2025届高考数学一轮复习专练43 空间点、直线、平面之间的位置关系（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是( )
A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b
B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线
C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面
D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交
【解析】选C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则直线a,b没有交点,故a与b平行或异面,故A,B错误,C正确;若α∩β=b,a⊂α,当a∥b时,a与β平行,故D错误.
2.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是( )
A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线
B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线
C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线
D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线
【解析】选A.根据题意,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,取BC的中点P,连接C1P,OP,
由于OP∥NC1且OP=NC1,则四边形OPC1N是平行四边形,则有ON∥PC1且ON=PC1,
在四边形BCC1B1中,边长为2a,P为BC的中点,M是CC1的中点,BM与PC1相交且BM=PC1=4a2+a2=5a,故ON=BM,且直线ON,BM是异面直线.
3.(5分)如图,在三棱锥D-ABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥D-ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=2,EH=5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是( )
A.147B.77C.357D.27
【解析】选A.由题意知EH∥FG,又FG⊂平面ADC,EH⊄平面ADC,所以EH∥平面ACD,所以EH∥AC,同理HG∥BD,因为AC⊥BD,所以EH⊥HG,记EG与AC所成角∠GEH为θ,
则sin θ=HGEG=HGHG2+EH2=27=147.
【加练备选】
如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为BC的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )
A.33B.55
C.306D.66
【解析】选D.由题意可知AD∥BC,所以∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角,设圆柱上、下底面圆心为O,O1,连接OE,OA,ED,不妨设正方形ABCD的边长为2,则AO=5,
从而AE=ED=6,则cs∠EAD=16=66,即AE与BC所成角的余弦值为66.
4.(5分)如图是一个正方体的展开图,则在该正方体中( )
A.直线AB与直线CD平行
B.直线AB与直线CD相交
C.直线AB与直线CD异面垂直
D.直线AB与直线CD异面且所成的角为60°
【解析】选D.还原成几何体如图所示
连接AH,BH,则CD∥AH,∠BAH为AB与CD所成的角,显然AB,CD异面且所成的角为60°.
5.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1,若AB=BC=BB1,AB⊥BC,D是棱CC1的中点,则直线AC与直线B1D所成角的正切值为( )
A.33B.23C.62D.156
【解析】选C.若G为BB1的中点,连接CG,AG,又D是棱CC1的中点,
所以在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CD∥B1G且CD=B1G,即CDB1G为平行四边形,
所以CG∥B1D,则直线AC与直线B1D所成角即为∠ACG,
若AB=BC=BB1=2,则CG=AG=5,AC=22,
所以cs∠ACG=AC2+GC2-AG22AC·GC=(22)2+(5)2-(5)22×22×5=105,
所以tan∠ACG=62.
6.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
【解析】选ABC.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,
在选项A中,因为直线A1C交平面C1BD于点M,
所以M∈平面C1BD,M∈直线A1C,
又A1C⊂平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,
因为O为DB的中点,BD⊂平面C1BD,
所以O∈平面C1BD,且O∈平面ACC1A1,
又C1∈平面C1BD,且C1∈平面ACC1A1,
所以C1,M,O三点共线,故选项A正确;
在选项B中,因为C1,M,O三点共线,
所以C1,M,O,C四点共面,故B正确;
在选项C中,因为C1,M,O三点共线,
所以C1,M,O,A四点共面,故C正确;
在选项D中,因为直线OM∩CC1=C1,DD1∥CC1,
所以D1,D,O,M四点不共面,故D错误.
7.(5分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=6,D为B1B的中点,则A1B与C1D所成角的余弦值为________.
【解析】如图,取A1B1的中点E,连接DE,EC1,
在△A1BB1中,D为B1B的中点,
所以DE为中位线,所以DE∥A1B,
所以∠EDC1或其补角为A1B与C1D所成的角,
在△EDC1中,ED=32+12=10,
DC1=32+22=13,EC1=22-12=3,
所以cs∠EDC1=ED2+DC12-EC122ED·DC1=10+13-32×10×13=13013,
所以A1B与C1D所成角的余弦值为13013.
答案:13013
8.(5分)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=2∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为________.
【解析】取A1C1 的中点E,连接B1E,ED,AE,
在Rt△AB1E中,∠AB1E即为所求,
设AB=1,则A1A=2,AB1=3,B1E=32,AE=32,故∠AB1E=60°.
答案:60°
9.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2.
(1)求该圆锥的体积;
【解析】(1)由勾股定理可知:
PO=PA2-OA2=4-1=3,
所以圆锥的体积为13·π·12·3=3π3;
9.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2.
(2)求异面直线PE,BD所成角的余弦值.
【解析】(2)连接BD,过E作EF∥BD,连接PF,所以∠PEF是异面直线PE,BD所成的角(或其补角),如图所示,
因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,
所以∠BFE=∠DBO=π4,即∠OFE=3π4,
而∠COE=π3,所以∠FOE=π6,
因此∠OEF=π12,
在△OEF中,由正弦定理可知:
OFsinπ12=OEsin3π4=EFsinπ6⇒OFsin(π3-π4)=122=EF12
⇒EF=22,OF=2(22×32-22×12)=3-12,
PF=PO2+OF2=3+4-234=4-32.
由余弦定理可知:
cs∠PEF=PE2+EF2-PF22PE·EF=4+12-8-322×2×22=2+68.
【误区警示】空间图形中作出的角无法直观确定是否是锐角,也可能是钝角,书写步骤时应注明,不然容易混淆.
【能力提升练】
10.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
【解析】选B.
取OB的中点P,AB的中点Q,连接MP,PN,CQ,OQ,由中位线定理可知MP∥AB,
则∠PMN(或补角)为异面直线MN与AB所成角,MP∥AB, PN∥OC,OQ⊥AB,CQ⊥AB,且CQ∩OQ=Q,所以AB⊥平面OCQ,则AB⊥OC,所以PM⊥PN,四面体OABC棱长均相等,则PM= PN,所以△MPN为等腰直角三角形,所以∠PMN=45°.
11.(5分)三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为( )
A.1B.13C.33D.63
【解析】选D.如图所示,把三棱柱补形为四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设A1B=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=3a,A1D1=2a,所以sin∠A1BD1=63.
12.(5分)(2023·沈阳模拟)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCD-EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为 ________.
【解析】如图,把此六面体补成正方体,连接AH,AC,由题可知AH∥BG,
所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角,在△AHC中,AH=32+42=5,
CH=12+42+42=33,AC=42,
则cs∠AHC=AH2+CH2-AC22×AH×CH=25+33-322×5×33=1333165.
答案:1333165
13.(5分)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910,则AA1AB的值为 ________.
【解析】连接BC1,A1C1,因为AD1∥BC1,
所以异面直线A1B与AD1所成角为∠A1BC1或其补角,令AA1=t(t>0),则A1B=BC1=t2+1,A1C1=2,
|cs∠A1BC1|=|(t2+1)2+(t2+1)2-(2)22(t2+1)|=t2t2+1=910,
所以t2=9,t=3,即AA1=3,所以AA1AB=3.
答案:3
14.(10分)如图所示,三棱锥P-ABC中, PA⊥平面ABC,
∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.
(1)求证AE与PB是异面直线;
【解析】(1)假设AE与PB共面,设平面为α,
因为A∈α,B∈α,E∈α,
所以平面α即为平面ABE,所以P∈平面ABE,
这与P∉平面ABE矛盾,
所以AE与PB是异面直线.
14.(10分)如图所示,三棱锥P-ABC中, PA⊥平面ABC,
∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.
(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.
【解析】(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角.
因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,
所以AF=3,AE=2,EF=2,
cs∠AEF=AE2+EF2-AF22·AE·EF=2+2-32×2×2=14,
故异面直线AE与PB所成角的余弦值为14.
【素养创新练】
15.(5分)“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,AA1⊥平面ABCD,AA1=4,底面扇环所对的圆心角为π2,AD的长度是BC长度的2倍,CD=1,则异面直线A1D1与BC1所成角的正弦值为( )
A.23B.13C.223D.24
【解析】选C.根据题意,连接BC,AD,设AB与CD延长后交于点O(图略),设AD所在圆的半径为R,BC所在圆的半径为r,由于AD的长度是BC长度的2倍,则R=2r,则B,C分别是边OA和OD的中点,则有BC∥AD,又由AD∥A1D1,则有BC∥A1D1,
又由AA1⊥平面ABCD,则CC1⊥平面ABCD,
则有CC1⊥BC,△CBC1为直角三角形,
故异面直线A1D1与BC1所成角就是∠CBC1,又由CD=1,则OC=OB=1,故BC=2,又CC1=4,则BC1=2+16=32,则sin∠CBC1=CC1BC1=432=223.