22-1].
6.(5分)(多选题)在平面上有相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足PA=λPB(其中λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.设A(-a,0),B(a,0),a为正实数,下列说法正确的是( )
A.当λ=2时,此阿波罗尼斯圆的半径r=43a
B.当λ=12时,以AB为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切
C.当0