天津市北辰区2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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说明：本试卷共有选择、填空、解答三道大题，共计120分，考试时间：100 分钟
一、选择题.（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上）
1. 下列函数求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据求导运算法则判断各选项.
【详解】对于A选项，，故A选项错误；
对于B选项，，故B选项错误；
对于C选项，，故C选项错误；
对于D选项，，D正确.
故选：D.
2. 已知，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】因为,
所以.
故选：C.
3. 如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用y关于x的经验回归直线必过中心点,计算即得.
【详解】由0,1，，，，可得，
，，
则y关于x的经验回归直线必过点.
故选：A.
4. 若5名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得.
【详解】依题意，每名学生有4种报名方式，由分步乘法计数原理得不同的报名方式有种.
故选：A
5. 在的二项展开式中，x的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的展开式通项公式，再求出x的系数.
【详解】因为的展开式，
所以当时，x的系数为.
故选：B.
6. 设随机变量，，则（ ）
A. 0.25B. 0.35C. 0.3D. 0.7
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解.
【详解】因为，则，且，
所以.
故选：D.
7. 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）

A. 在处取得极大值B. 是函数的极值点
C. 是函数的极小值点D. 函数在区间上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解.
【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，
故是函数的极小值点，无极大值.
故选：C
8. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得.
【详解】由可得，
因在上单调递增，故在上恒成立，
即在上恒成立，
而函数在上单调递减，则，
故，即a的取值范围是.
故选：A.
9. 从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A. 48B. 30C. 24D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】考虑到百位数字非零的限制，将三位奇数分成三类，分别用排列组合数表示方法数，最后运用分类加法计数原理计算即得.
【详解】依题意，这样的三位奇数分为三类：
①元素0被选中，则应放在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有种方法；
②元素2被选中，则可放在百位或十位，再从1，3，5中选两个数字排在余下的两个数位，有种方法；
③元素4被选中，与②情况相同，有种方法.
由分类加法计数原理可得，奇数的个数为个.
故选：B.
二、填空题．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在答题卡上）
10. ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用排列、组合数的计算公式计算即得.
【详解】因.
故答案为：.
11. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先对函数求导，然后令可求出的值，从而可求出，进而可求出.
【详解】由，得，
所以，得，
所以，
所以，
故答案为：
12. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 __．
【答案】0.85##
【解析】
【分析】利用全概率公式求解．
【详解】由题意可知，这个灯泡是合格品的概率为．
故答案为：0.85．
13. 质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在时的瞬时速度为______m/s．
【答案】8
【解析】
【分析】利用质点M在时瞬时速度即质点M 在时的位移的导函数，求出导函数在的函数值即可.
【详解】依题意，质点M在时的瞬时速度为，
故质点M在时的瞬时速度为.
故答案为：8.
14. 甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】利用二项分布的数学期望公式计算即得第一空；利用对立事件的概率公式，计算求解易得.
【详解】设甲射击3次，击中目标次数为，依题意，,则；
再设甲、乙两射手各射击2次，击中目标次数分别为和,则,
因“至少有1人击中目标”的对立事件为“两人都没有击中目标”，故其概率为.
故答案为：2；.
15. 已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，求导判断函数为单调递减，从而可得在上，在上，，求出不等式的解集即可.
【详解】令gx=fxlnx(x>0)，则，
可知在上为减函数，而，
在0,1上，，gx>0，所以 ；
在1,+∞上，，gx<0，而，；
可得在上，
又因为是定义在上的奇函数，则在上，，
不等式等价于x>2fx<0或x<2fx>0 ，解得或，
故不等式的解集为.
故答案为：.
三、解答题．（本大题共5个小题，共60分）
16. 已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11．
（1）求n值；
（2）求其二项式系数之和与各项系数之和的差；
（3）设，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据指定项的二项式系数求参；
（2）应用系数和及二项式系数和求差；
（3）赋值法做差即可求出偶数项的系数和.
【小问1详解】
因为，所以，解得：
【小问2详解】
二项式系数之和为，
令，可得各项系数之和为，
所以二项式系数之和与各项系数之和的差为
小问3详解】
设，则
所以
17. 已知箱中装有2个白球， 2个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，
（1）求取出的三个球的颜色互不相同的概率；
（2）记随机变量为取出3 球中白球的个数，求的分布列及期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由古典概型概率公式计算即得；
（2）确定随机变量X的所有可能取值，求出它们对应的概率，列出分布列并计算期望.
【小问1详解】
设取出的三个球的颜色互不相同的事件为，则；
【小问2详解】
随机变量的所有可能取值为0，1，2．
则，，
．
所以X的分布列为:
随机变量的数学期望：．
18. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及在的最大值与最小值．
【答案】（1）
（2）增区间是，减区间是，最大值是1，最小值是
【解析】
【分析】（1）先求导函数进而求出斜率再应用点斜式求出切线方程；
（2）先根据极值求参，再根据导数正负求出单调区间最后再求出最值.
【小问1详解】
当时，，
则，，又，
所以切线方程为，即
【小问2详解】
，由题意，
所以，，
或时，f'x>0，时，f'x<0，
所以的增区间是，，减区间是，
由此也说明满足题意．
时，在上递增，在上递减，
，又，，
所以在上最大值是1，最小值是．
19. 在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是
（1）求中国队以3:0的比分获胜的概率；
（2）求中国队在先失1局的前提下获胜的概率；
（3）假设全场比赛的局数为随机变量X，在韩国队先胜第一局的前提下，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算即得；
（2）利用互斥事件的概率加法公式计算即得；
（3）由题意，确定的所有可能取值为，分别计算概率，列出分布列并计算.
【小问1详解】
设中国队以3：0的比分获胜的事件为，因中国队在每一局中获胜的概率都是，故事件的概率为：；
【小问2详解】
设中国队在先失一局的前提下获胜的事件为B，则有两类情况：
①中国队连胜3局（获胜）记为事件，则其概率为：；
②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局（获胜）记事件，则其概率为：；
因与是互斥事件，故；
【小问3详解】
由题意知，则，
，
，
所以X的分布列为：
所以X的数学期望为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查独立事件和互斥事件的概率公式应用和随机变量的分布列，属于较难题.
解题关键在于正确理解题意，弄清所求事件的内涵，各事件之间的关系，借助于独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行推理和计算.
20. 设函数．
（1）若在点处的切线斜率为，求a的值；
（2）当时，求的单调区间；
（3）若，求证：在时，．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过计算，可求解；（2）由（1）知：，讨论导数的正负即可得到单调性；（3）通过变形，只需证明即可，利用不等式，即可证明.
【小问1详解】
解：函数，则，
因为在点处的切线斜率为，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）知：，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
，
令，则，
因为，所以，
则在上单调递增，又，所以恒成立，即；
令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，
所以，得证.0
1
2
X
3
4
5
P