2023-2024学年湖南省邵阳市新邵县七年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年湖南省邵阳市新邵县七年级（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算4a⋅a2−a3的结果是( )
A. 4B. 3a3C. 4aD. 4a3
2.把一个长方体包装盒剪开，再平铺成一个平面图形，我们把它叫做这个长方体包装盒的表面展开图.下列四个图形可看作一个长方体包装盒的表面展开图的是( )
A. B. C. D.
3.下列等式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A. (2x−3)2=4x2−12x+9B. x2−3x+2=(x−1)(x−2)
C. a2−5=(a+2)(a−2)−1D. (3+x)(3−x)=9−x2
4.如图，梯形ABCD中，AD//BC.若∠ADC=140°，且BD⊥CD，则∠DBC的度数为( )
A. 30°B. 40°
C. 50°D. 60°
5.下列运算正确的是( )
A. (2a2)3=6a6B. 3a2⋅a3=3a6
C. (a−b)2=a2−b2D. (3×105)×(2×103)=6×108
6.如图，在三角形ABC中，∠BAC=40°，将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到三角形ADE，则∠CAD的度数是( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 60°
7.已知(x+m)(x−n)=x2−3x+4，则m−n的值为( )
A. 1B. 3C. −1D. −3
8.某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是( )
A. 最高成绩是9.4环B. 平均成绩是9环
C. 这组成绩的众数是9环D. 这组成绩的方差是8.7
9.如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”.若关于x，y的方程组x+3y=4−ax−y=3a是“关联方程组”，则a的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. −2
10.如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，将三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，其中AB=8，BE=4，DM=3，则阴影部分的面积是( )
A. 20B. 24C. 26D. 28
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.分解因式：2x2−18= ．
12.若x=1y=2是关于x，y的二元一次方程2x+ay=8的一个解，则a的值为______．
13.用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=140°，则∠2的度数为______．
14.如果实数x，y满足方程组x−y=22x+2y=6，那么x2−y2的值______．
15.计算：(−512)2024×(125)2023= ______．
16.某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再将演讲内容、演讲能力、演讲效果分别以12，25，110为权计算综合成绩，小亮的三项成绩依次是88，98，90，他的综合成绩是______分.
17.俗话说“要想福先修路”.希望村计划在家乡河上建一座桥，如图所示的方案中，在MA处建桥最合适，理由是______．
18.如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长为18，宽为8的长方形，如图2则图2中(1)部分的面积是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，有格点三角形ABC(顶点都是格点)和直线MN．
(1)画出三角形ABC关于直线MN对称的三角形A1B1C1
(2)将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到三角形AB2C2，在正方形网格中画出三角形AB2C2．
(不要求写作法)
20.(本小题8分)
解方程组：
(1)x=3y+1−2x+5y=2；
(2)a−b=−13a+b+c=2a−2b+c=−6
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(2a+b)(a−2b)−2(a−b)2，其中a=2024，b=−1
22.(本小题8分)
如图，已知AC//DE，∠D+∠BAC=180°．
(1)求证：AB//CD；
(2)连接CE，恰好满足CE平分∠ACD，若AB⊥BC，∠CED=36°，求∠ACB的度数．
23.(本小题8分)
甲、乙两位同学5次参加“数学学科素养赛”选拔赛的成绩统计如表，他们5次测试的总成绩相同，请同学们完成下列问题：
(1)根据统计表求a，甲同学成绩的中位数，乙同学成绩的众数；
(2)小林计算出甲同学的成绩平均数为60，方差是S甲2=200.请你求出乙同学成绩的平均数和方差；
(3)从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定．
24.(本小题8分)
明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客，诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有9人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就有一间房少7人．
(1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费50钱，且每间客房最多人住3人，一次性定客房25间以上(含25间)，房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
25.(本小题10分)
教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2与a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：x2+2x−3=(x2+2x+1)−4
=(x+1)2−4
=(x+1+2)(x+1−2)
=(x+3)(x−1)；
2x2+4x−6=2(x2+2x+1)−8
=2(x+1)2−8
则当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2−5x−6= ______；
(2)当x为何值时，多项式−2x2−8x+3有最大值？并求出这个最大值；
(3)已知2a2+3b2−12a+6b+21=0，求ab的值．
26.(本小题10分)
如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交AB，CD于点E，点F，EG平分∠BEF交CD于点G，且∠FEG=∠FGE．

(1)判断直线AB与直线CF是否平行，并说明理由．
(2)如图2，点M是射线GF上一动点(不与点G，F重合)，EN平分∠FEM交CD于点N，过点N作NH⊥EG于点H，设∠ENH=α，∠EMF=β．
(温馨提示：在三角形ENH中，∠ENH+∠EHN+∠NEH=180°)
①当点M在点F的左侧时，若α=32°，求β的度数．
②当点M在运动过程中α和β之间有怎样的关系？写出你的猜想，并加以证明．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.C
5.D
6.A
7.D
8.D
9.D
10.C
11.2(x+3)(x−3)
12.3
13.20°
14.6
15.512
16.93.2
17.垂线段最短
18.150
19.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△AB2C2即为所求．
20.解：(1)x=3y+1①−2x+5y=2②，
把①代入②得−2(3y+1)+5y=2，
解得y=−4，
把y=−4代入①得x=−11，
∴方程组的解为x=−11y=−4；
(2)a−b=−1①3a+b+c=2②a−2b+c=−6③，
②−③得2a+3b=8④，
④−①×2得5b=10，即b=2，
把b=2代入①得a=1，
把a=1，b=2代入②得，3+2+c=2，
解得c=−3，
∴方程组的解为a=1b=2c=−3．
21.解：(2a+b)(a−2b)−2(a−b)2
=2a2−4ab+ab−2b2−2(a2−2ab+b2)
=2a2−3ab−2b2−2a2+4ab−2b2
=ab−4b2，
当a=2024，b=−1时，
原式=2024×(−1)−4×(−1)2
=−2024−4
=−2028．
22.(1)证明：∵AC//DE，
∴∠D+∠ACD=180°，
又∵∠D+∠BAC=180°，
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB//CD．
(2)解：连接CE，
∵AC//DE，∠CED=36°，
∴∠ACE=∠CED=36°，

∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACE=72°，
由(1)知：AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD=72°，
又∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠ACB=180°−∠B−∠BAC=180°−90°−72°=18°．
23.解：(1)a=(80+40+70+50+60)−(70+50+70+70)=40．
将甲同学成绩从小到大排列为：40，50，60，70，80，
所以甲同学成绩的中位数是60，
由成绩统计表得，乙同学成绩的众数是70，
即a的值为40，甲同学成绩的中位数为60，乙同学成绩的众数为70；
(2)乙同学的成绩平均数为15×(70+50+70+40+70)=60，
方差S乙2=15×[(70−60)2+(50−60)2+(70−60)2+(40−60)2+(70−60)2]=160；
(3)因为甲乙两位同学的平均数相同，S甲2>S乙2，
所以乙同学的成绩更稳定．
24.解：(1)设该店有客房x间，房客y人，
依题意，得：7x+7=y9(x−1)=y，
解得：x=8y=63．
答：该店有客房8间，房客63人；
(2)若每间客房住3人，则63名客人至少需要客房21间，需付费50×21=1050(钱)；
若一次性定客房25间，则需付费50×25×0.8=1000(钱)．
∵1050>1000，
∴一次性定客房25间更合算．
答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房25间更合算．
25.(1)(x−6)(x+1)．
(2)−2x2−8x+3=−2(x2+4x+4−4)+3=−2(x+2)2+11，
∵−2(x+2)2≤0．
∴当x=2时，原式有最大值，最大值为：11．
(3)ab=−3．
26.解：(1)结论：AB/​/CD．
理由：如图1，

∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠BEG=∠FEG，
∵∠FEG=∠FGE．
∴∠BEG=∠FGE．
∴AB//CD．
(2)①如图2，
∵HN⊥EG，
∴∠NHE=90°，
∵α=32°，
∴∠NEH=90°−∠HNE=90°−32°．
∴∠HEN=58°，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠FEG=∠BEG，
∵EN平分∠FEM交CD于点N，
∵∠NEM=∠NEF，∠HEN=12∠MEF+12∠FEB=12∠MEB=58°，
∴∠MEB=116°
∵AB//CD，
∴∠EMF+∠MEB=180°，
∴∠EMF=β=64°；
②猜想：α=12β或α=90°−12β
理由：(1)当点M在F的左侧时，如图2，
∵HN⊥EG，
∴∠NHE=90°，
∴∠NEH=90°−α，
∴∠HEN=58°，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠FEG=∠BEG，
∵EN平分∠FEM交CD于点N，
∵∠NEM=∠NEF，∠HEN=12∠MEF+12∠FEB=12∠MEB，
∴∠MEB=2∠NEH=2(90°−α)，
∵AB//CD，
∴∠EMF+∠MEB=180°，
∴β+∠MEB=180°，
∴β+2(90°−α)=180°，
∴β=12α.
(2)当点M在F的右侧时，

∵AB//CD，
∴∠BEM=∠EMF=β，
∵EG平分∠BEF交CD于点G
∴∠FEG=∠BEG，
∵EN平分∠FEM交CD于点N
∵∠FEN=∠MEN，
∴∠HEN=∠GEF−∠FEN=12∠BEF−12∠FEM=12∠β
∵HN⊥EM，
∴∠NHE=90°，
∴α=∠ENH=90°−∠HEN=90°−12β
综上所述，α=12β或α=90°−12β．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
80
40
70
50
60
乙成绩
70
50
70
a
70