2025届高考数学一轮复习专练53 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(2024·北京模拟)直线y=x+1被圆(x-2)2+(y-3)2=1所截得的弦长为( )
A.1 B.3 C.2 D.3
【解析】选C.由已知得圆心为(2,3),半径r=1,
因为圆心(2,3)在直线x-y+1=0上,
所以直线y=x+1被圆(x-2)2+(y-3)2=1所截得的弦长为2.
2.(5分)若圆C1:(x+1)2+y2=2与圆C2:x2+y2-4x+6y+m=0内切,则实数m等于( )
A.-8 B.-19 C.-5 D.6
【解析】选B.由题意得C1(-1,0),C2(2,-3),r1=2,r2=13-m,
|C1C2|=(-1-2)2+32=32,根据两圆内切得|C1C2|=13-m-2=32,
解得m=-19.
3.(5分)(2024·广州模拟)已知点A在直线l:3x-4y-6=0上,点B在圆C:x2+y2-2x-6y+8=0上,则AB的最小值是( )
A.1 B.3-2 C.3+2 D.5
【解析】选B.由题意可知圆C的圆心C(1,3),半径r=2.则圆心C到直线l的距离d=3-4×3-632+(-4)2=3,故AB的最小值是d-r=3-2.
【加练备选】
已知圆C:x2+y2-2x+m=0与圆(x+3)2+(y+3)2=4外切,点P是圆C上一动点,则点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选C.圆C:x2+y2-2x+m=0化为标准方程为(x-1)2+y2=1-m,即圆心C(1,0),半径为1-m,由(x+3)2+(y+3)2=4知其圆心为(-3,-3),半径为2,而两圆外切则有:2+1-m=(1+3)2+(0+3)2⇒m=-8.
因为圆心C(1,0)到直线5x+12y+8=0的距离d=5+852+122=1,所以点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为1+3=4.
4.(5分)(2024·南通模拟)若直线l:kx-y-2=0与曲线C:1-(y-1)2=x-1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是( )
A.(43,2] B.(43,4)
C.[-2,-43)∪(43,2] D.(43,+∞)
【解析】选A.直线l:kx-y-2=0恒过定点(0,-2),
曲线C:1-(y-1)2=x-1表示以点(1,1)为圆心,半径为1,且位于直线x=1右侧的半圆(包括点(1,2),(1,0)).当直线l经过点(1,0)时,l与曲线C有两个不同的交点,此时k=2,直线记为l1;
当l与半圆相切时,由|k-3|k2+1=1,得k=43,切线记为l2,
分析可知当430且λ≠1)的点的轨迹是一个圆,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(2,0),点P满足PAPB=12,设点P的轨迹为曲线C,下列结论正确的是( )
A.曲线C的方程为(x+2)2+y2=4
B.曲线C与圆M:x2+(y-2)2=4外切
C.直线l:x+y=0被曲线C截得的弦长为22
D.曲线C上恰有三个点到直线m:x+3y=0的距离为1
【解析】选ACD.对于A,设P(x,y),
由定义PAPB=12,得(x+1)2+y2(x-2)2+y2=12,化简整理得(x+2)2+y2=4,故A正确;
对于B,C的圆心为(-2,0),半径r1=2;M的圆心为(0,2),半径r2=2;圆心距CM=22≠r1+r2,故B错误;
对于C,圆心C(-2,0)到直线l:x+y=0的距离d=22=2,
所以弦长为2r12-d2=22,故C正确;
对于D,圆心C(-2,0)到直线m:x+3y=0的距离d=22=1,半径r1=2,所以圆C上恰有三个点到直线m的距离为1,故D正确.
6.(5分)(多选题)(2024·临沂模拟)下列命题正确的是( )
A.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是m>22或m0,即m2>8,
解得m>22或m0),则圆心到直线4x-3y=0的距离为4a-342+(-3)2=4a-35,又圆与直线4x-3y=0相切可得4a-35=1,解得a=2,即C(2,1),所以圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1,故B正确;
由x2+y2-6x-6y+14=0可得(x-3)2+(y-3)2=4,yx表示圆上的点与原点(0,0)连线的斜率,可得相切时yx取得最值,设切线为kx-y=0,则d=3k-31+k2=2,显然k=1不是方程的解,故yx的最大值不是1,故C错误;
将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程4x+3y-23=0,圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0配方可得(x-1)2+(y-3)2=11,继而可知圆心C1(1,3),r1=11,圆心C1(1,3)到直线4x+3y-23=0的距离d=4×1+3×3-2342+32=2,所以弦长为2r12-d2=211-4=27,所以公共弦长为27,故D正确.
7.(5分)(2024·孝感模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m-1)y-m+4=0,当直线l被圆C截得的弦长最短时,直线l的方程为2x-y+5=0.
【解题指导】直线l过定点M,当直线l垂直于CM时,直线l被圆C截得的弦长最短,可求直线l的方程.
【解析】由题意,直线l的方程化为(2x+y-1)m+x-y+4=0,
由2x+y-1=0,x-y+4=0得x=-1,y=3,
所以直线l过定点M(-1,3),显然点M在圆C内,
要使直线l被圆C截得的弦长最短,只需M(-1,3)与圆心C(1,2)的连线垂直于直线l,
所以-2m+1m-1·2-31-(-1)=-1,解得m=14,
代入到直线l的方程并化简得2x-y+5=0.
8.(5分)已知圆C1:x2+y2=m2(m>0)与圆C2:x2+y2-2x-4y-20=0恰有两条公切线,则满足题意的一个m的取值为5;此时公切线的方程为y=2x+55和y=2x-55(答案均不唯一).
【解析】圆C2的圆心为(1,2),半径为5.
因为圆C1:x2+y2=m2(m>0)与圆C2恰有两条公切线,所以圆C1与圆C2相交,即|5-m|