2025届高考数学一轮复习专练8 函数的奇偶性与周期性（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练8 函数的奇偶性与周期性（Word版附解析），共8页。

【基础落实练】
1.(5分)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的
是( )
A.y=x+f(x)B.y=xf(x)
C.y=x2+f(x)D.y=x2f(x)
【解析】选B.设g(x)=xf(x).
因为f(-x)=-f(x),
所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),
所以g(x)为偶函数.
2.(5分)(2023·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0A.0B.2C.4D.-2
【解析】选D.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)在R上的周期为2,所以f(2)=f(0)=0,
f(-52)=f(-12)=-f(12)=-412=-2,
所以f(-52)+f(2)=-2.
3.(5分)已知函数f(x)=sin x+x3+1x+3,若f(a)=-1,则f(-a)=( )
A.3B.5C.6D.7
【解析】选D.函数f(x)=sin x+x3+1x+3,f(-x)+f(x)=sin(-x)+(-x)3-1x+3+sin x+x3+1x+3=-sin x-x3-1x+sin x+x3+1x+6=6,若f(a)=-1,则f(-a)=6-f(a)=6-(-1)=7.
4.(5分)(2023·重庆巴蜀中学月考)已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x+ln(x+1),则当x<0时,f(x)=( )
A.-x-ln(1-x)B.x-ln(1-x)
C.-x+ln(1-x)D.x+ln(1-x)
【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数,当x<0时,-x>0,所以f(x)=f(-x)=-x+ln(1-x).
5.(5分)若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则( )
A.f(x+1)为偶函数B.f(x-1)为偶函数
C.f(x+1)为奇函数D.f(x-1)为奇函数
【解析】选C.因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称,即f(x+1)是奇函数.
6.(5分)(多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是( )
A.这个函数有两个单调递增区间
B.这个函数有三个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值-7
【解析】选BC.根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性,作出其在[-7,7]上的图象,如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间,有三个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不是-7.
7.(5分)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.
【解析】令H(x)=f(x)+x2,则H(-1)+H(1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,
所以f(-1)=-3,
所以g(-1)=f(-1)+2=-1.
答案:-1
8.(5分)(2023·全国甲卷)若y=(x-1)2+ax+sin(x+π2)为偶函数,则a=__________.
【解题指南】根据题意,先化简函数的解析式,结合偶函数的定义可得关于a的方程,解之可得答案.
【解析】根据题意,设f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+π2)=x2-2x+ax+1+cs x,
若f(x)为偶函数,则f(-x)=x2+2x-ax+1+cs x=x2-2x+ax+1+cs x=f(x),变形可得(a-2)x=0在R上恒成立,必有a=2.
答案:2
9.(10分)设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数.又4-π∈(0,1),
所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),
得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),
即f(1+x)=f(1-x),
故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点对称,则f(x)在[-4,4]上的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成图形的面积为S,
则S=4S△OAB=4×(12×2×1)=4.
【能力提升练】
10.(5分)(2021·全国乙卷)设函数f(x)=1-x1+x,则下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1
【解析】选B.f(x)=1-x1+x=2-(x+1)1+x=21+x-1,为保证函数变换之后为奇函数,需将函数y=f(x)的图象向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度,得到的图象对应的函数为y=f(x-1)+1.
11.(5分)(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则( )
A.f(2 023)=0
B.f(x)的值域为[-1,2]
C.f(x)在[4,6]上单调递减
D.f(x)在[-6,6]上有8个零点
【解析】选AB.f(2 023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(1)=0,所以A正确;
当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,
所以当x∈[0,2]时,函数的值域为[-1,2],
由于函数是偶函数,所以函数的值域为[-1,2],所以B正确;
当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,
又函数的周期是4,
所以f(x)在[4,6]上单调递增,所以C错误;
令f(x)=2x-2=0,所以x=1,
所以f(1)=f(-1)=0,
由于函数的周期为4,
所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,
所以f(x)在[-6,6]上有6个零点,所以D错误.
12.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=__________.
【解析】方法一(定义法) 因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1.
方法二(取特殊值检验法) 因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,
所以f(-1)=f(1),
所以-(a2-2)=2a-12,
解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1.
方法三(转化法) 由题意知f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数.
设g(x)=x3,h(x)=a·2x-2-x,
因为g(x)=x3为奇函数,所以h(x)=a·2x-2-x为奇函数,
所以h(0)=a·20-2-0=0,
解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,
所以a=1.
答案:1
13.(5分)若函数f(x)=ex-e-x,则不等式f(ln x)+f(ln x-1)>0的解集是________.
【解析】因为f(x)=ex-e-x,定义域为R,
且f(-x)=-(ex-e-x)=-f(x),故其为奇函数,
又y=ex,y=-e-x均为增函数,故f(x)为R上的增函数,
则原不等式等价于f(ln x)>f(1-ln x),
即ln x>1-ln x,整理得ln x>12,
解得x>e,故不等式的解集为(e,+∞).
答案:(e,+∞)
14.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023).
【解析】(1)因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是周期为4的周期函数.
(2)x∈[2,4],则4-x∈[0,2],f(x)=f(x-4)=-f[-(x-4)]
=-f(4-x)=-[2(4-x)-(4-x)2]
=x2-6x+8,
所以x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)=0.
15.(10分)(2023·鄂州三校联考)函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
【解析】(1)因为对于任意x1,x2∈D,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,
得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数.证明如下:
f(x)的定义域关于原点对称,
令x1=x2=-1,
有f(1)=f(-1)+f(-1),
所以f(-1)=12f(1)=0.
令x1=-1,x2=x,
有f(-x)=f(-1)+f(x),
所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由(2)知f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2等价于f(|x-1|)又f(x)在(0,+∞)上是增函数,
所以0<|x-1|<16,
解得-15所以x的取值范围是(-15,1)∪(1,17).
【素养创新练】
16.(5分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.已知函数f(x)=ex-a在R上为“局部奇函数”,则实数a的最小值为( )
A.1B.2C.12D.32
【解析】选A.f(x)为“局部奇函数”,
则f(-x)=-f(x)在R上有解,
即e-x-a=-(ex-a),所以ex+e-x=2a,
因为ex+e-x≥2,
当且仅当x=0时取等号,
所以2a≥2,即a≥1,所以amin=1.
17.(5分)已知定义在R上的函数y=f(x)满足:①对于任意的x∈R,都有f(x+1)=1f(x);②函数y=f(x)是偶函数;③任意x1,x2∈(0,1],当x10.则f(-32),f(214),f(223)从小到大的排列是______________.
【解析】由题意知f(x+1)=1f(x),
则f(x+2)=1f(x+1)=f(x),
故函数y=f(x)的周期为2,
f(-32)=f(12),f(223)=f(8-23)=f(-23)=f(23),f(214)=f(6-34)=f(34).
因为任意x1,x2∈(0,1],当x10,所以f(x)在(0,1]上单调递增,
所以f(12)故f(-32)答案:f(-32)