2025届高考数学一轮复习专练69 二项式定理（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )
A.40B.41C.-40D.-41
【解析】选B.令x=1,则a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,则a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81,故a4+a2+a0=1+812=41.
2.(5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A.56B.84C.112D.168
【解析】选D.在(1+x)8的展开式中含x2的项为C82x2=28x2,(1+y)4的展开式中含y2的项为C42y2=6y2,所以x2y2的系数为28×6=168.
3.(5分)在(x+13x)24的展开式中,x的指数是整数的项数是( )
A.2B.3C.4D.5
【解析】选D.因为(x+13x)24的展开式的通项公式为Tk+1=C24k(x)24-k(13x)k=C24kx12-56k,所以当k=0,6,12,18,24时,x的指数是整数,故x的指数是整数的有5项.
4.(5分)设a=3n+Cn13n-1+Cn23n-2+…+Cnn-13,则当n=2 023时,a除以15所得余数
为( )
A.3B.4C.7D.8
【解析】选A.因为Cn03n+Cn13n-1+Cn23n-2+…+Cnn-13+Cnn30=(3+1)n=4n,
所以a=4n-1,当n=2 023时,a=42 023-1=4×161 011-1=4×[(15+1)1 011-1]+3,
而(15+1)1 011-1=C1 0110151 011+C1 0111151 010+…+C1 0111 01015,故此时a除以15所得余数为3.
5.(5分)(多选题)在(1+2x)8的展开式中,下列说法正确的是( )
A.二项式系数最大的项为1 120x4
B.常数项为2
C.第6项与第7项的系数相等
D.含x3的项的系数为480
【解析】选AC.因为n=8,所以二项式系数最大的项为T5,T5=C84(2x)4=1 120x4,A正确;
(1+2x)8展开式的通项为Tk+1=C8k(2x)k=2kC8kxk,令k=0,得常数项为1,B错误;
第6项为T6=25C85x5=1 792x5,第7项为T7=26C86x6=1 792x6,第6项与第7项的系数相等,C正确;
含x3的项为T4=C83(2x)3=448x3,其系数为448,D错误.
6.(5分)(多选题)(2023·厦门模拟)若(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列结论中正确的是( )
A.a0=1
B.a1+a2+a3+a4+a5=-25
C.a0-a1+a2-a3+a4-a5=35
D.a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=1
【解析】选CD.由题意知,令x=0得a0=25,A错误;
令x=1得a0+a1+…+a5=1,所以a1+a2+…+a5=1-25,B错误;
令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35,C正确;
由题意知a0,a2,a4均为正,a1,a3,a5均为负,因此a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,D正确.
7.(5分)(2024·桂林模拟)在二项式(2+x)9的展开式中,系数为有理数的项的个数是________.
【解析】二项式展开式的通项为C9r·29-r2·xr,当r=1,3,5,7,9时,项的系数为有理数,故系数为有理数的项的个数为5.
答案:5
8.(5分)(2024·潍坊模拟)若(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为13,则展开式中各项系数和为______.(用数字作答)
【解析】因为(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为3C41+aC40=12+a=13,所以a=1,
令x=1,得(3+x)(1+x)4展开式中各项系数和为(3+1)(1+1)4=64.
答案:64
9.(10分)已知二项式(2x+1x)n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,按要求完成以下问题:
(1)求n的值;
(2)求展开式中1x3的系数;
(3)计算式子C6026+C6125+C6224+C6323+C6422+C6521+C6620的值.
【解析】由题设知Tr+1=2n-rCnrxn-32r,
(1)展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是Cn1Cn2=25,解得n=6.
(2)Tr+1=26-rC6rx6-32r,令6-32r=-3,得r=6.所以展开式中含1x3的是第7项,系数为26-6C66=1.
(3)C6026+C6125+C6224+C6323+C6422+C6521+C6620=(2+1)6=36=729.
【能力提升练】
10.(5分)设(5x-x)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,M-N=240,则展开式中x3的系数为( )
A.500B.-500C.150D.-150
【解析】选C.由题意可得N=2n,令x=1,则M=(5-1)n=4n=(2n)2,所以(2n)2-2n=240,2n=16,n=4.展开式中第k+1项Tk+1=C4k·(5x)4-k·(-x)k=(-1)kC4k54-k·x4-k2.令4-k2=3,得k=2,所以展开式中x3的系数为(-1)2×C42×52=150.
11.(5分)在(2x+a)(x+2x)6的展开式中,x2的系数为-120,则该二项展开式中的常数项为( )
A.3 204B.-160
C.160D.-320
【解析】选D.(x+2x)6的展开式的通项为
Tk+1=C6k·x6-k·(2x)k=C6k·2k·x6-2k,
2xTk+1=C6k·2k+1·x7-2k,由k∈N,得7-2k≠2,故不成立,
aTk+1=aC6k·2k·x6-2k,令6-2k=2,解得k=2,
则aC62·22=60a=-120,解得a=-2,
因为7-2k≠0,在-2Tk+1中,令6-2k=0,解得k=3,
所以展开式中的常数项为-2C63·23=-320.
12.(5分)(多选题)(2024·宁德模拟)若(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6,则( )
A.a0=64
B.a0+a2+a4+a6=365
C.a5=12
D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=-6
【解析】选ABD.令x=-1,则(-1-1)6=a0,即a0=64,故A正确;令x=0,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=(0-1)6=1,
令x=-2,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-2-1)6=729,
则a0+a2+a4+a6=1+7292=365,故B正确;
(x-1)6=[(x+1)-2]6,
则Tk+1=C6k(x+1)6-k(-2)k,令k=1,
则a5=C61(-2)1=-12,故C错误;
由(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6两边求导,
得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5,
令x=0,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正确.
13.(5分)(2024·泉州模拟)已知(x+m)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,且a3+a6=1,则m=________.
【解析】由题意,可得a3=C63m3,a6=C60=1.因为a3+a6=1,所以a3=0,所以m=0.
答案:0
14.(10分)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比为5∶2;
②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36;
③Cn+13-Cn-15=63.
已知在(x-13x)n的展开式中,________.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中含1x的项.
【解析】(1)选①,(x-13x)n的展开式通项为Tr+1=(-1)rCnrx3n-5r6,
则第5项的系数为Cn4,第3项的系数为Cn2,所以Cn4∶Cn2=5∶2,解得n=-3(舍)或n=8;
若选②,第2项与倒数第3项的二项式系数分别为Cn1和Cnn-2,
所以Cn1+Cnn-2=Cn1+Cn2=36,
解得n=-9(舍)或n=8;
若选③,由Cn+13-Cn-15=63得n=8;
所以(x-13x)8的展开式通项为Tr+1=(-1)rC8rx24-5r6;
当n=8时,若C8r取得最大值,则r=4,即第5项的二项式系数最大,
所以展开式中二项式系数最大的项为T5=C84x23=70x23.
(2)令24-5r6=-1,解得r=6,
所以展开式中含1x的项为T7=C86x-1=28x.
15.(10分)(2023·福州模拟)在①只有第5项的二项式系数最大;②第4项与第6项的二项式系数相等;③奇数项的二项式系数的和为128.这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面两个问题.
已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),________
(1)求a12+a222+…+an2n的值;
(2)求a1+2a2+3a3+…+nan的值.
【解析】(1)若选①:
因为只有第5项的二项式系数最大,所以展开式中共有9项,即n+1=9,得n=8.
若选②:
因为第4项与第6项的二项式系数相等,所以Cn3=Cn5⇒n=8.
若选③:
因为奇数项的二项式系数的和为128,所以2n-1=128,解得n=8.
因为(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,
令x=12,则有(2×12-1)8=a0+a12+a222+…+a828,
即有a0+a12+a222+…+a828=0,令x=0,得a0=1,所以a12+a222+…+a828=-a0=-1,
综上所述:a12+a222+…+a828=-1.
(2)由(1)可知:无论选①,②,③都有n=8,(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,
两边求导得16(2x-1)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7,
令x=1,则有16=a1+2a2+3a3+…+8a8,
所以a1+2a2+3a3+…+8a8=16.
【素养创新练】
16.(5分)若(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn的展开式中的各项系数和为243,则a1+2a2+…+nan等于( )
A.405B.810C.243D.64
【解析】选B.(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
两边求导得,2n(2x+1)n-1=a1+2a2x+…+nanxn-1.
令x=1,则2n×3n-1=a1+2a2+…+nan.
又因为(2x+1)n的展开式中各项系数和为243,
令x=1,可得3n=243,解得n=5,
所以a1+2a2+…+nan=2×5×34=810.
17.(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和,若(1-2x)2 024=b0+b1x+b2x2+…+b2 024x2 024,数列{an}的首项a1=b12+b222+…+b2 02422 024,an+1=Sn·Sn+1,则S2 024等于( )
A.-12 024B.12 024
C.2 024D.-2 024
【解析】选A.令x=12,得(1-2×12)2 024=b0+b12+b222+…+b2 02422 024=0.
令x=0,得b0=1,
所以a1=b12+b222+…+b2 02422 024=-1.
由an+1=Sn·Sn+1=Sn+1-Sn,
得Sn+1-SnSnSn+1=1Sn-1Sn+1=1,
所以1Sn+1-1Sn=-1,
所以数列{1Sn}是首项为1S1=-1,
公差为-1的等差数列,
所以1Sn=-1+(n-1)·(-1)=-n,
所以Sn=-1n,所以S2 024=-12 024.