2025届高考数学一轮复习专练6 函数的概念及其表示（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(2024·三明模拟)已知集合A={x|-21)
C.f(x)=lg 12x-1(x>1)
D.f(x)=lg 12x+1(x>1)
【解析】选B.由题知x>0,令2x+1=t(t>1),
则x=2t-1,所以f(t)=lg 2t-1(t>1),
所以f(x)=lg 2x-1(x>1).
5.(5分)(2023·山东省部分学校联考)已知函数f(x)=2x+1,x2,3x-1,x≤2,则( )
A.f(5)=1B.f(f(5))=1
C.f(3)=9D.f(f(3))=lg37
【解析】选AB.对于A,f(5)=lg3(5-2)=lg33=1,A正确;
对于B,f(f(5))=f(1)=30=1,B正确;
对于C,f(3)=lg3(3-2)=lg31=0,C错误;
对于D,f(f(3))=f(0)=3-1=13,D错误.
8.(5分)已知f(x)=x-1,则f(x)=________.
【解析】令t=x,则t≥0,x=t2,
所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).
答案:x2-1(x≥0)
9.(5分)已知函数f(x)=csx,x1,所以f(32)=-2×32+8=5.
因为00,lga>1或a≤0,(13) a-8>1,
解得a>10或a1,
则实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(10,+∞).
答案:-7 (-∞,-2)∪(10,+∞)
15.(10分)已知函数f(x)=x21+x2.
(1)求f(2)与f(12),f(3)与f(13);
(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f(1x)有什么关系?证明你的发现;
(3)求f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2 023)+f(12 023)的值.
【解析】(1)因为f(x)=x21+x2=1-1x2+1,
所以f(2)=1-122+1=45,
f(12)=1-114+1=15.
f(3)=1-132+1=910,
f(13)=1-119+1=110.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f(1x)=1.证明如下:
f(x)+f(1x)=x21+x2+1x21+1x2=x21+x2+1x2+1=1.
(3)由(2)知f(x)+f(1x)=1,
所以f(2)+f(12)=1,f(3)+f(13)=1,
f(4)+f(14)=1,…,f(2 023)+f(12 023)=1,
所以f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2 023)+f(12 023)=2 022.
16.(10分)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系:y=x2200+mx+n(m,n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.
(1)求出y关于x的函数解析式;
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m,求行驶的最大速度.
【解析】(1)由题意及题中函数图象,
得402200+40m+n=8.4,602200+60m+n=18.6,解得m=1100,n=0,
所以y=x2200+x100(x≥0).
(2)令x2200+x100≤25.2,得-72≤x≤70.
因为x≥0,所以0≤x≤70,
故行驶的最大速度是70 km/h.
【素养创新练】
17.(5分)图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”,是甘肃礼县出土的青铜器皿,其身流线自若、纹理分明,展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用时30 s注满,设注水过程中,壶中水面高度为h,注水时间为t,则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是( )
【解析】选A.壶的结构为底端与上端细、中间粗,所以在注水速度恒定的情况下,开始水的高度增加得快,中间增加得慢,最后又变快,由题图可知选项A符合题意.
18.(5分)(多选题)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,函数F(x)=1,x为有理数,0,x为无理数被称为狄利克雷函数.关于狄利克雷函数,下列说法正确的
是( )
A.F(F(x))=0
B.对任意x∈R,恒有F(x)=F(-x)成立
C.任取一个不为0的实数T,F(x+T)=F(x)对任意实数x均成立
D.存在三个点A(x1,F(x1)),B(x2,F(x2)),C(x3,F(x3)),使得△ABC为等边三角形
【解析】选BD.因为当x为有理数时,F(x)=1,当x为无理数时,F(x)=0,所以当x为有理数时,F(F(x))=F(1)=1,当x为无理数时,F(F(x))=F(0)=1,所以F(F(x))=1恒成立,故A错误.
因为有理数的相反数是有理数,无理数的相反数是无理数,所以对任意x∈R,恒有F(x)=F(-x)成立,故B正确.
若x是有理数,T是有理数,则x+T是有理数;若x是有理数,T是无理数,则x+T是无理数;若x是无理数,则x+T是无理数或有理数.所以任取一个不为0的实数T,F(x+T)=F(x)不恒成立,故C错误.
取x1=-33,x2=0,x3=33,可得F(x1)=0,F(x2)=1,F(x3)=0,所以A(-33,0),B(0,1),C(33,0),恰好△ABC为等边三角形,故D正确.