2025届高考数学一轮复习专练10 二次函数与幂函数（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)已知常数α∈Q,如图为幂函数y=xα的图象,则α的值可以为( )
A.23B.32C.-23D.-32
【解析】选C.由幂函数y=xα的图象关于y轴对称知,函数y=xα是偶函数,排除B,D选项;再根据幂函数y=xα的图象在第一象限内从左到右下降,可得α0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a0,b>0,从而-b2a0,解得m=3,
所以f(x)=x3,
所以f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),
故f(x)=x3为奇函数,函数图象关于原点对称,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增.
【加练备选】
(多选题)已知幂函数f(x)= (m+95)xm,则下列结论正确的有( )
A.f(-32)=116
B.f(x)的定义域是R
C.f(x)是偶函数
D.不等式f(x-1)≥f(2)的解集是[-1,1)∪(1,3]
【解析】选ACD.幂函数f(x)= (m+95)xm,所以m+95=1,所以m=-45,所以f(x)=x-45,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),B错误;因为f(-32)=(-32)-45=116,
A正确;f(x)=x-45=15x4,定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又f(-x)=15(-x)4=15x4=f(x),所以f(x)是偶函数,C正确;因为f(x)=x-45,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,又f(x)是偶函数,所以不等式f(x-1)≥f(2)等价于f(|x-1|)≥f(2),所以x-1≠0,|x-1|≤2,
解得-1≤x0恒成立,
则Δ=(-10)2-4×2×(10-2m)0,则c>1,
所以1a+4c=c+4c-1≥2c·4c-1=3,
当且仅当c=2时,等号成立,
因此1a+4c的最小值为3.
答案:3
14.(10分)已知二次函数f(x)的最小值为1,函数y=f(x+1)是偶函数,且f(0)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[2a,a+1]上单调,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为函数y=f(x+1)是偶函数,
所以f(x)的图象关于直线x=1对称.
又因为f(x)的最小值为1,
所以可设f(x)=m(x-1)2+1,
又f(0)=3,所以m=2,
所以f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.
(2)要使f(x)在区间[2a,a+1]上单调,
则2a