2023-2024学年山东省枣庄市峄城区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市峄城区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE=4，EC=2，则BC的长是( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
2.如图，在△ABC中，∠A=45∘，∠B=30∘，CD⊥AB，垂足为D，AD=1，则BD的长为( )
A. 2B. 2C. 3D. 3
3.一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是( )
A. −14.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是( )
A. x≤2
B. x<2
C. x≥2
D. x>2
5.对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现.在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是( )
A. 三叶玫瑰线B. 笛卡尔心形线
C. 蝴蝶曲线D. 四叶玫瑰线
6.下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. (x+y)(x−y)=x2−y2B. m2n+8n=n(m2+8)
C. 12xy2=2x⋅6y2D. x2−4x+2=x(x−4)+2
7.如图，奇奇先从点A出发前进4m，向右转15∘，再前进4m，又向右转15∘，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了( )
A. 24mB. 48mC. 64mD. 96m
8.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为( )
A. 200B. 300C. 400D. 500
9.生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形( )
A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形
10.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为( )
A. ∠1=∠3，AASB. ∠1=∠3，ASAC. ∠2=∠3，AASD. ∠2=∠3，ASA
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.数学综合与实践活动课上，某兴趣小组要测定被池塘隔开的A、B两点间的距离，他们在AB外选一点C，连接AC、BC，并分别找出它们的中点M、N，连接MN.现测得MN=18m，则A、B两点间的距离为______m.
12.因式分解：x2y−2xy+y=______.
13.如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP.分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q.若AB=4，∠PQE=67.5∘，则F到AN的距离为______.
14.如图，△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，AC=3cm，将△ABC沿BC方向平移acm(015.已知xy=5，则xx−y−yx+y−y2x2−y2的值为______.
16.如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线AC上，AE=EF=FD，∠ADF=90∘，∠ACD=43∘，则∠B的大小为______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)解不等式组2x−6≤0x<4x−12并求出它的所有整数解的和.
(2)解方程：x−1x−2+12−x=3.
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，其中点A的坐标为(−1,−2)，点B的坐标为(2,−1).
(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90∘得到△A1B2C2，请画出△A1B2C2；
(3)请画出△ABC关于原点O中心对称的△A2B3C3，并直接写出点C3的坐标.
19.(本小题8分)
观察以下等式：
第1个等式：2×13=1−13；
第2个等式：32×15=12−15；
第3个等式：43×17=13−17；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明.
20.(本小题9分)
《名校课堂》上有这样一道题：“先化简，再求值：(xx+1+xx−1)⋅x2−1x，然后从−1、0、1、2中选取一个作为x的值代入求值.”
下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学：解：原式=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x−1)(x+1)]⋅x2−1x；
乙同学：解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x；
(1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；(填序号)
①分式的基本性质；
②等式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律.
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程.
21.(本小题9分)
数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组讲行因式分解.例如：
a2−b2+a−b=(a−b)(a+b)+(a−b)×1=(a−b)(a+b+1)，
请解决以下问题：
(1)将多项式m2−9n2因式分解：m2−9n2=______；
(2)将多项式m2−9n2+m−3n因式分解；
(3)△ABC的三边a，b，c满足ac−bc+a2−b2=0，判断△ABC的形状，并说明理由.
22.(本小题9分)
在等腰直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，D为直线BC上任意一点，连接AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90∘得线段ED，连接BE.
【尝试发现】
(1)如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为______；
【类比探究】
(2)当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明.
23.(本小题9分)
端午节，吃粽子是中国的传统习俗.万隆商场预测今年端午节期间某品牌的粽子能够畅销.根据预测，此品牌粽子每千克节前的进价比节后多2元，节前用240元购进此品牌粽子的数量与节后用200元购进的数量相同.根据以上信息，解答下列问题：
(1)节后此品牌粽子每千克的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进此品牌粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进此品牌粽子多少千克获得的利润最大？最大利润是多少？
24.(本小题10分)
问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在OB和OD上.
问题1：当∠AEB与∠CFD满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？
请说明理由.
小明：当∠AEB=∠CFD时，四边形AECF是平行四边形.
理由如下：
∵∠AEB=∠CFD，
∴180∘−∠AEB=180∘−∠CFD.
即∠AEO=∠CFO.
∴AE//CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO.(依据1)
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF.
∴AE=CF.
∴四边形AECF是平行四边形.(依据2)
问题2：当BE、DF满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由.
小红：当BE=DF时，四边形AECF是平行四边形.
理由如下：……
数学思考：
(1)请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”；
依据1：______；
依据2：______.
(2)请你帮助小红写出问题2的证明过程.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE=4，
∴BC=BE+EC=4+2=6，
故选：B.
根据线段的垂直平分线的性质得到BE=AE=4，结合图形计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等腰直角三角形，勾股定理及含30∘角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质．
根据题意先判定△ADC是等腰直角三角形，得到AD=CD=1，再根据含30∘角的直角三角形的性质得出BC的长，最后利用勾股定理得BD的长.
【解答】
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90∘，
∵∠A=45∘，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD=1，
∵∠B=30∘，
∴BC=2CD=2，
∴BD= BC2−CD2= 3.
故选C.
3.【答案】C
【解析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集．看图易知选：C.
4.【答案】A
【解析】解：由图象可得：当x≤2时，kx+b≤0，
所以不等式kx+b≤0的解集为x≤2，
故选：A.
观察函数图象得可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D.
把一个图形绕某一点旋转180∘后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
6.【答案】B
【解析】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；
B、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
C、不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
7.【答案】D
【解析】解：∵奇奇从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360∘÷15∘=24，
则一共走了24×4=96(米).
故选：D.
由题意可知奇奇所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
本题主要考查了多边形外角和定理的应用，解题的关键是判断出奇奇所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是360∘，正多边形的每一个外角都相等．
8.【答案】B
【解析】解：设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为(x−100)，
根据题意，得：600x=400x−100，
解得：x=300，
经检验x=300是分式方程的解，且符合题意，
答：改造后每天生产的产品件数300.
故选：B.
设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为(x−100)，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360∘.判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360∘，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
【解答】
解：A选项，等边三角形的内角为60∘，360∘÷60∘=6(个)，所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360∘，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90∘，360∘÷90∘=4(个)，所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360∘，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108∘，360÷108∘=313，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360∘，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120∘，360∘÷120∘=3(个)，所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360∘，不符合题意；
故选C.
10.【答案】D
【解析】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠3，
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵点M是AC的中点，
∴MA=MC，
在△MAD和△MCB中，
∠2=∠3MA=MC∠4=∠5，
∴△MAD≌△MCB(ASA)，
∴MD=MB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴①，②分别为∠2=∠3，ASA，
故选：D.
由AB=AC，得∠ABC=∠3，因为∠CAN=∠ABC+∠3=∠1+∠2，且∠1=∠2，所以∠2=∠3，而MA=MC，∠4=∠5，即可根据“ASA”证明△MAD≌△MCB，得MD=MB，则四边形ABCD是平行四边形，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△MAD≌△MCB是解题的关键．
11.【答案】36
【解析】解：∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MN=12AB，
∵MN=18m，
∴AB=36m，
即A、B两点间的距离为36m.
故答案为：36.
根据三角形中位线定理得到MN=12AB，求出结果即可．
本题主要考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理．
12.【答案】y(x−1)2
【解析】解：原式=y(x2−2x+1)
=y(x−1)2.
故答案为：y(x−1)2.
直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
13.【答案】 2
【解析】解：如图，过F作FH⊥AC于H，
由作图可得：∠BAP=∠CAP，DE⊥AB，AF=BF=12AB=2，
∵∠PQE=67.5∘，
∴∠AQF=67.5∘，
∴∠BAP=∠CAP=90∘−67.5∘=22.5∘，
∴∠FAH=45∘，
∴AH=FH= 22AF= 2，
∴F到AN的距离为 2；
故答案为： 2.
如图，过F作FH⊥AC于H，证明∠BAP=∠CAP，DE⊥AB，AF=BF=12AB=2，再证明∠FAH=45∘，再结合勾股定理可得答案．
本题考查了作图-复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．
14.【答案】16
【解析】解：∵将△ABC沿BC方向平移acm(a<6cm)，得到△DEF，
∴AD=BE，AB=DE，AC=DF，
∴阴影部分的周长=AD+EC+DE+AC=BE+EC+AC+AB=AB+AC+BC=6+7+673=16(cm)，
故答案为：16.
根据平移的性质可得AD=BE，然后判断出阴影部分的周长=△ABC的周长，然后代入数据计算即可得解．
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
15.【答案】2524
【解析】解：∵xy=5，
∴x=5y，
xx−y−yx+y−y2x2−y2
=x(x+y)−y(x−y)−y2x2−y2
=x2x2−y2
=(5y)2(5y)2−y2
=25y224y2
=2524.
故答案为：2524.
根据分式的加减混合运算法则把原式化简，把xy=5化简为x=5y代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质是关键．
16.【答案】107∘
【解析】解：∵AE=EF，∠ADF=90∘，
∴AE=DE=EF，
∵EF=DF，
∴DE=EF=DF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DFE=60∘，
∵∠ACD=43∘，
∴∠CDF=∠DFE−∠ACD=17∘，
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=107∘，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC=107∘.
故答案为：107∘.
根据AE=EF，及∠ADF=90∘，有AE=ED=EF，推出DE=EF=DF，得到△DEF是等边三角形，得到∠DFE=60∘，根据∠ACD=43∘，得到∠CDF=17∘，得到∠ADC=107∘，由平行四边形的性质即得．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角性质，根据角的关系得出方程是解题的关键．
17.【答案】解：(1){2x−6⩽0①x<4x−12②，
由①得，2x≤6，解得，x≤3；
由②得，2x<4x−1，解得，x>12，
∴原不等式组的解集为：12∴所有整数解为：1，2，3，
∴所有整数解的和为：1+2+3=6.
(2)x−1x−2+12−x=3，
去分母得x−1−1=3(x−2)，
去括号得x−1−1=3x−6，
移项合并得−2x=−4，
解得x=2.
经检验，x=2是原方程的增根，
原方程无解．
【解析】(1)根据不等式的性质分别求出两个不等式的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，结合解集取整数，再求和即可；
(2)按照解分式方程的方法即可得到答案．
本题主要考查解不等式组的整数解，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图1所示，△A1B1C1即为所求；
；
(2)如图2所示，△A1B2C2即为所求；
；
(3)如图3所示，△A2B3C3即为所求．
C3的坐标为(−2,−1).
【解析】(1)根据平移规律得到A、B、C向下平移3个单位长度得到的对应点A1、B1、C1，顺次连接即可；
(2)根据旋转方式得到B1、C1绕点A1逆时针旋转90∘后得到的对应点B2、C2，顺次连接即可；
(3)根据中心对称得到A、B、C关于原点O成中心对称的A2、B3、C3，顺次连接即可．
此题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，准确作图是解题的关键．
19.【答案】54×19=14−19
【解析】解：(1)第1个等式：2×13=1−13，
第2个等式：32×15=12−15，
第3个等式：43×17=13−17，
∴第4个等式为：54×19=14−19；
故答案为：54×19=14−19；
(2)第n个等式为：n+1n⋅12n+1=1n−12n+1，
证明：∵左边=n+1n(2n+1)，
右边=1n−12n+1=2n+1n(2n+1)−nn(2n+1)=n+1n(2n+1)=左边，
∴n+1n⋅12n+1=1n−12n+1.
(1)根据题目中的等式，可以写出第4个等式；
(2)先写出猜想，然后将等号两边的式子化简，即可证明猜想成立．
本题考查找数字的变化规律、列代数式，熟练掌握分式的运算法则是关键．
20.【答案】② ③
【解析】解：(1)甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
(2)若选择甲同学的解法：
若选择甲同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x+1)(x−1)]⋅x2−1x
=2x2(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)x
=2x；
若选择乙同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
=xx+1⋅(x+1)(x−1)x+xx−1⋅(x+1)(x−1)x
=x−1+x+1
=2x.
(1)根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；
(2)若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】(m−3n)(m+3n)
【解析】解：(1)原式=m2−(3n)2
=(m−3n)(m+3n)，
故答案为：(m−3n)(m+3n)；
(2)原式=m2−(3n)2+(m−3n)
=(m−3n)(m+3n)+(m−3n)
=(m−3n)(m+3n+1)；
(3)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵ac−bc+a2−b2=0，
∴c(a−b)+(a−b)(a+b)=0，
∴(a−b)(a+b+c)=0，
∵a+b+c≠0，
∴a−b=0，即a=b，
∴△ABC是等腰三角形．
(1)利用公式法进行因式分解即可；
(2)利用公式法和提公因式法进行因式分解即可；
(3)先利用公式法和提公因式法进行因式分解，可得(a−b)(a+b+c)=0，根据题意，可知a+b+c≠0，因此a−b=0，即a=b，即可得出结果．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
22.【答案】BE= 2CD
【解析】解：(1)如图1，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由旋转得AD=DE，∠ADE=90∘，
∴∠ADC+∠EDM=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=∠DME，∠ADC+∠CAD=90∘，
∴∠CAD=∠EDM，
∴△ACD≌△DME，
∴CD=EM，AC=DM，
∵AC=BC，
∴BM=DM−BD=AC−BD=BC−BD=CD，
∴BM=EM，
∵EM⊥CB，
∴BE= BM2+EM2= 2EM= 2CD，
故答案为：BE= 2CD；
(2)补全图形如图2：
BE= 2CD，理由如下：
过点E作EM⊥BC交BC于点M，
由旋转得AD=DE，∠ADE=90∘，
∴∠ADC+∠EDM=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=∠DME，∠ADC+∠CAD=90∘，
∴∠CAD=∠EDM，
∴△ACD≌△DME，
∴CD=EM，AC=DM，
∵AC=BC，
∴BM=BC−CM=DM−CM=CD，
∴BM=EM，
∵EM⊥CB，
∴BE= BM2+EM2= 2EM= 2CD.
(1)过点E作EM⊥CB延长线于点M，利用一线三垂直全等模型证明△ACD≌△DME，再证明BM=EM即可；
(2)同(1)中方法证明△ACD≌△DME，再证明BM=EM即可．
本题考查三角形全等的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设节后此品牌粽子的进价是x元，则节前此品牌粽子的进价是(x+2)元，
由题意得：
240x+2=200x，
解得：x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，
答：节后每千克此品牌粽子的进价是10元；
(2)设该商场节前购进m千克此品牌粽子，则节后购进(400−m)千克此品牌粽子，
由题意得：(10+2)m+10(400−m)≤4600，
解得：m≤300，
设总利润为w元，
由题意得：w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，
∵2>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=300时，w取得最大值=2×300+2400=3000，
答：该商场节前购进此品牌粽子300千克获得利润最大，最大利润是3000元．
【解析】(1)设该商场节后此品牌粽子的进价是x元，则节前此品牌粽子的进价是(x+2)元，根据节前用240元购进此品牌粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设该商场节前购进m千克此品牌粽子，则节后购进(400−m)千克此品牌粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得m≤300，再设总利润为w元，由题意列出w与m的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
24.【答案】平行四边形的对角线互相平分 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】(1)解：依据1：平行四边形的对角线互相平分；
依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形的对角线互相平分；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BE=DF，
∴BO−BE=DO−DF，
即EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
(1)由平行四边形的性质和判定即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得AO=CO，BO=DO，再证明EO=FO，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，
∴①______.
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB(②______).
∴MD=MB.∴四边形ABCD是平行四边形.