[数学]云南省曲靖市麒麟区2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测试卷(解析版)

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 求复数的模为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】法一：∵，∴；
法二：.
故选：A.
2. 某样本中共有个个体，其中四个值分别为，第五个值丢失，但该样本的平均数为，则样本方差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设丢失的数据为，则，解得：，
样本方差.
故选：A.
3. 已知正方形的边长为，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设AB的中点为E，故=，
所以=+=，而，故=.
故选：D.
4. 已知一组数据5，7，6，3，9，4，8，10，则这组数据的分位数是（ ）
A. 3.5B. 4.5C. 5D. 5.5
【答案】B
【解析】将这组数据从小到大排列得，，共8个数，
又，所以这组数据的分位数为.
故选：B.
5. 若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设球的半径为，
则，，，
所以.
故选：B.
6. 在中，若，则最大角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
所以最大角为C，
.
故选：D.
7. 若，则等于（ ）
A. B.
C. 0D.
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
8. 已知函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m+2n的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. ﹣1
【答案】B
【解析】设g（x）=ex+ae﹣x，因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为奇函数．
又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，
即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．
因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为偶函数，
所以（e﹣x+aex）=ex+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣ex）=0对任意的x都成立，
所以a=1，所以n=1，
所以m+2n=1.
故选：B．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列结论正确是（ ）
A. 在上的投影向量是
B.
C. 向量与向量的夹角为
D.
【答案】BD
【解析】对于D，因为，所以，
所以，故D正确；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，
又，则，故C错误；
对于A，在方向上的投影向量为，故A错误.
故选：BD.
10. 已知随机事件A，B满足，，则（ ）
A. 若事件A，B互斥，则
B 若，则事件A，B互斥
C. 若事件A，B相互独立，则
D. 若，则事件A，B相互独立
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，故A正确；
对于B选项，，，A，B互斥，否则不一定有A，
B互斥，故B错误；
对于C选项，因为事件A，B相互独立，故，故C正确；
对于D选项，因为，故事件A，B相互独立，故D正确．
故选：ACD．
11. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】，由，
则将的图象向左平移个单位长度后，即可与的图象重合；
由，
则图象无法经过平移与的图象重合；
由，
则将的图象向左平移个单位长度后，再向下平移1个单位长度后，
即可与的图象重合；
由，则的图象无法经过平移与的图象重合.
故A，C中的函数与“互为生成函数”.
故选：AC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在一个样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的面积和的，且中间一组的频数为25，则样本容量为_____．
【答案】100
【解析】设中间一组的频率为，
由题意可知：，解得，
又因为中间一组的频数为25，所以样本容量为.
故答案为：100.
13. 在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为_______.
【答案】
【解析】因为复数与所对应的向量分别为和，
所以，，
所以，即对应的复数为.
故答案为：.
14. 如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为______.
【答案】3
【解析】在正三棱柱中，设的中点为，连接，，
平面，平面，
所以，，，
平面，平面，
则平面，所以为线段在平面内的射影，
为与平面所成的角，
所以，所以在中，.
故答案为：3.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在中，，，D是BC边上一点，且.
（1）求的长；
（2）若，求.
解：（1）在中，，则，
在中，，即，得.
（2）因为在中，，
所以，
则，
又，即，解得，
所以.
16. 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
解：（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.
因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，
则.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量且．
（1）求角C的大小；
（2）若的面积，求c．
解：（1）因为，，，
所以，
由正弦定理得，化简得，
所以，
又，所以.
（2）由题意得，则，
由，
得，则，
因为，所以，
所以.
18. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点.
（1）求证：平面PAD；
（2）求证：；
（3）若PD与平面所成的角为，求证：平面.
解：（1）取中点，连接，，
为的中点，，，
是的中点，底面是矩形，，，
且，
四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
平面.
（2）平面，平面，，
又底面是矩形，，
又平面，平面，
平面，，
由（1）可知，.
（3）平面，所以为与平面所成的角，
，又，，即为等腰三角形，
为中点，，
又由（2）可得，平面，
平面，
由（1）可知：，平面.
19. 图1所示的是等腰梯形ABCD，AB//CD，AB=3，CD=1，，DE⊥AB于E点，现将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置，连接PB，PC，形成一个四棱锥P-EBCD，如图2所示．
（1）若平面PCD∩平面PBE=l，求证：DC//l；
（2）求证：平面PBE⊥平面BCDE；
解：（1）由题，平面平面
所以平面
又平面PCD∩平面PBE=l，平面，
所以 DC//l.
（2）在等腰梯形ABCD中，，
翻折后，，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面PBE⊥平面BCDE.
（3）如图所示：
根据等腰梯形易知，
因为，
所以即为二面角的平面角，，
在中，由余弦定理可知：
，
故，
过点P作交BE于点F，在中由等面积法可知：
则，
由（2）知，平面，且平面，
所以，
又，平面，
所以平面BCDE，
所以.