2025届高考数学一轮复习专练 拓展拔高练3 用构造法解决函数问题（Word版附解析）

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2 020的解集为( )
A.(-1,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】选B.令函数g(x)=f(x)-3x2,
因为g'(x)=f'(x)-6x≥0,
所以g(x)在R上单调递增.
因为g(1)=f(1)-3=2 020,
所以不等式f(x)>3x2+2 020等价于g(x)>g(1),所以x>1.
2.(5分)已知m>0,n∈R,若lg2m+2m=6,2n+1+n=6,则m2n=( )
A.12B.1C.2D.2
【解析】选B.由题意得lg2m+2m=2n+1+n,lg2m+2m=2×2n+n=lg22n+2×2n,
令g(x)=lg2x+2x(x>0),
则g'(x)=1xln2+2>0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为g(m)=g(2n),
所以m=2n,所以m2n=1.
3.(5分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足xf'(x)b>cB.c>a>b
C.b>a>cD.a>c>b
【解析】选A.设g(x)=f(x)x(x≠0),则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2ln 4>1,所以g(3)c.
4.(5分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)e3f(3)B.e2f(2)e3f(3).
5.(5分)已知函数f(x)满足xf'(x)ln x+f(x)>0(其中f'(x)是f(x)的导函数),若a=f(e12),b=f(e),c=f(e2),则下列选项中正确的是( )
A.4c0在(0,+∞)上恒成立,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以g(e12)0.
所以g(x)在R上单调递增.又a>0,
所以g(a)>g(0),即f(a)ea>f(0)e0,
即f(a)>eaf(0).
7.(5分)(多选题)已知定义在[0,π2)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0,f'(x)cs x+f(x)sin x2f(π3)D.f(π4)>2f(π3)
【解析】选CD.令g(x)=f(x)csx,x∈[0,π2),
因为f'(x)cs x+f(x)sin xf(π4)22,
即f(π6)>62f(π4),故A错误;
因为f(0)=0,所以g(0)=f(0)cs0=0.
又因为ln π3∈[0,π2),结合g(x)在[0,π2)上单调递减可知g(ln π3)f(π3)12,易知f(π3)3f(π3)>2f(π3),故C正确;
因为g(π4)>g(π3),所以f(π4)22>f(π3)12,
即f(π4)>2f(π3),故D正确.
8.(5分)(多选题)已知a,b∈(0,e),且a0B.f(1e)0D.f(1)=0
【解析】选AC.令函数g(x)=ln x·f(x),
则g'(x)=f(x)x+ln x·f'(x)>0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g(1)=0,
所以g(e)=f(e)>0,g(1e)=-f(1e)0,f(1e)+f(e)>0,f(1)的大小不确定.
10.(5分)设f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f'(x)-cs x1左右两边同乘ex得,exf(x)+exf'(x)-ex>0,
令g(x)=exf(x)-ex,
则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex>0,
所以g(x)在R上单调递增,且g(0)=f(0)-1=3,不等式exf(x)>ex+3等价于exf(x)-ex>3,即g(x)>g(0),所以x>0.
答案:(0,+∞)