湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷及解析版）

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考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.的倒数为（ ）
A.B.3C.D.
2.某市新改扩建幼儿园、中小学80所，新增学位个，请将数据用科学记数法表示为（ ）
A.B.C.D.
3.如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）
A.80°B.50°C.30°D.20°
4.下列运算正确的是（ ）
A B.
C.D.
5.若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A.B.C.D.
6.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）

A.B.C.D.
7.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人测试次，射箭成绩的平均数都是环，方差分别为，，，，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁
8.下列命题是真命题的是（ ）
A.每个内角都相等的多边形是正多边形B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.两直线平行，同位角互补D.过线段中点的直线是线段的垂直平分线
9.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）

A B.
C.D.
10.如图，在正方形中，点在边上，且，连接，，平分，过点作于点，若正方形的边长为4，则的面积是（ ）
A B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.分解因式：=_________________________．
12.若关于的一元二次方程的解，则的值是______．
13.已知，则的平方根为______．
14.直线向上平移个单位后所得的直线与轴交点的坐标是______．
15.若关于x的分式方程有增根，则________．
16.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，则的角平分线所在直线的函数关系式为______．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）
17.计算：．
18.先化简，再求值：，其中．
19.解方程： （1） （2）
20.深圳某学校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次有______名初中学生接受调查，图中值为______；
（2）接受调查的学生每天在校体育活动时间的众数是______，中位数是______；
（3）求接受调查学生每天在校体育活动时间的平均数．
21.已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，且，求m的值．
22.如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.
(1)求证:四边形ABEF是矩形；
(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.
23.已知一箱苹果比一箱梨子的价格高30元，且用400元购买苹果的箱数和用250元购买梨子的箱数相等．
（1）求苹果、梨子每箱各多少元？
（2）若要购进苹果、梨子共60箱，且苹果的箱数不少于梨子的箱数的2倍，试求购买这两种水果总费用的最小值．
24.如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

（1）求抛物线和一次函数解析式．
（2）点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
25.党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点P为“高质量发展点”．
（1）若点是正比例函数（k为常数，）的图象上的“高质量发展点”求这个正比例函数的解析式；
（2）若函数（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求p的取值范围；
（3）若二次函数（a，b是常数，）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令，当时，w有最大值，求t的值．