浙江省九年级开学摸底数学测评卷（解析卷）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x=0B．2x3−x=0C．xy−1=0D．1x2+x=2
【答案】A
【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．
【详解】解：A．x2+x=0，符合一元二次方程的定义，故符合题意；
B．2x3−x=0，方程最高次数是3，不符合一元二次方程定义，故不符合题意；
C．xy−1=0，含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意；
D．1x2+x=2不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
2．下列图标是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键．
【详解】解：A.不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；
B.不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；
C.符合轴对称图形定义，故此项符合题意；
D.不符合轴对称图形定义，故不此项符合题意；
故选：C．
3．下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=3−3x2；②y=2x2；③y=x3−5x；④y=1+2x1−2x+4x2
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
【详解】①y=3−3x2，是二次函数；
②y=2x2，分母中含有字母，不是二次函数；
③y=x3−5x=−5x2+3x，是二次函数；
④y=1+2x1−2x+4x2=1−4x2+4x2=1，不是二次函数.
则二次函数共2个，
故选：B
4．淘气统计一组数据142，140，143，136，149，139，得到它们的方差为s02．奇思将这组数据中的每一个数都减去140，得到一组新数据2，0，3，－4，9，－1，计算得出这组新数据的方差为s12．则s02与s12的关系为（ ）
A．s02>s12B．s02【答案】C
【分析】分别求出两组数据的方差进行比较即可．
【详解】解：142，140，143，136，149，139的平均数为：142+140+143+136+149+1396=141.5，
方差为：S02=(142−141.5)2+(140−141.5)2+(143−141.5)2+(136−141.5)2+(149−141.5)2+(139−141.5)26≈11.208；
2，0，3，－4，9，－1的平均数为：2+0+3+(−4)+9+(−1)6=1.5，
方差为：S12=(2−1.5)2+(0−1.5)2+(3−1.5)2+(−4−1.5)2+(9−1.5)2+(−1−1.5)26≈11.208；
∴S02=S12，
故选：C．
【点睛】题目主要考查平均数及方差的求法，熟练掌握方差的计算方法是解题关键．
5．现有两根长度分别为3cm和5cm的小棒， 再从5 根长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，8cm小棒中随机选择一根，以所选的三根小棒为边，能围成三角形的概率是（ ）
A．15B．25C．35D．45
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系得出第三根木棒的长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案，
本题考查了，三角形三边关系，概率公式，解题的关键是：熟练掌握概率公式的应用．
【详解】解：∵两根小棒棒的长分别是3cm和5cm，
∴第三根小棒的长度大于2cm，小于8cm，
∴能围成三角形的是：3cm，4cm，5cm的小棒，
∴能围成三角形的概率为35．
故答案为：35．
6．如图，在高3米，宽5米的矩形墙面上有一块长方形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两边都留有宽度相同为x米的空白墙面．若矩形装饰板的面积为4.5平方米，则以下方程正确的是（ ）
A．3−x5−x=4.5B．3−x5−2x=4.5
C．3−2x5−x=4.5D．3−2x5−2x=4.5
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据长方形装饰板的面积为4.5m2，列一元二次方程即可，理解题意是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得3−x5−2x=4.5，
故选：B．
7．反比例函数y=2x的图象上有两点Ax1,y1，Bx2,y2，若x1>x2，x1x2>0，则y1−y2的的值是（ ）
A．正数B．0C．负数D．非负数
【答案】C
【分析】由x1x2>0可知点A，B在同一象限，然后根据反比例函数的图像和性质可得y1−y2的符号.
【详解】解：反比例函数y=2x的图象位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1x2>0，
∴x1，x2同号，即点A，B在同一象限，
∵x1>x2，
∴y2>y1，
∴y1−y2<0，
故选C.
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，根据题意得到点A，B在同一象限是解题关键.
8．如图，△ABC中，∠A=60°,AC>AB>2，点D,E分别在边AB,AC上，且BD=CE=2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，则MN的长为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】C
【分析】由“SAS”可证△DNB≌△FNC，可得BD=CF=2，∠B=∠DFC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求EF的长，由三角形中位线定理可求解．
【详解】解：如图，连接DN并延长至F，使得FN=DN，连接CF，EF，作CJ⊥EF于J．
∵点N是BC的中点，
∴BN=CN，
∵FN=DN，∠BND=∠CNF，
∴△DNB≌△FNC(SAS)，
∴BD=CF=2，∠B=∠DFC，
∴AB∥CF，
∴∠A+∠ACF=180°，∠A=60°，
∴∠ECF=120°，
∵CJ⊥EF，
∴∠CFE=∠CEF=30°，
∴CJ=12CE=1，EJ=JF=CE2−CJ2=3CJ=3EC，
∴EF=2EJ=23，
∵DM=ME，DN=NH，
∴MN=12EF=3．
故选：C
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．如图是二次函数y=ax2+bx+ca≠0图像的一部分，对称轴为直线x=1，则下列结论中正确的是（ ）
A．8a+c<0
B．abc>0
C．当−1D．若−2,y1，12,y2，3,y3在该函数图像上，则y3【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴x=1判定b=−2a>0；根据当x=−2时，y<0，即y=4a−2b+c=8a+c<0，然后由函数图象对称性可得，当x=−1与x=3时，函数值相同，根据图象即可判断CD．
【详解】解：如图：根据抛物线对称性补全图象得：
∵抛物线开口方向向下，交y轴于正半轴，
∴a<0，c>0，
又∵对称轴为直线x=1，即x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故B错误，不符合题意；
由函数图象可得，当x=−2时，y<0，即y=4a−2b+c=8a+c<0，故A正确，符合题意；
∴由函数图象可得当当−1由函数图象对称性可得，当x=−1与x=3时，函数值相同，
∵−2<−1<12，
∴由函数的增减性可得：y1故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
10．在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°。其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．③④D．①②③④
【答案】B
【分析】根据正方形的性质结合轴对称得性质可得AB′=AD，可判断①正确；可得EF为△BCB′的中位线，即有EF∥B′C，可得∠BB′C=∠BFE=90°，可判断②正确；利用AAS可证明△ABF≌△BCB′，即可证明BF=B′C，进而可得B′F=B′C，进而有∠CFB′=∠FCB′=45°，可得∠BFC=135°，再证明△BFC≌△CB′D，可得∠CB′D=∠BFC=135°，可判断④正确；根据周角的定义可得∠FB′D=135°，由BE=12AB可得∠AEB≠60°，根据等腰三角形的性质及角的和差关系可得∠AB′B=∠AEB≠60°，进而可得∠AB′D≠75°，根据等腰三角形的性质可得∠ADB′=∠AB′D≠75°，可判断③错误；综上即可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，
∴AB=AB′，FB=FB′，AF⊥BB′，
∴AB′=AD，故①正确；
∵FB=FB′，点E为BC边的中点，
∴EF为△BCB′的中位线，
∴EF∥B′C，
∴∠BB′C=∠BFE=90°，即△FCB′是直角三角形，故②正确；
∵∠B′BC+∠ABF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠BAF=∠B′BC，
在△ABF和△BCB′中，∠AFB=∠BB′C=90°∠BAF=∠B′BCAB=BC，
∴△ABF≌△BCB′，
∴BF=B′C，
∴B′F=B′C，即△FCB′是等腰直角三角形，
∴∠CFB′=∠FCB′=45°，
∴∠BFC=135°，
∴∠FBC+∠FCB=45°，∠FCB+∠DCB′=45°，
∴∠FBC=∠DCB′，
在△BFC和△CB′D中，BF=B′C∠FBC=∠DCB′BC=CD，
∴△BFC≌△CB′D，
∴∠CB′D=∠BFC=135°，故④正确，
∴∠BB′D=360°−∠FB′C−∠CB′D=135°，即∠AB′B+∠AB′D=135°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠AEB，
∵∠ABF=∠AB′B，
∴∠AEB=∠AB′B，
∵BE=12AB，
∴∠AEB≠60°，
∴∠AB′D≠75°，
∵AD=AB′，
∴∠ADB′=∠AB′D≠75°，故③错误；
综上所述：正确的结论有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知二次函数y＝3x2+2x，当﹣1≤x≤0时，函数值y的取值范围是 ．
【答案】﹣13≤y≤1
【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+13）2﹣13，
∴函数的对称轴为x＝﹣13，
∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣13，当x＝﹣1时，有最大值1，
∴y的取值范围是﹣13≤y≤1，
故答案为﹣13≤y≤1．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
12．某种树苗移植的成活情况记录如下：估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）．
【答案】0.80
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率求解即可．
【详解】解：由表知，估计该树苗移植成活的概率为0.80，
故答案为：0.80．
13．当x=1时，二次根式7−3x的值是 ．
【答案】2
【分析】将x=1代入原式即可求出答案．
【详解】解：当x=1时，
7−3x
=7−3×1
=4
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查求二次根式的值，二次根式的性质．解题的关键是掌握二次根式的性质．
14．在数据2，0，-1，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的值是 ．
【答案】x=4
【分析】先把这组数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数为3求解．
【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：-1、0、2、4、6，
∵中位数为3，
∴x在2和4之间，即-1、0、2、x、4、6，
则（2+x）÷2=3，
解得：x=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15．已知二次函数y=ax2+bx+ca>0，图象上有四点A−1,y1，B3,y1，C2,y2，D−2,y3，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
【答案】y2【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，二次函数图象的性质，先根据解析式得到二次函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，再由对称性求出对称轴为直线x=−1+32=1，据此求出A、C、D三点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=ax2+bx+ca>0，
∴二次函数图象开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵A−1,y1，B3,y1都在二次函数图象上，
∴对称轴为直线x=−1+32=1，
∵A−1,y1，B3,y1，C2,y2，D−2,y3都在二次函数图象上，且1−(−2)>1−(−1)>2−1，
∴y2故答案为：y216．如图，点A、C为反比例函数y1=−6x上的动点，点B、D为反比例函数y2=2x上的动点，若四边形ABCD为菱形，则该菱形边长的最小值为 ．
【答案】4
【分析】连接AC、BD，则AC⊥BD．设A(a，−6a)，D(m，2m)，则B(−m，−2m)．根据两点的距离公式可分别求出AD、AB、OA、OD的长．再根据菱形的性质即得出AD=AB，即可求出a和m的关系．最后在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出AD的最小值．
【详解】如图，连接AC、BD，则AC⊥BD．
根据题意可设A(a，−6a)，D(m，2m)，则B(−m，−2m)．
∴AD=(m−a)2+2m−(−6a)2，AB=(−m−a)2+−2m−(−6a)2，OA=a2+(−6a)2，OD=m2+(2m)2．
∵AD=AB，
∴(m−a)2+2m−(−6a)2=(−m−a)2+−2m−(−6a)2．
整理得：a2m2=12，即a2=12m2
在Rt△AOD中，AD=OA2+OD2，即AD=(a2+(−6a)2)2+(m2+(2m)2)2，
整理得：AD=a2+36a2+m2+4m2，
将a2=12m2代入上式得：AD=2m2+4m2=2(m−4m)2+4．
∵2(m−4m)2+4≥4，
∴AD≥4．
∴该菱形边长的最小值为4．
故答案为4．
【点睛】本题考查反比例函数图象和性质，菱形的性质，两点的距离公式以及勾股定理，数据处理难度大，较难．作出辅助线是解答本题的关键．

三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）(−1)2021−2(π+1)0+327−|1−2|
（2）(3+2)2(1+2)(1−2)．
【答案】（1）−2+1；（2）−11−62．
【分析】（1）先计算乘方，零指数幂，立方根，绝对值化简，再计算加减法即可；
（2）先利完全平方公式与平方差公式计算，合并化简即可．
【详解】解：（1）(−1)2021−2(π+1)0+327−|1−2|，
=−1−2×1+3−2−1，
=−1−2+3−2+1，
=−2+1；
（2）(3+2)2(1+2)(1−2)，
=9+62+2(1−2)，
=11+62×(−1)，
=−11−62．
【点睛】本题主要考查实数混合运算以及二次根式计算，掌握基本知识是解题关键．
18．已知关于x的一元二次方程x2−k+2x+k−1=0．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)己知5是此方程x2−k+2x+k−1=0的一个根，求k的值和这个方程的另一个根
【答案】(1)证明见解析
(2)k=72，方程的另一根为12
【分析】本题考查了根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca．也考查了根的判别式．
（1）根据根的判别式，即可得出Δ=k2+8>0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）把x=5代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根．
【详解】（1）证明：∵a=1,b=−(k+2),c=k−1，
∴Δ=b2−4ac=[−(k+2)]2−4×1×(k−1)=k2+8，
无论k取何值，k2≥0，
则k2+8>0，
∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：把x=5代入方程可得25−5(k+2)+k−1=0，
解得：k=72，
当k=72时，原方程为x2−112x+52=0，
解得x1=12,x2=5，
即方程的另一根为12．
19．某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
整理、描述数据
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
解决问题
(1)表格中的a=______；b=______；c=______；
(2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
(3)学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
【答案】(1)5；2；75
(2)78；80
(3)A，B两名队员恰好同时被选中的概率为16．
【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，统计表，众数和中位数的意义．
（1）根据统计表直接写出a和b的值，根据众数的意义可求解c的值；
（2）根据中位数和平均数的意义即可求解；
（3）画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可求解．
【详解】（1）解：根据收集的数据知a=5；b=2；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则c=75；
故答案为：5；2；75；
（2）解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．
故答案为：78；80；
（3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有12种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有2种，
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为=212=16，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为16．
20．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连结DE，BF．
(1)求证：∠EBF=∠EDF；
(2)若AB=13，BC=20，AC=21，求四边形BEDF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)132
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）证明四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论；
（2）设AE=x，则：CE=21−x，勾股定理求出x的值，进而求出BE,EF的长，进而求出四边形BEDF的面积即可．
【详解】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD,AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE∥DF,∠BEA=∠DFC=90°，
∴△AEB≌△CFD，
∴BE=DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF；
（2）由（1）知：△AEB≌△CFD，
∴AE=CF，
设AE=x，则：CE=21−x，
由勾股定理，得：BE2=AB2−AE2=BC2−CE2，
∴132−x2=202−21−x2，
解得：x=5，
∴AE=CF=5，
∴BE=132−52=12，EF=AC−AE−CF=11，
∴S△BEF=12×11×12=66，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF的面积=2S△BEF=132．
21．万达广场以每件10元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于20元/件，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表：
求商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
【答案】每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元．
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．设y与x之间的函数关系式为y=kx+bk≠0，把10,30,15,25代入求出k和b的值即可得出函数关系式，根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+bk≠0，
把10,30,15,25代入得：
30=10k+b25=15k+b，
解得：k=−1b=40，
∴y与x之间的函数关系式为y=−x+40，
∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，
∴10≤x≤20；
根据题意可得：
w=x−10y
=x−10−x+40
=−x2+50x−400
=−x−252+225
∵a=−1<0，
∴当x<25时，w随x的增大而增大，
∵10≤x≤20，
∴当x=20时，w取最大值，此时w=−20−252+225=200，
∴每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元．
22．如图，顶点M(0,−1)的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接AM，BM．
(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
【答案】(1)点A的坐标是(−1,0)，y=x2−1
(2)点B的坐标为(2,3)
【分析】本题考查了一次函数与抛物线的交点问题，用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标问题，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，能求出点A的坐标是解此题的关键．
（1）先根据一次函数的解析式求出点A的坐标，设顶点为(0,−1)的抛物线的解析式为y=ax2−1，把点A的坐标代入求出a即可；
（2）解两函数解析式组成的方程组，即可求出点B的坐标．
【详解】（1）由y=x+1，
得当y=0时，x=−1，
所以点A的坐标是(−1,0)，
设顶点为(0,−1)的抛物线的解析式为y=ax2−1，
点A(−1,0)在抛物线y=ax2−1上，∴0=a−1，
解得：a=1，
抛物线的解析式为y=x2−1；
（2）联立y=x+1y=x2−1，
得：x1=−1y1=0，x2=2y2=3，
点A的坐标是(−1,0)，
点B的坐标为(2,3)．
23．已知，等腰Rt△ADM中，∠AMD=90°，AM=MD，▱ABCD的边BC经过点M，点E是线段DM上一动点，连接AE．

(1)如图1，若点E是DM的中点，∠ABC=60°，AE=10，求BM的长；
(2)如图2，连接CE，当AE⊥AB时，求证：CD+CE=AE；
(3)如图3，等腰Rt△AEF中∠FAE=90°，AF=AE，连接FM，若CM=2，AB=10，当点E在运动过程中，请直接写出△AFM周长的最小值．
【答案】(1)2+233
(2)见详解
(3)32+310
【分析】（1）过点M作MN⊥AD于点N，过点A作AK⊥BC于点K，设AM=MD=2a，则AD=22a，根据等腰直角三角形的性质可得AN=DN=2a，MN=2a，在Rt△AME中，由勾股定理列式可解得a=2，易得AN=MN=2a=2，再证明四边形AKMN为矩形，进而可得MK=AN=2，AK=MN=2，在Rt△ABK中，由勾股定理可解得BK=233，即可获得答案；
（2）延长AM、DC，交于点F，分别证明△AME≌△DMF，△CME≌△CMF，结合全等三角形的性质，即可证明结论；
（3）过点F作FR∥AM，交DA的延长线于点R，过A作SA⊥AD交FR于点S，证明△FAS≌△EAD，可得FS=ED，即点F在直线RS上运动，作点A关于RS的对称点Q，交RS于点O，连接QM，交RS于点N，连接QF，当点Q、F、M在同一直线上时，△AFM周长取最小值，且C△AFM=AM+QM，过点C作CH⊥DM于点H，求得AM，QM的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图，过点M作MN⊥AD于点N，过点A作AK⊥BC于点K，

∵等腰Rt△ADM中，∠AMD=90°，AM=MD，
设AM=MD=2a，则AD=22a，
∴AN=DN=12AD=2a，MN=12AD=2a，
∵点E是DM的中点，AE=10，
∴ME=12MD=a，
∴在Rt△AME中，可有AM2+ME2=AE2，
即2a2+a2=102，整理可得a2=2，
解得a=2或a=−2（舍去），
∴AN=MN=2a=2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∵MN⊥AD，AK⊥BC，
∴∠AKM=∠ANM=90°，
∴∠KMN=180°−∠ANM=90°，
∴四边形AKMN为矩形，
∴MK=AN=2，AK=MN=2，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAK=90°−∠ABC=30°，
∴AB=2BK，
∴在Rt△ABK中，可有AK2+BK2=AB2，
即22+BK2=2BK2，整理可得BK2=43，
解得BK=233，
∴BM=BK+KM=2+233；
（2）延长AM、DC，交于点F，如下图，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，BC∥AD，AB=CD，
∵∠AMD=90°，AM=MD，
∴∠MDA=∠MAD=45°，
∵AE⊥AB，
∴∠BAD=∠BCD=90°+∠DAE，
∴∠MDC=180°−90°+∠DAE−45°=45°−∠DAE，
∵∠AMD=90°，即AM⊥DM，
∴∠F=90°−∠MDC=45°+∠DAE，
∵∠AEM=∠ADM+∠DAE=45°+∠DAE，
∴∠F=∠AEM，
在△AME和△DMF中，
∠F=∠AEM∠FMD=∠EMA=90°MD=MA，
∴△AME≌△DMFAAS，
∴AE=DF=DC+CF=AB+CF，ME=MF，
∵BC∥AD，∠MDA=45°，
∴∠EMC=∠MDA=45°，
∵AM⊥DM，
∴∠FMC=90°−∠EMC=45°=∠EMC，
在△CME和△CMF中，
ME=MF∠EMC=∠FMCMC=MC，
∴△CME≌△CMFSAS，
∴CE=CF，
∴AB+CE=CD+CF=DF=AE；
（3）如下图，过点F作FR∥AM，交DA的延长线于点R，过A作SA⊥AD交FR于点S，

∵∠AMD=90°，AM=MD，
∴∠ASF=∠SAM=∠MAD=∠MDA=45°，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴∠FAS+∠SAE=∠EAD+∠SAE=90°，
∴∠FAS=∠EAD，
在△FAS和△EAD中，
∠EAD=∠FAS∠EDA=∠FSAAE=AF，
∴△FAS≌△EADAAS，
∴FS=ED，
∴点F在直线RS上运动，
如图，作点A关于RS的对称点Q，交RS于点O，连接QM，交RS于点N，连接QF，
当点Q、F、M在同一直线上时，
则C△AFM=AM+AF+MF=AM+QF+FM=AM+QM，此时△AFM周长取最小值，
过点C作CH⊥DM于点H，
∵BC∥AD，∠MDA=45°，
∴∠HMC=∠MDA=45°，
∵CM=2，CD=AB=10，
∴HM=CH=22=2，HD=CD2−CH2=102−22=22，
∴AM=DM=HM+HD=32，AD=2AM=6，
∴AR=AS=AD=6，△ARO为等腰直角三角形，
∴2OA2=AR2，即2OA2=62，
解得OA=32，AQ=2OA=62，
∵FR∥AM，
∴∠QAM=90°，
∴QM=AQ2+AM2=622+322=310，
∴C△AFM=AM+QM=32+310，
∴△AFM周长的最小值为32+310．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键．
24．我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．
【概念㦚析】
（1）若矩形A是边长为1的正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？ ．（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】
长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=14，xy=24，
联立x+y=14①xy=24②由①得y=14−x③，
将③代入②，得x2−14x+24=0，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数l2:y=24x与一次函数l1:y=−x+14来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
（2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全12倍体？请你利用上述其中一种思路，若存在，请求出新矩形的长和宽；若不存在，请说明理由．
（3）静静认为对于任意长为m，宽为n的矩形Cm>n>0都存在完全2倍体；小兰认为有些矩形不存在完全2倍体．你支持谁的观点？请说明理由．
【答案】（1）不存在；（2）不存在，见解析；（3）支持静静的观点
【分析】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可；
（2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可；
（3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得x+y=2m+n，xy=2mn，可得x2−2m+nx+2mn=0，再运用根的判别式即可求得答案．
【详解】解：（1）假设存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体，则正方形B的周长是正方形A周长的2倍，
∵正方形A的边长为1，
∴正方形B的边长是2，
∴正方形B的面积是4，这与“完全2倍体”矛盾，所以不存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体．
故答案为：不存在；
深入探究：长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形，
理由：∵矩形ABCD的长为4，宽为3，
∴矩形ABCD的周长为14，面积为12，
小鸣方程流：
设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=14，xy=24，
联立x+y=14xy=24，
整理得：x2−14x+24=0，
解得：x1=12，x2=2，
∴新矩形的长为12，宽为2时，周长为28，面积为24，
∴长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形；
小棋函数流：如图，设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=14，xy=24，
即y=−x+14，y=24x，利用反比例函数l2：y=24x与一次函数l1：y=−x+14来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体，如图：
故长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体；
（2）方法1：设新矩形长和宽为x、y，则依题意得x+y=72，xy=6，
联立x+y=72xy=6，得2x2−7x+12=0，
∴Δ=−72−4×2×12=−47<0，
∴方程无解，
∴长为4，宽为3的矩形C不存在完全12倍体．
方法2：如图，
反比例函数：y=6x与一次函数：y=−x+72没有交点，所以不存在完全12倍体；
（3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得x+y=2m+n，xy=2mn，
∴x2−2m+nx+2mn=0，
∴Δ=2m+2n2−4×1×2mn=4m2+4n2≥0，
∴对于任意长为m，宽为n的矩形Cm>n>0都存在完全2倍体，
∴静静的说法是正确的．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解新定义“矩形A是矩形B的完全N倍体”，根据题干过程模仿解题．第（3）题应用一元二次方程根的判别式求k的范围．
移植数量（棵）
20
40
100
200
400
1000
移植成活的数量（棵）
15
33
78
158
321
801
移植成活的频率
0.750
0.825
0.780
0.790
0.801
0.801
收集数据
77
78
76
72
84
75
91
85
78
79
82
78
76
79
91
91
76
74
75
85
75
91
80
77
75
75
87
85
76
77
成绩/分
72
74
75
76
77
78
79
80
82
84
85
87
91
人数/人
1
1
a
4
3
3
b
1
1
1
3
1
4
平均数
众数
中位数
80
c
78
销售价（x元）
10
15
18
20
销售量（y件）
30
25
22
20