2025届高考数学一轮复习专练 拓展拔高练4 极值点偏移问题（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练 拓展拔高练4 极值点偏移问题（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了已知函数f=aex-x,a∈R，已知函数f=sinxex,x∈等内容，欢迎下载使用。
1.(10分)已知函数f(x)=aex-x,a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1,x2.证明:x1+x2>2.
【证明】由f(x)=aex-x=0,得xex-a=0,
令g(x)=xex-a,则g'(x)=1-xex,
由g'(x)=1-xex>0,得xx,
所以e2-x>ex,即e2-x-ex>0,
所以H'(x)>0,所以H(x)在(-∞,1)上单调递增.
所以H(x1)1),
所以k'(t)=1t-2(t+1)-2(t-1)(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0,所以当t>1时,k(t)单调递增,
所以k(t)>k(1)=0,
所以ln t-2(t-1)t+1>0,故x1+x2>2.
2.(10分)(2023·六安模拟)已知函数f(x)=xln x-ax2+x(a∈R).
(1)证明:曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l恒过定点;
(2)若f(x)有两个零点x1,x2,且x2>2x1,证明:x1x2>8e2.
【证明】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)=xln x-ax2+x,得f'(x)=ln x-2ax+2,则f'(1)=2(1-a),又f(1)=1-a,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程为y-(1-a)=2(1-a)(x-1),即y=2(1-a)(x-12),显然恒过定点(12,0).
(2)若f(x)有两个零点x1,x2,则x1ln x1-ax12+x1=0,x2ln x2-ax22+x2=0,得a=ln x1x1+1x1=ln x2x2+1x2.
因为x2>2x1>0,令x2=tx1(t>2),则ln x1x1+1x1=ln(tx1)tx1+1tx1,
得ln x1=lntt-1-1,则ln x2=ln (tx1)=ln t+ln x1=tlntt-1-1,
所以ln (x1x2)=ln x1+ln x2=lntt-1-1+tlntt-1-1=(t+1)lntt-1-2.
令h(t)=(t+1)lntt-1-2(t>2),则h'(t)=-2lnt+t-1t(t-1)2,
令φ(t)=-2ln t+t-1t(t>2),则φ'(t)=-2t+1+1t2=(t-1)2t2>0,
则φ(t)在(2,+∞)上单调递增,所以φ(t)>φ(2)=32-2ln 2>0.
所以h'(t)=φ(t)(t-1)2>0,则h(t)在(2,+∞)上单调递增,所以h(t)>h(2)=3ln 2-2=ln 8e2,即ln (x1x2)>ln 8e2,故x1x2>8e2.
【加练备选】
(2022·全国甲卷)已知函数f(x)=exx-ln x+x-a.
(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;
(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x20,解得x>1,
故函数f(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,
故f(x)min=f(1)=e+1-a,要使得f(x)≥0恒成立,仅需e+1-a≥0,
故a≤e+1,故a的取值范围是(-∞,e+1];
(2)由已知若函数f(x)有两个零点,
故f(1)=e+1-ae+1,
不妨设00,所以F(x)在(0,1a)上单调递增,
所以F(x)