2025届高考数学一轮复习专练17 导数与函数的单调性（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.f(b)>f(c)>f(a)
B.f(b)>f(c)=f(e)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(e)>f(d)>f(c)
【解析】选D.由题意可知,当x∈[c,e]时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,所以f(e)>f(d)>f(c).
2.(5分)(2023·广安模拟)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=sin xB.y=xex
C.y=x3-xD.y=ln x-x
【解析】选B.对于A,y=sin x是正弦函数,在(0,+∞)上不是单调函数,不符合题意;对于B,y=xex,其导数y'=ex+xex=(x+1)ex,当x>0时,y'>0恒成立,则其在(0,+∞)上单调递增,符合题意;对于C,y=x3-x,其导数y'=3x2-1,在区间(0,33)上,y'0,解得a>-3且a≠0.
6.(5分)(2023·邯郸模拟)已知函数f(x)= (x-1x)ln x,且a=f(23),b=f(45),c=f(e-12),则( )
A.a>b>cB.c>a>b
C.a>c>bD.c>b>a
【解析】选B.由f(x)= (x-1x)ln x,
得f'(x)= (1+1x2)ln x+(1-1x2),
当x∈(0,1)时,f'(x)0,
所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,
在(-ln a,+∞)上单调递增,
综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;
当a>0时,f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
【能力提升练】
10.(5分)(多选题)(2023·衡水质检)下列不等式成立的是( )
A.2ln 320,函数f(x)单调递增;
当x>e时,f'(x)0,x2-1>0或f'(x)0,g(x)单调递增,
又g(1)=2,g(2e)=4eln2,g(2)=4ln2+1,
由g(2)-g(2e)=4ln2+1-4eln2>0,
得g(x)∈[2,4ln2+1),故a∈(2,4ln2+1).
答案: (2,4ln2+1)
14.(10分)已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+2x在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意,知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-2时,f'(x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x,
由f'(x)0,
当g'(t)0,即m>-373,所以-3730,x2>1,
设f(x)=xlg2x(x>1),则f'(x)=lg2x+1ln2>0,
即f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以2x1=x2,
所以x1x2=x1·2x1=2 025.
答案:2 025