2025届高考数学一轮复习专练64 随机抽样（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练64 随机抽样（Word版附解析），共7页。
【基础落实练】
1.(5分)(2023·济南模拟)①一次数学考试中,某班有10人的成绩在100分以上,32人的成绩在90~100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关情况;②运动会的工作人员从参加4×100 m接力赛的6支队伍中抽取1支接受采访.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为( )
A.分层随机抽样,简单随机抽样
B.简单随机抽样,简单随机抽样
C.简单随机抽样,分层随机抽样
D.分层随机抽样,分层随机抽样
【解析】选A.对于①,为更加了解各层次的学生成绩,应选择分层随机抽样;对于②,可采用简单随机抽样.
2.(5分)利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽取一个样本后,余下的每个个体被抽到的概率为13,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( )
A.14B.13C.514D.1027
【解析】选C.根据题意,得9n-1=13,解得n=28.故每个个体被抽到的概率为1028=514.
3.(5分)(2023·景德镇模拟)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题:“今有北乡若干人,西乡四百人,南乡两百人,凡三乡,发役六十人,而北乡需遗十,问北乡人数几何.”其意思为:“今有某地北面若干人,西面有400人,南面有200人,这三面要征调60人,而北面共征调10人(用分层随机抽样的方法),则北面共有________人.”( )
A.200B.100C.120D.140
【解析】选C.设北面共有x人,则由题意可得x400+200+x=1060,解得x=120,所以北面共有120人.
4.(5分)(多选题)港珠澳大桥为中国内地前往香港的旅客提供了便捷的交通途径,某旅行社分年龄统计了大桥通车以后,由港珠澳大桥实现中国内地前往香港的老中青旅客的比例为5∶2∶3,现使用比例分配的分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名,若青年旅客抽到60人,则( )
A.老年旅客抽到100人
B.中年旅客抽到20人
C.n=200
D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200
【解析】选AC.由题意知,60n=35+2+3,解得n=200,则老年旅客抽到60×53=100(人),中年旅客抽到40人.
5.(5分)(多选题)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则下列说法正确的是( )
A.应采用比例分配的分层随机抽样法抽取
B.应采用抽签法抽取
C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的
【解析】选ACD.由于总体按型号分为三个子总体,所以应采用比例分配的分层随机抽样法抽取,A正确;
因为总体量较大,故不宜采用抽签法,B错误;
设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆,则有x1 200=y6 000=z2 000,x+y+z=46,解得x=6,y=30,z=10,所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆,C正确;
由比例分配的分层随机抽样的意义可知,D正确.
6.(5分)为了研究感染某种病毒和人的血型间的关系,在被感染的2 400人中,O型血有800人,A型血有600人,B型血有600人,AB型血有400人.在这2 400人中,采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本,则应从O型血中抽取的人数为________.
【解析】因为在被感染的2 400人中,O型血有800人,A型血有600人,B型血有600人,AB型血有400人,即O型血的人数占8002 400=13,所以应从O型血中抽取的人数为120×13=40.
答案:40
7.(5分)一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为5∶3∶2.若用比例分配的分层随机抽样的方法抽取容量为100的样本,则应从C中抽取________个个体;若A,B,C三层的样本的平均数分别为15,30,20,则样本的平均数为________.
【解析】因为A,B,C三层个体数之比为5∶3∶2,总体中每个个体被抽到的概率相等,所以应从C中抽取100×25+3+2=20(个)个体.样本的平均数为55+3+2×15+35+3+2×30+25+3+2×20=20.5.
答案:20 20.5
8.(10分)甲、乙两所学校的高一年级分别有600人和900人,为调研某次考试的成绩,采用分层随机抽样从两所学校高一年级的所有学生中抽取50人.
(1)两校分别抽取多少人?
(2)通过分析发现,甲校和乙校抽取的学生的平均分分别为85分和70分.试估计两校高一年级混合之后的平均分.
【解析】(1)两校的高一年级分别有600人和900人,则甲校、乙校抽取学生的比例为2∶3,所以甲校抽取的人数为50×25=20(人),乙校抽取的人数为50×35=30(人);
(2)混合后的平均分为20×85+30×7050=76(分).
【能力提升练】
9.(5分)某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人,乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分,则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是( )
A.85分B.85.5分
C.86分D.86.5分
【解析】选A.由题意可知,两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩为40×90+50×8190=85分.
10.(5分)为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上记号,不影响其存活,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合;再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅有20只.根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量为( )
A.4 000只B.3 000只
C.1 500只D.750只
【解析】选C.设该自然保护区中天鹅的数量为n只,则200n=20150,解得n=1 500.
11.(5分)(多选题)(2023·青岛二中模拟)某校进行交通知识问卷测试,已知该校高一年级有学生1 200人,高二年级有学生960人,高三年级有学生840人.为了解全校学生问卷测试成绩的情况,按年级进行比例分配的分层随机抽样得到容量为n的样本.若在高一年级中抽取了40人,则下列结论一定成立的是( )
A.样本容量n=100
B.在抽样的过程中,女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是不相等的
C.高二年级、高三年级应抽取的人数分别为32,28
D.如果高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分,那么估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为84.8分
【解析】选ACD.对于A,由比例分配的分层随机抽样的性质可得,1 2001 200+960+840=40n,解得n=100,故A正确;
对于B,女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是相等的,故B错误;
对于C,该校共有学生1 200+960+840=3 000(人),高二年级应抽取100×9603 000=32(人),高三年级应抽取100×8403 000=28(人),故C正确;
对于D,因为高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分,所以估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为40100×85+32100×80+28100×90=84.8分,故D正确.
12. (5分)某中学有男生900人,女生600人.在“书香校园”活动中,为了解全校学生的读书时间,按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生,其中男生、女生每天读书时间的均值分别为60分钟和80分钟.结合上述数据估计该校学生每天读书时间的均值为________分钟.
【解析】由题意可知男生、女生抽取比例分别为900900+600=35,600900+600=25,
故抽取样本的均值为60×35+80×25=68.
以此估计该校学生每天读书时间的均值为68分钟.
答案:68
13.(10分)为了调查学生每天完成家庭作业所需的时间,从高三某班40名学生中随机抽出8名.
(1)请用随机数法抽出人选,写出抽取过程.
(2)经了解,在该班抽取的8名学生每天完成家庭作业所需时间(单位:分钟)分别为60,55,75,55,55,43,65,40.按照学校要求,学生每天完成家庭作业所需的平均时间不能超过60分钟,试估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求.
【解析】(1)第一步,先将40人编号,可以编为01,02,…,40,并用计算机生成随机数表.
第二步,在随机数表的第一行中随机地选择一个数字作为起始数字,从左到右每两位数字作为一个编号进行抽取,大于40的或者重复出现的编号去掉,直至找到符合要求的8个编号.
第三步,将这8个编号对应的学生组成样本.
(2)这组样本观测数据的平均数为18×(60+55+75+55+55+43+65+40)=56,
由样本平均数估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间为56分钟.
因为56