初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形课后复习题

这是一份初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形课后复习题，文件包含第4章相似三角形单元检测解析卷docx、第4章相似三角形单元检测原题卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
1．选项图形与如图所示图形相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的性质，根据形状相同排除A、B、C，可得出答案．
【详解】因为相似图形的形状相同，
A、B、C三个选项中的图形形状与题干所给图形形状不同，均不符合题意；
D选项中的图形形状与题干所给图形形状相同，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查相似图形的概念理解，准确把握图形相似的概念是本题的解题关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．所有的菱形都是相似形
B．对应边成比例的两个多边形相似
C．对应角相等的两个多边形相似
D．所有的正方形都是相似形
【答案】D
【分析】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．
【详解】解：A、所有的菱形不一定是相似形，对应角不一定相等，故此选项错误；
B、对应边成比例的两个多边形不一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误；
C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；
D、所有的正方形都是相似形，对应边成比例且对应角相等，故此选项正确；
故选：D
3．如图，D是△ABC边AB上一点，连接CD，则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD=∠BB．∠ADC=∠ACB
C．ADAC=CDBCD．AC2=AD⋅AB
【答案】C
【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断是解题的关键．
【详解】A．当∠ACD=∠B时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意；
B．当∠ADC=∠ACB时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意；
C．当ADAC=CDBC时，再由∠A=∠A，无法判定△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D．当AC2=AD⋅AB，即ACAB=ADAC时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意．
故选C．
4．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，DE=1，AB=4，则下列结论正确的是（ ）
A．EF=4AEB．CF=4ADC．AF=4AED．CF=4BC
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，AB=CD=4，根据DE=1，得出CE=CD−DE=3，根据平行线分线段成比例定理得出AEEF=ADCF=DECE=13，然后逐项进行判断即可．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD=4，
∵DE=1，
∴CE=CD−DE=3，
∵AD∥BC，
∴AEEF=ADCF=DECE=13，
∴EF=3AE，CF=3AD，故A、D不符合题意；
∴AF=AE+EF=4AE，故C符合题意；
∵CF=3AD，BC=AD，
∴CF=3BC，故D不符合题意．
故选：C．
5．已知：a−ba+b=12，则ab的值为（ ）
A．13B．12C．1D．3
【答案】D
【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数”是解本题的关键．由a−ba+b=12可得a=3b，再代入要求值的分式ab中，再计算即可．
【详解】解：∵a−ba+b=12，
∴2a−b=a+b，
∴a=3b，
∴ab=3bb=3，
故选：D．
6．0.618是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值．研究发现，当成人的体重（kg）与身高（cm）的比达到(1−0.618):1时，那么这个成人的体重就比较理想．若王老师的身高是165cm，下列选项中，最接近她的理想体重的是（ ）
A．65kgB．63kgC．60kgD．55kg
【答案】B
【分析】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是读懂黄金分割．
根据黄金分割直接列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵王老师的身高是165cm，
∴根据题意得，体重=165×1−0.618=63.03kg．
∴最接近她的理想体重的是63kg．
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为(5,4)，点C的坐标为(3,0)，且AB=2DE，则点D的坐标为（ ）
A．(2,2)B．(2,−2)C．(1,2)D．(1,−2)
【答案】B
【分析】本题考查位似变换，坐标与图形．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N．利用相似三角形的性质求出DN，ON即可解答．
【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N．
∵△ABC与△DEC是以点C为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEC，
∴ACDC=ABDE=2，
∵A5,4，C3,0，
∴OM=5，OC=3，AM=4，
∴CM=OM−OC=5−3=2，
∵AM⊥x轴， DN⊥x轴，
∴AM∥DN，
∴△AMC∽△DNC，
∴AMDN=MCNC=ACDC=2，
∴CN=1，DN=2，
∴ON=OC−ON=3−1=2，
∴D2,−2．
故选：B．
8．如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．12B．18C．20D．24
【答案】B
【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
连接BD，根据三角形重心的性质可知：P在BD上，由三角形中线平分三角形的面积可知：S△ABC=2S△BDC，证明△DFP∽△BEP和△BEP∽△BCD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【详解】解：如图，连接BD．
∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
∴P在BD上，S△ABC=2S△BDC，
∴BP:PD=2:1，
∵DF∥BC，
∴△DFP∽△BEP，
∴ S△DFPS△BEP=14，
∵EF∥AC，
∴△BEP∽△BCD，
∴ S△BEPS△BCD=BPBD2=232=49，
设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m，
∵四边形CDFE的面积为6，
∴m+9m−4m=6，
∴m=1，
∴△BCD的面积为9，
∴△ABC的面积是18．
故选：B．
9．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．增加1米B．减少1米C．增加2米D．减少2米
【答案】D
【分析】此题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，过点O作OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF⊥CD，

∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD，
∴ABCD=OEOF，
∵EF=2米，OE=4米，则OF=6米，
∴ABCD=OEOF=23，
AB=2k，CD=3k，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，
即AB=2k，C′D′=6k，△AO′B∽△C′O′D′，
∴ABC′D′=O′E′O′F′=13，
则O′E′=2米，
∴光源与小明的距离减少OE−O′E′=4−2=2（米），
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，M为CD上一点，连接AM与BD交于点N，点F在BC上，点E在AD上，连接EF交BD于点G，且AM⊥EF，垂足为H．若H为AM的中点，则下列结论：①AM=EF；②BGGD=MDCM；③GH=FG+HE；④△AHE∽△GHN．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练运用相关知识，运用特殊值法与反证法是解决本题的关键．过点F作FK⊥AD于点K，证明△FKE≌△ADM(AAS)即可判断①；采用特殊值法判断②，若点M是CD的中点，则DMCM=1，又△BFG∽△DEG，得到BGGD=BFDE=13，从而BGGD≠MDCM，故②错误；过点M作MP∥AD，交FE于点P，交BD于点Q，证得△MPH≌△AEH(AAS)，得到PH=EH，MP=AE，根据正方形的性质与△FKE≌△ADM(AAS)得到MQ=MD=KE，进而有PQ=AK，从而可证得△BFG≌△QPG(ASA)，有FG=PG，因此FG+EH=PG+PH=HG，故③正确；利用反证法证明④，假设△AHE∽△GHN成立，则∠AEH=∠GNH，根据同角的余角相等推出∠BAN=∠BNA，即BN=BA，而AB是定值，BN随着点M的变化而变化，故BN=BA不成立，从而△BFG∽△DEG不成立，故④错误．
【详解】解：如图，过点F作FK⊥AD于点K，
∴∠FKA=∠FKE=90°，
∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形ABFK是矩形，
∴FK=BA，
∵在正方形ABCD中，AB=AD，
∴FK=AD，
∵AM⊥EF，
∴∠AHE=90°，
∴∠AEH+∠EAH=90°，
∵∠AMD+∠MAD=180°?∠ADM=90°，
∴∠FEK=∠AMD，
∵∠FKE=∠ADM=90°，
∴△FKE≌△ADM(AAS)，
∴FE=AM；故①正确；
如图，若点M是CD的中点，则DMCM=1，
设正方形ABCD的边长为2a，即AD=CD=2a，
∴DM=12CD=a，
在Rt△ADM中，AM=AD2+DM2=5a，
∵点H是AM的中点，
∴AH=12AM=52a，
∵△ADM≌△FKE，
∴KE=DM=a，
∵∠AHE=∠ADM=90°，∠EAH=∠MAD，
∴△AHE∽△ADM，
∴ AHAD=AEAM，即52a2a=AE5a，
∴DE=AD?AE=2a?54a=34a，
AK=AE?DM=54a?a=14a，
∴在矩形ABFK中，BF=AK=14a，
∵在正方形ABCD中，BC∥AD，
∴△BFG∽△DEG，
∴ BGGD=BFDE=14a34a=13，
∴ BGGD≠MDCM，故②错误；
过点M作MP∥AD，交FE于点P，交BD于点Q，
∴∠MPH=∠AEH，∠PMH=∠EAH，
∵点H是AM的中点，
∴MH=AH，
∴△MPH≌△AEH(AAS)，
∴PH=EH，MP=AE，
∵在正方形ABCD中，BD平分∠ADC，
∴∠BDC=12∠ADC=12×90°=45°，
∵PM∥AD，
∴∠QMD=180°?∠ADC=180°?90°=90°，
∴∠MQD=90°?∠MDQ=90°?45°=45°，
∴∠MQD=∠MDQ，
∴MQ=MD，
由①知，△FKE≌△ADM(AAS)，
∴KE=DM，
∴MQ=KE，
∴PM−QM=AE−KE，即PQ=AK，
由①得，四边形ABFK是矩形，
∴BF=AK，
∴BF=PQ，
∵BC∥AD，MP∥AD，
∴BC∥PM，
∴∠GBF=∠GQP，∠BFG=∠QPG，
∴△BFG≌△QPG(ASA)，
∴FG=PG，
∴FG+EH=PG+PH=HG，故③正确；
对于④，假设△AHE∽△GHN成立，则∠AEH=∠GNH，
∵∠AHE=90°，
∴∠AEH+∠EAH=90°，
∵∠BAH+∠EAH=∠BAD=90°，
∴∠BAN=∠BNA，
∴BN=BA，
∵AB是定值，BN随着点M的变化而变化，
∴BN=BA不成立，
∴△BFG∽△DEG不成立．故④错误．
综上所述，结论正确的有2个．
故选：B
二、填空题
11．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=6，b=3，c=2，则d的值是 .
【答案】1
【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到a:b=c:d，即可得到答案．
【详解】解：由于线段a，b，c，d是成比例线段，
故a:b=c:d，
即6:3=2:d
解得d=1
故答案为：1．
12．如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB= cm．
【答案】3
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据两三角形相似列出比例式进而求解即可．
【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则AB6=11−715−7=48=12，
解得AB=3．
故答案为：3．
13．将三角形纸片△ABC按如图的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF= ．
【答案】2或127
【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．
【详解】解：根据△B′FCAC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：
①△B′FC∽△ABC时，
B′FAB=CFBC，
又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，
∴B′F3=4−BF4
解得BF=127；
②△B′CF∽△BCA时，
B′FBA=CFCA，
AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，
而BF+FC=4，即2BF=4，
解得BF=2．
故BF的长度是2或127
故答案为：2或127
14．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记为S1，取BE的中点E1，作E1D1∥EB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律，则S2023= ．
【答案】324047
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．
首先求出DE是三角形的中位线，得出△CDE∽△CAB，根据相似三角形的性质得出∴S△CDES△CAB=DEAB2=122=14，根据△ABC的面积求出S△CDE=14×34，S△BEF=14×34，求出S1=12×34，同理S2=12S△BEF S3=12×14×14×34，S4=12×14×14×14×34, ⋯⋯根据规律可写出Sn，再n将取2023，计算即可得答案．
【详解】解∶∵BC的中点E，ED∥AB，
∴E为BC中点，
∴DE=12AB，
∵ED∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴S△CDES△CAB=DEAB2=122=14，
∵△ABC的面积是12×1×32=34
∴S△CDE=14×34，
推理S△BEFS△BAC=14，
∴S△BEF=14×34
∴S1=34−14×34−14×34=12×34，
同理S2=12S△BEF=12×14×34, S3=12×14×14×34，S4=12×14×14×14×34, ⋯⋯
S2023=12×14×14×⋯×14×342022个14,
=2342024=324047
故答案为∶324047
15．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，OC:OF=1:2．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，进而得到△OBC∽△OEF，则BC:EF=OC:OF=1:2，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∵BC:EF=OC:OF=1:2，
∴△ABC的周长：△DEF的周长=1:2，
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长为8，
故答案为：8．
16．如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=6，若E,F分别是AD,DC边上的动点，且AE:DF=3:2，AF与BE交于点P，连接DP．则DP的最小值为 ．

【答案】2
【分析】通过证明相似得出∠APB=90°，再确定点P是在以AB为直径的⊙M上，进而确定当M,P,D在同一直线上时， DP最小，再用直角三角形的性质和勾股定理求解即可.
【详解】解：取AB的中点M，连结MP,MD,PD，如图所示：
∵ABAD=64=32,AEDF=32，
∴ABAD=AEDF，
∵∠BAD=∠ADF=90°，
∴△BAD∼△ADF，
∴∠ABE=∠DAF，
∴∠APB=∠DAF+∠AEB=∠ABE+∠AEB=90°，
∵M是AB的中点，
∴MP=12AB=3，
在Rt△MPD中，MD=MA2+AD2=5，
∵∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙M上，
∴PD≤MD−MP，
∴当M,P,D在同一直线上时， DP最小，
DP的最小值为：MD−MP=5−3=2，
故答案为：2.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，矩形的性质和直角三角形的性质，确定点P在以AB为直径的⊙M上是解题的关键.
三、解答题
17．已知：2a=3b．（a，b均不为0）
(1)求a:b的值；
(2)求a−ba的值．
【答案】(1)3∶2；
(2)13．
【分析】（1）利用内项之积等于外项之积求解即可；
（2）利用合比性质即可求解；
本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵2a=3b，
∴a∶b=3∶2
（2）解：∵2a=3b，
∴ba=23，
∴b−aa=2−33，
即b−aa=−13，
∴a−ba=13．
18．如图，AB，CD相交于点O,AC∥BD．求证∶△OAC∽△OBD
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出∠A=∠B,∠C=∠D，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答．
【详解】证明∶∵AC∥BD，
∴∠A=∠B,∠C=∠D，
∴△OAC∽△OBD．
19．已知如图，点D是ΔABC边BC上一点，且BD:DC=2:3，过点C任作一条直线与AB、AD分别交于点F和E，求证：AEED=5AF3BF．
【答案】证明见解析
【分析】过点D作DG∥AB，DH∥FC构造平行四边形DGFH，得到DG=HF，再根据平行线分线段成比例定理，得到DGBF=DCBC和AEED=AFDG，结合DG=HF即可得证．
【详解】证明：过D点分别作DG∥AB，DH∥FC，
得到四边形DGFH是平行四边形，
∴DG=HF，
∵DG∥BF，
∴DGBF=DCBC，
∵BDCD=23，
∴CDBC=35，
∴DGBF=35，
设DG=3a，则FH=DG=3a，BF=5a，
∴BH=2a，
∴FH=35BF，
∵DG∥AF，
∴AEED=AFDG，
∵DG=FH，
∴AEED=AFFH，
∵FH=35BF，
∴ AEED=AF35BF=5AF3BF，
即AEED=5AF3BF．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
20．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,2)，B(−1,3)，C(−2,0)，△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O位似，且相似比为2:1．
(1)在x轴下方，画出△A1B1C1：
(2)直接写出OA1OA=________．
(3)直接写出△A1B1C1的面积________．
【答案】(1)画图见解析
(2)2
(3)10
【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键．
（1）分别确定A,B,C关于O的位似对应点A1,B1,C1，再顺次连接即可；
（2）由位似图形的性质可得答案．
（3）利用割补法求解三角形的面积即可；
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
．
（2）解：由位似图形的性质可得：OA1OA=2；
（3）解：S△A1B1C1=4×6−12×2×4−12×2×4−12×2×6=24−4−4−6=10．
21．如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心BC长为半径画弧，交边AB于点D，连接CD．点E是CB延长线上的一点，连接AE，若AB平分∠CAE．
(1)求证：△ACD∽△AEB．
(2)当AD=BD时，求BCEB的值．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意得：BC=CD，由等边对等角得出∠CBD=∠CDB，从而得出∠ADC=∠ABE，再由角平分线的定义得出∠DAC=∠EAB，即可证明△ACD∽△AEB；
（2）由题意得出ADAB=12，由相似三角形的性质得出CDEB=12，从而即可得解．
【详解】（1）证明：由题意得：BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADC=∠ABE，
∵AB平分∠CAE，
∴∠DAC=∠EAB，
∴△ACD∽△AEB；
（2）解：∵AD=BD，
∴ADAB=12
∵△ACD∽△AEB，
∴ADAB=CDEB，
∴CDEB=12
∵BC=CD，
∴BCEB=12．
22．赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度PO这一任务．如图，赵玲在点B处竖立一根高3m的标杆AB，张羽测出地面上的点D、标杆上的点C和点P在一条直线上，利用皮尺测出BC=2m，BD=2.5m．张羽向后退，又测出地面上的点E、标杆顶点A和点P在一条直线上，利用皮尺测出EB=3.9m．已知AB⊥OE，PO⊥OE，点E、D、B、O在同一水平线上，点C在AB上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度PO．
【答案】28米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据已知条件推出△CBD∽△POD，△ABE∽△POE，得到POBC=DOBD，POAB=EOEB，代入已知数据计算即可求解．
【详解】解：由题意可得∠ABE=∠POE=90°，
∵∠CDB=∠PDO，∠E=∠E，
∴△CBD∽△POD，△ABE∽△POE，
∴POBC=DOBD，POAB=EOEB，
∴PO2=2.5+BO2.5，PO3=3.9+BO3.9，
解得PO=28．
∴凤凰雕塑顶端到地面的高度PO为28米．
23．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务
【答案】任务一：2+1；任务二：AB=52x，理由见解析；任务三：10+22
【分析】本题考查了黄金分割、矩形与折叠及分母有理化问题，解决本题的关键是熟练掌握黄金分割、矩形与折叠及分母有理化．
（1）对原式进行分母有理化即可；
（2）设MN=x，根据题意可得，BC=NC=MN=x，AB=AD，由勾股定理可得AB=52x，从而可得CD=AD−AC=5−12x，再求解即可；
（3）由黄金矩形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】任务一：12−1=2+12−12+1=2+1
任务二：解：设MN=x，
根据题意可得，BC=NC=MN=x，AB=AD，
∴AC=12NC=12x，
根据勾股定理可得AB=BC2+AC2=52x，
∴AD=52x，
∴CD=AD−AC=5−12x
∴CDBC=5−12
∴矩形BCDE是黄金矩形.
任务三：∵矩形BCDE是黄金矩形
∴BEBC=5−12，即BE2=5−12，
∴BE=5−1
∴ME=MB+BE=2+5−1=5+1
∵MN=MB=2
∴MC=MN2+MB2=22
∴设点E到线段MC的距离为ℎ，
∴S△MCE=12ME⋅BC=12MC⋅ℎ，
∴12×5+1×2=12×22ℎ
∴ℎ=10+22.
∴点E到线段MC的距离10+22.
24．【问题提出】在Rt△ABC中，AC=BC=2cm，∠ACB=90°，一动点D从点A出发，沿折线A−B−C运动，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE、CE，若点D在AB上的运动速度为2cm/s，在BC上的速度为1cm/s，设运动的时间为t（s），BE、CE、BC围成的图形的面积为Scm2，探究S与t的关系；
【初步感知】某数学活动小组在研究此类动点问题时，想利用数形结合的思想，通过画图象来解决此类问题．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，经探究发现S与t的函数图象如图所示，求NP所在直线的表达式；
【延伸探究】
（2）若存在3个时刻t1、t2、t3（t1