2025届高考数学一轮复习专练30 平面向量的数量积（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)如果向量a,b满足a=1,b=2,且a⊥(a-b),则a和b的夹角大小为( )
A.30° B.135° C.75° D.45°
【解析】选D.由a⊥(a-b),则a·(a-b)=a2-a·b=a2-abcs=0,
则1-1×2cs=0,得cs=22,0°≤≤180°,所以=45°.
2.(5分)已知向量a,b满足a+b=5,a-b=4,则a·b=( )
A.9 B.3 C.6 D.94
【解析】选D.因为a+b=5,所以a+b2=25,即得a2+b2+2a·b=25,
又a-b=4,同理可得a2+b2-2a·b=16,两式相减得4a·b=9,即a·b=94.
3.(5分)(2023·佛山模拟)向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量是( )
A.(-3,3) B.(3,3)
C.(3,-3) D.(-3,-3)
【解析】选B.因为a=(2,23),b=(3,1),所以a·b=2×3+23×1=43,
b=(3)2+12=2,所以向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量为a·bb·bb=434(3,1)=(3,3).
4.(5分)(2023·临沧模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=52,则b=( )
A.5 B.10 C.5 D.10
【解析】选A.因为a=(2,1),所以|a|=5,又因为a·b=10,a+b=52,
所以a+b2=50,即|a|2+2a·b+|b|2=50,解得|b|=5.
5.(5分)(多选题)(2023·淮安模拟)已知a,b,c是平面内三个非零向量,则下列结论正确的是( )
A.若a·c=b·c,则a=b
B.若a+b=a-b,则a⊥b
C.若a∥c,b∥c,则a∥b
D.若a∥b,则a·b=a·b
【解析】选BC.对于A,若a·c=b·c,则accs=bccs,
则acs=bcs,但cs与cs不一定相同,
所以得不到a=b,无法得到a=b,故A错误;对于B,若a+b=a-b,
平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以a⊥b,故B正确;
对于C,若a∥c,b∥c,则a∥b显然成立,故C正确;对于D,a·b=abcs,
a·b=abcs,若a∥b,则cs=±1,若cs=-1,原式不成立,故D错误.
6.(5分)(多选题)(2023·苏州模拟)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,记BC=e,则( )
A.AD=2(AE+AC)
B.AB·(EA+2FA)=|AB|2
C.BC(CD·FE)=(BC·CD)FE
D.AE在CB方向上的投影向量为32e
【解析】选BCD.正六边形ABCDEF的边长为1,
对于A,连接CE交AD于O,则△ACE为正三角形,且O为CE的中点,AE+AC=2AO,
而AD=2,OD=EDsin 30°=12,则AO=32,|AE+AC|=2|AO|=3>|AD|,
所以AD≠2(AE+AC),A不正确;对于B,AB⊥AE,∠BAF=120°,
AB·(EA+2FA)=2AB·FA=2×1×1×cs 60°=1=|AB|2,B正确;
对于C,FE=BC,则有CD·FE=BC·CD,因此BC(CD·FE)=(BC·CD)FE,C正确;
对于D,EF=CB=-e,=150°,|AE|=2|AF|cs 30°=3,
向量AE在CB方向上的投影向量为|AE|cs·CBCB=3cs 150°(-e)=32e,
D正确.
7.(5分)(2023·浦东模拟)已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上的两点,且AB=5,则AC·CB=________.
【解析】由题意,得圆C的半径为5,且AB=5,由余弦定理知,
cs∠ACB=52+52-(5)22×5×5=910,所以AC·CB=-CA·CB=-|CA||CB|cs∠ACB=-5×5×910=-452.
答案:-452
8.(5分)(2023·保山模拟)已知平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,则2a-b与b的夹角是__________.
【解析】由平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,可得(2a-b)·b=2a·b-b2
=2×1×2csπ3-4=-2,且2a-b=4a2+b2-4a·b=4+4-4×1×2csπ3=2,
设向量2a-b与b的夹角为θ,所以cs θ=(2a-b)·b2a-bb=-22×2=-12,
因为θ∈[0,π],可得θ=2π3,即2a-b与b的夹角为2π3.
答案:2π3
9.(10分)平面内三个向量a=(1,2),b=(-1,1),c=(3,3).
(1)若d=25,且d与a方向相反,求d的坐标;
(2)若(a+kc)⊥(a-2b),求a+kc在向量a上的投影向量的模.
【解析】(1)设d=λa(λ