2025届高考数学一轮复习专练29 平面向量的基本定理及坐标表示（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练29 平面向量的基本定理及坐标表示（Word版附解析），共9页。
【基础落实练】
1.(5分)已知向量a=(1,m),b=(2,-3),且a∥b,则m=( )
A.-32 B.23 C.-12 D.32
【解析】选A.根据题意,a=(1,m),b=(2,-3),若a∥b,则有2×m=1×(-3),解得m=-32.
2.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)下列两个向量,能作为基底向量的是( )
A.e1=(0,0),e2=(3,2)
B.e1=(2,-1),e2=(1,2)
C.e1=(-1,-2),e2=(4,8)
D.e1=(2,1),e2=(3,4)
【解析】选BD.A选项,零向量和任意向量平行,所以e1,e2不能作为基底.
B选项,因为21≠-12,所以e1,e2不平行,可以作为基底.
C选项,e1=-14e2,所以e1,e2平行,不能作为基底.
D选项,因为23≠14,则e1,e2不平行,可以作为基底.
3.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为( )
A.65 B.85 C.2 D.83
【解析】选B.建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,
所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),所以CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),
因为CA=λCE+μDB,所以(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),所以-2λ+μ=-2,λ+2μ=2,
解得λ=65,μ=25,则λ+μ=85.
4.(5分)在△ABC中,CM=3MB,AN+CN=0,则( )
A.MN=14AC+34ABB.MN=23AB+76AC
C.MN=16AC-23ABD.MN=14AC-34AB
【解析】选D.因为CM=3MB,AN+CN=0,所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点,N为AC的中点,如图所示:
所以MN=AN-AM=12AC-AB-BM=12AC-AB-14BC=12AC-AB-14(AC-AB)=14AC-34AB.
5.(5分)(多选题)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是( )
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个
C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2
=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若实数λ,μ使得λe1+μe2≠0,则λ≠0且μ≠0
【解析】选BCD.根据平面向量基本定理可知A正确,不符合题意;
根据平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的,故B选项错误,符合题意;
当两向量的系数均为0时,这样的λ有无数个,故C选项错误,符合题意;
若实数λ,μ使得λe1+μe2≠0,则λ和μ可以有1个等于零,故D选项错误,符合题意.
6.(5分)(多选题)(2023·漳州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=3DC,点M满足CM=2MD,N是BC的中点.设AB=a,AD=b,则下列等式正确的是( )
A.BD=a-b B.AC=13a+b
C.BM=-89a+b D.AN=23a+13b
【解析】选BC.对于A,BD=AD-AB=b-a,A错误;
对于B,AC=AD+DC=b+13AB=13a+b,B正确;
对于C,BM=AM-AB=AD+DM-AB=AD+13DC-AB=AD+19AB-AB=-89a+b,C正确;
对于D,由B知:AN=12(AB+AC)=12(a+13a+b)=23a+12b,D错误.
7.(5分)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,则向量OB的坐标是__________.
【解析】由点C是线段AB上一点,|BC|=2|AC|,得BC=-2AC.设点B(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即2-x=-2,3-y=-4,解得x=4,y=7,所以向量OB的坐标是(4,7).
答案:(4,7)
8.(5分)已知O为坐标原点,P1P=-2PP2,若P1(1,2),P2(2,-1),则与OP共线的单位向量为__________.
【解析】由P1P=-2PP2得P1P+2PP2=0,即P1P2+PP2=0,P1P2=P2P,
OP2-OP1=OP-OP2,OP=2OP2-OP1=2(2,-1)-(1,2)=(3,-4),OP=32+(-4)2=5,
与OP同向的单位向量为OPOP=(35,-45),反向的单位向量为(-35,45).
答案: (35,-45)和(-35,45)
9.(10分)(2023·泰安模拟)如图,在△ABC中,AM=13AB,BN=12BC.设AB=a,AC=b.
(1)用a,b表示BC,MN;
(2)若P为△ABC内部一点,且AP=512a+14b.求证:M,P,N三点共线,并指明点P的具体位置.
【解析】(1)依题意,BC=AC-AB=b-a,MN=BN-BM=12BC+23AB=12(b-a)+2a3=12b+16a.
(2)由AM+AN=13AB+AC+CN=13AB+AC-12BC=13a+b-12(b-a)=56a+12b,
又AP=512a+14b,所以AP=12AM+12AN,12+12=1,故M,P,N三点共线,且P是MN的中点.
【加练备选】
(多选题)(2023·重庆模拟)如图,AB=2AE,AC=3AD,线段BD与CE交于点F,记AB=a,AC=b,则( )
A.DE=12a-13b
B.DE=-12a+23b
C.AF=35a+215b
D.AF=25a+15b
【解析】选AD.DE=AE-AD=12AB-13AC=12a-13b,故A正确.
设AF=xa+yb,EF=EA+AF=(x-12)a+yb,EC=EA+AC=-12a+b,
因为EF∥EC,所以x-12-12=y1,同理DF=xa+(y-13)b,DB=a-13b,DF∥DB,x1=y-13-13,
联立解得x=25,y=15,所以AF=25a+15b,D正确.
【能力提升练】
10.(5分)已知AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b,则BC=( )
A.13a+23b B.23a+13b
C.23a+43b D.43a+23b
【解析】选C.因为BC=BE+EC=b+EC,AC=AD+DC=a+DC,
且EC=12AC,DC=12BC,可得BC=b+12AC,AC=a+12BC,
所以BC=b+12(a+12BC),整理得BC=23a+43b.
11.(5分)已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),且点P在直线x-2y=0上,则λ的值为( )
A.23 B.-23 C.32 D.-32
【解析】选B.设P(x,y),则由AP=AB+λAC,得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ),所以x=5λ+4,y=7λ+5.又点P在直线x-2y=0上,故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ=-23.
12.(5分)(2023·黄冈模拟)在△ABC中,点M在线段BC上,AN=23AM=λAB+μAC,则λ+μ=( )
A.14 B.13 C.23 D.1
【解析】选C.因为点M在线段BC上,所以存在实数t,使得BM=tBC,
所以AM-AB=t(AC-AB),即AM=(1-t)AB+tAC,所以AN=23AM=2(1-t)3AB+2t3AC,
又AN=λAB+μAC,所以λ=2(1-t)3μ=2t3,所以λ+μ=23.
13.(5分)(2023·九江模拟)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3AE=AC,BE交AD于点F,设BF=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ=__________;
AFAD=__________.
【解题指南】根据向量共线定理表示出AD,AF,从而求出λ,μ,即可求解出λ+μ,AFAD.
【解析】设AF=mAD,BF=nBE,根据向量共线定理,得AF=mAD,
AF=nAE+(1-n)AB,3AE=AC,所以AF=n3AC+(1-n)AB,又因为AD=12(AB+AC),
所以n3AC+(1-n)AB=m2(AB+AC),得n3=m21-n=m2,解得m=12n=34,
代入BF=nBE=n(AE-AB)=34(13AC-AB)=14AC-34AB,得λ=-34,μ=14,
则有λ+μ=-12,AFAD=12.
答案:-12 12
14.(10分)(2023·信阳模拟)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+λe2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标;
(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.
【解析】(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.
因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得AE=kEC,
即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.
因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,
所以1+2k=0k-1-λ=0,解得k=-12,λ=-32.
(2)BC=BE+EC=-e1-32e2-2e1+e2=-3e1-12e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以AD=BC,
设A(x,y),则AD=(3-x,5-y),因为BC=(-7,-2),
所以3-x=-75-y=-2,解得x=10y=7,
即点A的坐标为(10,7).
15.(10分)如图所示,在△ABC中,AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD.
(1)试用向量a,b表示BD,AE;
(2)若AE交BD于点O,求AOOE及BOOD的值.
【解题指南】(1)根据平面向量的线性运算法则,求解即可;
(2)由A,O,E三点共线,得到AO=λ3a+2λ3b,由B,O,D三点共线,得到AO=(1-μ)a+μ3b,列出方程λ3a+2λ3b=(1-μ)a+μ3b,得出方程组,即可求解.
【解析】(1)由AB=a,AC=b,
BE=2EC,AC=3AD,
可得BD=AD-AB=13AC-AB=13b-a;
AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC=13a+23b.
(2)因为A,O,E三点共线,所以存在实数λ,使得AO=λAE=λ(13a+23b)=λ3a+2λ3b,
因为B,O,D三点共线,所以存在实数μ,使得BO=μBD,所以AO-AB=μBD,
可得AO=AB+μBD=a+μ(-a+13b)=(1-μ)a+μ3b,所以λ3a+2λ3b=(1-μ)a+μ3b,
因为a,b不共线,则λ3=1-μ2λ3=μ3,解得λ=37μ=67,所以AO=37AE,BO=67BD,所以AOOE=34,BOOD=6.
【素养创新练】
16.(5分)若{α,β}是平面内一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.已知向量a在基底{p=(1,-1),q=(2,1)}下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为________.
【解析】因为a在基底{p,q}下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),
令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以-x+y=2,x+2y=4,即x=0,y=2,
所以a在基底{m,n}下的坐标为(0,2).
答案:(0,2)
17.(5分)已知A,B,C为圆O(O为坐标原点)上不同的三点,且∠AOB=2π3,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则当w=(3+1)λ+μ取最大值时,λμ=__________.
【解析】设圆O的半径为1,以O为原点,OB方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,则A(-12,32),B(1,0),设C(cs θ,sin θ),0≤θ