[数学][期末]吉林省长春市部分校2023-2024学年高一下学期期末测试试卷(解析版)

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题意知，
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，
故选：D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量D. 零向量没有方向
【答案】C
【解析】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误；
对于B，向量不能比较大小，B错误；
对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确；
对于D，零向量有方向，其方向是任意，D错误.
故选：C.
3. 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ）
A 3，4B. 3，8C. 2，4D. 2，8
【答案】B
【解析】由题知，，
，
，
另一组数据的平均数
，
另一组数据的方差
．
故选：B．
4. 已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，设在基底下的坐标为，
所以，
所以，所以在基底下的坐标为.
故选：A.
5. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系.
∵，，
∴，
∵点在边上，且，∴，
∴，，
∴.
故选：D.
6. 在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥底面圆半径为，依题意，，解得，
圆锥的高，
显然圆锥的外接球的球心在线段上，
设球的半径为．连接，则由，
得，解得，即，
所以该圆锥的外接球的表面积．
故选：C.
7. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，，，
又，，
所以，即有，
故选：A．
8. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，共面，可设，即，
得.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（ ）
A. 至少有一个白球与都是白球
B. 恰有一个红球与白、黑球各一个
C. 至少一个白球与至多有一个红球
D. 至少有一个红球与两个白球
【答案】BD
【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立.
故选：BD.
10. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形，
，A正确，B错误；
，D正确，C错误.
故选：AD.
11.下列命题中，正确的是（ ）
A. 在中，，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若acsA＝bcsB，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】A：若，而，即，故，正确；
B：由锐角知：，即，则，
正确；
C：由题设，可得，又，
则或，故为等腰或直角三角形，错误；
D：由题设，，故，即，又，可知，
故必是等边三角形，正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 样本数据的上四分位数是__________．
【答案】
【解析】将数据从小到大排序可得，共8个样本数据，
则上四分位数即第百分位数为，
即为.
故答案为：.
13. 在中，，则的形状为_________三角形．
【答案】直角
【解析】在中，由，得，即，
由余弦定理得，整理得，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
14. 已知是边长为的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】取中点，
为等边三角形，，
则以为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，设，
，，，
，则，
，，，
，
则当时，取得最小值.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知空间中三点，，，设，.
（1）已知，求的值；
（2）若，且∥，求的坐标.
解：（1）由题知，，
所以，
因为，
所以.
（2）因为∥， ，
所以，，
因为，所以，解得，
所以或.
16. 已知平行六面体，底面是正方形，，，设．
（1）试用表示；
（2）求的长度．
解：（1）.
（2），
，
所以
.
所以.
17. 已知，向量，且满足
（1）求点的坐标；
（2）若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标．
解：（1）设，则，
因为．
所以，解得．
所以.
（2）因为点在直线为坐标原点）上运动，
所以．
所以，
．
所以
．
当时，取得最小值．
．
18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
解：(1)第六组的频率为，
∴第七组的频率为．
(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由得，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为
．
(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
19. 如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点．
（1）证明：；
（2）求异面直线BM与AD所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
解：（1）由底面，平面，得，
而，即直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，
显然，即，所以.
（2），
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（3），，
设平面的法向量，则，
令，得，
所以点到平面的距离.