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2025届高考数学一轮复习专练27 函数y=Asin(ωx φ)的图象及三角函数的应用(Word版附解析)
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这是一份2025届高考数学一轮复习专练27 函数y=Asin(ωx φ)的图象及三角函数的应用(Word版附解析),共8页。
【基础落实练】
1.(5分)(2023·北京模拟)已知函数f(x)=cs(2x-π6),g(x)=sin 2x,将函数f(x)的图象经过下列变换可以与g(x)的图象重合的是( )
A.向左平移π3个单位长度
B.向左平移π6个单位长度
C.向右平移π3个单位长度
D.向右平移π6个单位长度
【解析】选D.因为g(x)=sin 2x=cs(2x-π2),所以将f(x)=cs(2x-π6)向右平移π6个单位长度得到y=cs[2(x-π6)-π6]=cs(2x-π2)=g(x).
2.(5分)(2023·西安模拟)函数f(x)=2sin(x+5π6)sin(x+π3)图象的对称轴可以是( )
A.直线x=5π12 B.直线x=π3
C.直线x=π6 D.直线x=2π3
【解析】选A.f(x)=2sin(x+5π6)sin(x+π3) =2sin [(x+π3)+π2]sin(x+π3)
=2cs(x+π3)sin(x+π3)=sin(2x+2π3),令2x+2π3=π2+kπ(k∈Z),解得x=-π12+kπ2(k∈Z),
所以f(x)的对称轴为直线x=-π12+kπ2(k∈Z),当k=1时,x=5π12.
3.(5分)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=sin πx2 B.f(x)=cs πx2
C.f(x)=sin πx4 D.f(x)=cs πx4
【解析】选B.若f(x)=sin πx2,则T=2ππ2=4,
令πx2=π2+kπ,k∈Z,则x=1+2k,k∈Z,显然x=2不是对称轴,不符合题意;
若f(x)=cs πx2,则T=2ππ2=4,令πx2=kπ,k∈Z,则x=2k,k∈Z,所以x=2是一条对称轴,符合题意;若f(x)=sin πx4,则T=2ππ4=8,不符合题意;
若f(x)=cs πx4,则T=2ππ4=8,不符合题意.
4.(5分)(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是( )
A.16B.14C.13D.12
【命题意图】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,三角函数的图象和性质.
【解析】选C.由题意知:曲线C为y=sin[ω(x+π2)+π3]=sinωx+ωπ2+π3,
又C关于y轴对称,则ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z,解得ω=13+2k,k∈Z,又ω>0,故当k=0时,ω最小,最小值为13.
5.(5分)(多选题)某次实验得交变电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的函数解析式为i=Asin(ωt+φ),其中A>0,ω>0,|φ|≤π2且t∈[0,+∞),其图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.ω=100π B.φ=π4
C.当t=380时,i=0 D.当t=980时,i=10
【解析】选ABC.由题知T=2(0.022 5-0.012 5)=0.02,则ω=100π,又A=10,
则i=10sin(100πt+φ),所以当t=0时,10sin φ=52,则sin φ=22,
又|φ|≤π2,则φ=π4,因此i=10sin(100πt+π4),所以当t=380时,
i=10sin(100π×380+π4)=10sin 4π=0,当t=980时,i=10sin(100π×980+π4)=10sin 23π2=-10.
因此ABC正确,D错误.
6.(5分)(2023·陕西师大附中模拟)将函数f(x)=sin x+3cs x-1的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列正确的是( )
A.直线x=2π3是g(x)图象的一条对称轴
B.g(x)的最小正周期为2π3
C.g(x)的图象关于点(11π6,-1)对称
D.g(x)在[π,2π]上单调递增
【解析】选C.由f(x)=sin x+3cs x-1=2(12sin x+32cs x)-1=2sin(x+π3)-1,
则f(x)图象向右平移π6个单位长度可得,g(x)=2sin(x-π6+π3)-1=2sin(x+π6)-1,因为2π3+π6=5π6,所以x=2π3不是g(x)图象的一条对称轴,A错误;
由2π1=2π,得g(x)的最小正周期为2π,B错误;
由11π6+π6=2π,得点(11π6,-1)是g(x)图象的一个对称中心,C正确;
由π≤x≤2π,得7π6≤x+π6≤13π6,所以g(x)在[π,2π]上有增有减,D错误.
7.(5分)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(π2)=__________.
【解析】由题意可得,34T=13π12-π3=3π4,所以T=π,ω=2πT=2,
当x=13π12时,ωx+φ=2×13π12+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=2kπ-136π(k∈Z).
令k=1可得φ=-π6,据此有f(x)=2cs(2x-π6),f(π2)=2cs(2×π2-π6)=2cs 5π6=-3.
答案:-3
8.(5分)(2023·镇江模拟)写出一个同时具有下列性质①②③,且定义域为实数集R的函数f(x)=__________.
①最小正周期为2;②f(-x)+f(x)=2;③无零点.
【解析】f(x)=12sin(πx)+1的定义域为R,最小正周期为T=2ππ=2;
f(-x)+f(x)=12sin (-πx)+1+12sin(πx)+1=-12sin(πx)+1+12sin(πx)+1=2;
因为-1≤sin(πx)≤1,所以12≤f(x)≤32,所以f(x)无零点,综上,f(x)=12sin(πx)+1符合题意.
答案:12sin(πx)+1(答案不唯一)
9.(10分)(2023·岳阳模拟)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|0,所以ωx-π3∈(-π3,2ωπ-π3),
画出y=2cs z+1的图象,
要想图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则2ωπ-π3∈(-π3,3π],解得ω∈(0,53].
12.(5分)(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0