2025届高考数学一轮复习专练36 数列的概念（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)数列{an}为12,3,112,8,212,…,则此数列的通项公式可能是( )
A.an=5n-42B.an=3n-22
C.an=6n-52D.an=10n-92
【解析】选A.方法一:数列{an}为12,62,112,162,212,…,其分母为2,分子是首项为1,公差为5的等差数列,故其通项公式为an=5n-42.
方法二:当n=2时,a2=3,而选项B,C,D,都不符合题意.
2.(5分)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=nn+1,则1a5等于( )
A.56B.65C.130D.30
【解析】选D.因为当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),所以1a5=5×(5+1)=30.
3.(5分)在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则a3a5的值是( )
A.1516B.158C.34D.38
【解析】选C.由已知得a2=1+(-1)2=2,
所以2a3=2+(-1)3,a3=12,
所以12a4=12+(-1)4,a4=3,
所以3a5=3+(-1)5,所以a5=23,
所以a3a5=12×32=34.
4.(5分)观察数列1,ln 2,sin 3,4,ln 5,sin 6,7,ln 8,sin 9,…,则该数列的第11项是( )
A.1 111B.11C.ln 11D.sin 11
【解析】选C.由数列得出规律,按照1,ln 2,sin 3,…,是按正整数的顺序排列,且以3为循环,由11÷3=3……2,所以该数列的第11项为ln 11.
【加练备选】
数列{an}中,a1=2,a2=3,an+1=an-an-1(n≥2),那么a2 022=( )
A.-1B.1C.3D.-3
【解析】选A.因为an=an-1-an-2(n≥3),
所以an+1=an-an-1=(an-1-an-2)-an-1=-an-2,
所以an+3=-an,所以an+6=-an+3=an,
所以{an}是以6为周期的周期数列.
因为2 022=337×6,所以a2 022=a6=-a3
=-(a2-a1)=-(3-2)=-1.
5.(5分)(2023·广州模拟)已知数列an的通项公式an=2n-2 023n,则当an最小时,n=( )
A.8B.9C.10D.11
【解析】选D.数列{an}中,an=2n-2 023n,
则an+1-an=2n-2 023,
210<2 023<211,于是当n≤10时,an+1-an<0,则an+1当n≥11时,an+1-an>0,即an+1>an,
因此当n∈N*,n≤11时,数列{an}单调递减,当n≥11时,数列{an}单调递增,
所以当且仅当n=11时,an最小.
6.(5分)(多选题)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则下列结论正确的是( )
A.an=1n(n-1)
B.an=-1,n=1,1n(n-1),n≥2
C.Sn=-1n
D.数列1Sn是等差数列
【解析】选BCD.因为an+1=SnSn+1,
an+1=Sn+1-Sn,
所以Sn+1-Sn=SnSn+1,
所以1Sn-1Sn+1=1,
所以1Sn是首项为1S1=1a1=-1,公差为d=-1的等差数列,
所以1Sn=-1+(n-1)×(-1)=-n,
即Sn=-1n.
又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-1n+1n-1=1n(n-1),显然a1=-1不满足上式,
故an=-1,n=1,1n(n-1),n≥2.
综上可知,BCD正确.
7.(5分)若数列{an}的前n项和Sn=23n2-13n+1,则数列{an}的通项公式an=________.
【解析】当n=1时,a1=S1=43.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=23n2-13n-[23(n-1)2-13(n-1)]
=4n3-1.
又a1=43不适合上式,
则an=43,n=143n-1,n≥2.
答案:43,n=1,43n-1,n≥2
8.(5分)大衍数列,来源于我国的《乾坤谱》,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,则大衍数列的第41项为________.
【解析】由题意得,大衍数列的奇数项依次为12-12,32-12,52-12,…易知大衍数列的第41项为412-12=840.
答案:840
9.(10分)已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=12an2+12an(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3,a4的值;
【解析】(1)由Sn=12an2+12an(n∈N*)可得,a1=12a12+12a1,
解得a1=1,a1=0(舍).
S2=a1+a2=12a22+12a2,
解得a2=2(负值舍去);
同理可得a3=3,a4=4.
9.(10分)已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=12an2+12an(n∈N*).
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(2)因为Sn=12an2+an2,①
所以当n≥2时,Sn-1=12an-12+an-12,②
①-②得an=12(an-an-1)+12(an2-an-12),
所以(an-an-1-1)(an+an-1)=0.
由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1,
又由(1)知a1=1,所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=n.
【能力提升练】
10.(5分)如果数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+bn}的第37项为( )
A.0B.37C.100D.-37
【解析】选C.设等差数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,
则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,
所以数列{an+bn}仍然是等差数列,公差为d1+d2.
又d1+d2=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(25+75)=0,
所以数列{an+bn}为常数列,所以a37+b37=a1+b1=100.
11.(5分)(2024·济南模拟)已知数列{an}满足an=(1-3a)·n+10a,n≤6,an-7,n>6,若对任意的n∈N*,均有an>an+1,则实数a的取值范围是( )
A. (13,1)B. (13,58]
C. (13,12]D. (13,58)
【解析】选D.由题意,知1-3a<0,0a7-7,
解得1312.(5分)数列{an}的前n项积为n2,那么当n≥2时,an=________.
【解析】设数列{an}的前n项积为Tn,则Tn=n2,
当n≥2时,an=TnTn-1=n2(n-1)2.
答案:n2(n-1)2
13.(5分)若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=________,数列{nan}中数值最小的项是第________项.
【解析】因为Sn=n2-10n,
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-11;
当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.
所以an=2n-11(n∈N*).
记f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,
此函数图象的对称轴为直线n=114,但n∈N*,
所以当n=3时,f(n)取最小值.
所以数列{nan}中数值最小的项是第3项.
答案:2n-11 3
14.(10分)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,
因为a1=2满足该式,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
14.(10分)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).
(2)若数列{bn}满足:an=b13+1+b232+1+b333+1+…+bn3n+1,求数列{bn}的通项公式.
【解析】(2)因为an=b13+1+b232+1+b333+1+…+bn3n+1(n≥1),①
所以an+1=b13+1+b232+1+b333+1+…+bn3n+1+bn+13n+1+1②,
②-①,得bn+13n+1+1=an+1-an=2,
bn+1=2(3n+1+1).
故bn=2(3n+1)(n∈N*).
15.(10分)已知数列{an}中,an=1+1a+2(n-1)(n∈N*,a∈R,且a≠0).
(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
【解析】(1)因为an=1+1a+2(n-1)(n∈N*,a∈R,且a≠0),
又a=-7,所以an=1+12n-9.
结合函数f(x)=1+12x-9的单调性,
可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).
所以数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.
15.(10分)已知数列{an}中,an=1+1a+2(n-1)(n∈N*,a∈R,且a≠0).
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围.
【解析】(2)an=1+1a+2(n-1)=1+12n-2-a2.
因为对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,
结合函数f(x)=1+12x-2-a2的单调性,
知5<2-a2<6,所以-10故a的取值范围为(-10,-8).
【素养创新练】
16.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,且∀n∈N*,an+1>an,Sn≥S3.写出一个满足条件的数列{an}的通项公式为an=________.
【解析】由∀n∈N*,an+1>an可知数列{an}是递增数列,又Sn≥S3,故a4≥0,且a3≤0(等号不同时成立),因此满足条件的数列{an}的通项公式可以为an=n-3.
答案:n-3(答案不唯一)