2025届高考数学一轮复习专练72 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值的个数为( )
A.25B.10C.7D.6
【解析】选C.X的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=2+3=5,1+5=4+2=6,
2+5=3+4=7,3+5=8,4+5=9.
2.(5分)设随机变量ξ的概率分布列如表,则P(|ξ-3|=1)=( )
A.712B.12C.512D.16
【解析】选A.因为112+a+13+13=1,所以a=14,由|ξ-3|=1,解得ξ=2或ξ=4,所以P(|ξ-3|=1)=P(ξ=2)+P(ξ=4)=14+13=712.
3.(5分)设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)和D(X)分别为( )
A.4,8B.2,8C.2,16D.2+b,16
【解析】选B.由题意可知E(Y)=2E(X)+b=4+b,D(Y)=4D(X)=32,所以E(X)=2,D(X)=8.
4.(5分)有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取得次品的个数,则P(X124.68,因此,当购进32份时,利润更大.
15.(10分)某大学志愿者协会有10名同学,成员构成如表,表中部分数据不清楚,只知道从这10名同学中随机抽取1名同学,该名同学的专业为数学的概率为25,现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).
(1)求m,n的值;
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率;
(3)设X为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数,求随机变量X的分布列、数学期望及方差.
【解析】(1)因为该名同学的专业为数学的概率为25,所以1+m10=25,解得m=3,
因为m+n+6=10,所以n=1.
(2)设事件A为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”,则P(A)=C31C32+C33C103=112.
(3)由题意可知,这10名学生中是女生或专业为数学的人数为7,X所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C33C103=1120,P(X=1)=C71C32C103=740,
P(X=2)=C72C31C103=2140,P(X=3)=C73C103=724,
故X的分布列为:
故E(X)=0×1120+1×740+2×2140+3×724=2110,
D(X)= (0-2110)2×1120+(1-2110)2×740+(2-2110)2×2140+(3-2110)2×724=49100.
【素养创新练】
16.(5分)(多选题)(2023·承德模拟)设随机变量ξ的分布列如表:
则下列说法正确的是( )
A.当{an}为等差数列时,a2+a2 023=11 012
B.数列{an}的通项公式可能为an=2 0252 024n(n+1)
C.当数列{an}满足an=12n(n=1,2,…,2 023)时,a2 024=122 024
D.当数列{an}满足P(ξ≤k)=k2ak(k=1,2,…,2 024)时,(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2)
【解析】选ABD.对于A,因为{an}为等差数列,
所以S2 024=2 024(a1+a2 024)2=1,
则有a2+a2 023=a1+a2 024=11 012,故A正确;
对于B,若数列{an}的通项公式为
an=2 0252 024n(n+1)=2 0252 024(1n-1n+1),
则S2 024=2 0252 024(1-12+12-13+…+12 024-12 025)=2 0252 024(1-12 025)=1,故B正确;
对于C,因为an=12n(n=1,2,…,2 023),所以S2 024=12(1-122 023)1-12+a2 024=1-122 023+a2 024=1,则有a2 024=122 023,故C错误;
对于D,令Sk=P(ξ≤k)=k2ak,则ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)2ak+1-k2ak,故ak+1ak=kk+2,所以anan-1=n-1n+1(n≥2),
即(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2),故D正确.
17.(5分)冰壶比赛的场地如图所示,其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区,运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出,使冰壶沿冰道滑行,冰道的右端有一圆形营垒区,以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负,甲、乙两人进行投掷冰壶比赛,规定冰壶的中心落在圆O中得3分,冰壶的中心落在圆环A中得2分,冰壶的中心落在圆环B中得1分,其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响,甲、乙得3分的概率分别为13,14;甲、乙得2分的概率分别为25,12;甲、乙得1分的概率分别为15,16.甲、乙所得分数相同的概率为________;若甲、乙两人所得的分数之和为X,则X的均值为______.
【解析】由题意知,甲得0分的概率为1-13-25-15=115,乙得0分的概率为1-14-12-16=112,
则甲、乙所得分数相同的概率为13×14+25×12+15×16+115×112=2990.
因为甲、乙两人所得的分数之和为X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,
则P(X=0)=115×112=1180;
P(X=1)=115×16+15×112=136;
P(X=2)=115×12+15×16+25×112=110;
P(X=3)=115×14+15×12+25×16+13×112=1990;P(X=4)=15×14+25×12+13×16=1136;
P(X=5)=25×14+13×12=415;
P(X=6)=13×14=112,
则E(X)=0×1180+1×136+2×110+3×1990+4×1136+5×415+6×112=4712.
答案:2990 4712ξ
1
2
3
4
P
112
a
13
13
商品
D
E
F
猜对的概率
0.8
0.5
0.3
获得的奖金/元
100
200
300
X
-1
0
1
P
12
1-q
q-q2
X
0
1
2
3
P
14
a
14
b
X
0
1
2
3
P
435
1835
1235
135
ξ
0
1
2
P
b-a
b
a
销售量/份
15
16
17
18
天数
20
30
40
10
X
30
31
32
33
34
35
36
P
125
325
14
725
1150
225
1100
项目
中文
英语
数学
体育
男
n
1
m
1
女
1
1
1
1
X
0
1
2
3
P
1120
740
2140
724
ξ
1
2
3
…
2 023
2 024
P
a1
a2
a3
…
a2 023
a2 024