[数学]广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试试卷(解析版)

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，集合，
所以．
故选：C．
2. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）
A. B. 5C. D. 8
【答案】A
【解析】因为复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，
所以，所以．
故选：A．
3. 在等差数列中，若，则（ ）
A. 7B. 12C. 16D. 24
【答案】B
【解析】在等差数列中，
若，则，
所以，所以．
故选：B．
4. 双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】由双曲线的方程知两顶点，，
渐近线方程为，
由对称性，不妨求到直线的距离，．
故选：C．
5. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】D
【解析】由得，，
又，则．
故选：D.
6. 的展开式中常数项的系数为（ ）
A. 70B. 56C. 28D. 8
【答案】C
【解析】的展开式的通项公式为，
令，解得，
故的展开式中常数项为．
故选：C．
7. 有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（ ）
A. 40种B. 60种C. 80种D. 120种
【答案】B
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①四人中有3人被录取，有种不同的录用情况；
②四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校，
有种不同的录用情况；
所以共有种不同的录用情况．
故选：B．
8. 已知三棱锥的体积是，A，B，C是球O的球面上的三个点，且，，，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以由正弦定理得，的外接圆半径为，
在中，由余弦定理可得
，
所以，
又因为，所以，
所以，
因为，
∴，由球中的截面性质及勾股定理，可知球的半径，
所以球O的表面积为：．
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ ）．
A. 若，则A，B相互独立
B. 若A，B互斥，则A，B不相互独立
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABC
【解析】A：因为事件A，B相互独立，
，所以A，B相互独立，故A正确；
B：因为A，B互斥，则，故A，B不可能相互独立，故B正确；
C：∵，∴，故C正确；
D：∵，∴，∴，故D错误．
故选：ABC．
10. 已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）．
A. 的一个对称中心
B. 对称轴方程为
C. 在上的值域为
D. 的单调递减区间为
【答案】BCD
【解析】由题图可得，，解得．
又，
可得，解得．
因为，所以，所以．
所以
．
对于A，当，，
所以不是的一个对称中心，故A错误；
对于B，令，可得，
故的对称轴方程为，故B正确；
对于C，时，，所以，
故在上的值域为，故C正确；
对于D，令，解得，
所以的单调递减区间为，故D正确．
故选：BCD．
11. 已知函数的定义域为R，且，若，则（ ）．
A. B.
C. 为减函数D. 为奇函数
【答案】ABD
【解析】，时，，，
而，∴，
，时，，
∴，∴，故B正确；
令，，，
令，，故A正确；
，是奇函数，故D正确．
令，则，为增函数，故C错误．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则在点处的切线斜率是__________．
【答案】2
【解析】∵，∴，∴时，，
则在点处的切线斜率是2．
13. 已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则__________．
【答案】
【解析】因为，
由正弦定理可得，
可得，
在三角形中，，且，
所以，，所以，所以，
因为，所以，
所以．
14. 记实数最小数为，若，则函数的最大值为__________．
【答案】
【解析】如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象，
而的图象即是图中勾勒出的实红线部分，
要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标.
由联立解得，，故所求函数最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，，，
所以，，，
，，．
因为，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）解：设平面的法向量为，
则，
取，则，．
所以，是平面的一个法向量，
又因为平面，所以为平面的一个法向量，
则，
设平面与平面的夹角为，
则，即平面与平面的夹角的余弦值为．
16. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…．
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）求的值．（其中，，）
解：（1）由题意，得，并且．
（2）将化成．
比较①②的系数，可得．
解这个方程组，得．
所以，
所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，
则
．
所以（头）．
17. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动次后质点位于位置．

（1）求；
（2）求；
（3）指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．
解：（1）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，
则，所以．
（2）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，
则，且，
而，
所以.
（3）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，
则，所以，
若n为偶数，中间的一项取得最大值，即概率最大，此时，
所以质点最有可能位于位置0，
若n为奇数，中间的两项，取得最大值，即或概率最大，
此时或，所以质点最有可能位于位置1或．
18. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程，并说明E是什么曲线；
（2）若点P是曲线E上异于左右顶点的一个动点，点O为曲线E的中心，过E的左焦点F且平行于的直线与曲线E交于点M，N，求证：为一个定值．
解：（1）设动圆的圆心，动圆半径为r，
因为化为标准方程，故圆心，，
因为化为标准方程，故圆心，，
依题意得，，
所以，故点Q是以、为焦点的椭圆，
所以，，故，
所以曲线，曲线E是焦点在x轴上，对称中心在原点，以、为焦点的椭圆.
（2）由（1）得，
当弦的斜率不存在时，此时弦为椭圆的短半轴，此时，
此时直线为椭圆的通径，满足，
从而，
当弦斜率存在时，设为k，
设直线的方程为，代入曲线E得，
从而，
设直线，代入曲线E得，
设，，则，，
又因为，
所以
，
所以.
综上所述，为一个定值.
19. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为．
（1）求实数a，b的值；
（2）比较与的大小；
（3）若有3个不同的零点，求实数m的取值范围．
解：（1）由，，
知，，，，
由题意，，
所以，所以，．
（2）由（1）知，，令，
则，
所以在其定义域内为增函数，
又，
∴时，；
时，，
所以时，；时，．
（3）由（1）知，，
注意到，则除1外还有2个零点，设为，，
，
令，
当时，在上恒成立，则，
所以在上单调递减，不满足，舍去，
当时，除1外还有2个零点，设为，，则不单调，
所以存在两个零点，∴，解得，
当时，设的两个零点分别为s，，
则，，
∴，当时，，，则单调递增，
当时，，，则单调递减；
当时，，，则单调递增，
又，不妨设，，
而，且，，且，
所以存在，，满足，
即有3个零点，1，，
综上所述，m的取值范围为．